2015年新蘇教版六年級數(shù)學下冊教材分析.doc

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蘇教版六年級數(shù)學下冊教材分析 一、主要的調整與變化 （一） 新增選擇統(tǒng)計圖的內(nèi)容，刪去眾數(shù)和中位數(shù) 根據(jù)本套教材“統(tǒng)計與概率”部分教學內(nèi)容的整體設計，本冊教材教學扇形統(tǒng)計圖和選擇統(tǒng)計圖。與實驗教材相比，主要有兩點變化：一是考慮到在用統(tǒng)計知識解決問題的過程中，往往要根據(jù)數(shù)據(jù)的特點和解決問題的需要選擇合適的統(tǒng)計圖，以準確、有效地表示數(shù)據(jù)。教材在扇形統(tǒng)計圖教學之后，體會選擇統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)的過程與方法，增強數(shù)據(jù)分析觀念。二是由于數(shù)學課程標準不再要求學生認識眾數(shù)和中位數(shù)，且學生在現(xiàn)階段很難弄清平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，本次修訂刪去了實驗教材中眾數(shù)和中位數(shù)的內(nèi)容。 （二）前移轉化的策略，增設選擇策略解決問題的內(nèi)容 首先，轉化的策略是數(shù)學學習中應用最為廣泛的策略，且在六年級上冊學習分數(shù)、百分數(shù)實際問題時，經(jīng)常需要運用轉化的策略解決問題。適當前置轉化的策略，可以為學生提供更多的運用策略的機會，促使他們在解決問題的過程中更深刻地體驗轉化策略的實際價值，提高運用策略的自覺性。因此，本套教材把“轉化的策略”安排在五年級下冊教學。其次，解決問題時，一般不會單純、機械地套用既有的經(jīng)驗和模式，而要根據(jù)已知信息，靈活運用已經(jīng)積累起來的經(jīng)驗和方法，嘗試把新問題轉化成熟悉的問題，或把復雜問題轉化成簡單問題，進而找到解決問題的方法。為此，教材在六年級下冊增設“選擇策略解決問題”的內(nèi)容，引導學生在運用策略解決問題的過程中，感受解題策略的多樣性以及選擇策略的靈活性，形成相應的策略意識。 （三）合理整合“綜合與實踐”部分的內(nèi)容 本次修訂，對實驗教材中“綜合與實踐”部分的內(nèi)容進行了精心篩選與重新整合。全冊共安排了三次活動，分別是結合具體教學內(nèi)容安排的《大樹有多高》，以及在《總復習》單元安排的《制訂旅游計劃》和《繪制平面圖》。其中，《大樹有多高》由實驗教材六年級上冊移來，主要引導學生綜合運用比例等有關知識解決問題；《制訂旅游計劃》由實驗教材中的《旅游費用的預算》改編而成，主要引導學生綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”部分知識，解決旅游行程規(guī)劃、旅游費用預算等問題；《繪制平面圖》是新編的內(nèi)容，主要引導學生通過測量和計算，繪制簡單的平面圖。 此外，教材還前移了實驗教材中《百分數(shù)的應用》單元，安排在六年級上冊；增設了“探索規(guī)律”的活動——《面積的變化》，主要引導學生探索和發(fā)現(xiàn)平面圖形按比例放大后，面積的變化規(guī)律。 各單元教材分析 一、扇形統(tǒng)計圖 內(nèi)容：本單元主要教學扇形統(tǒng)計圖和選擇統(tǒng)計圖， 變化： 刪去眾數(shù)和中位數(shù)，增設選擇統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù) 修訂的重點在選擇統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)上，主要有兩點變化 第一，注重以現(xiàn)實問題為背景，引導學生在具體的活動中體驗各種統(tǒng)計圖的不同特點，體會選擇統(tǒng)計圖的實際意義，教材呈現(xiàn)了一組反映同學們課外閱讀興趣和習慣的統(tǒng)計圖（見例2）同時設計了一組富有啟發(fā)性的問題，引導學生體會不同統(tǒng)計圖的特點和作用，感受到選擇合適的統(tǒng)計圖能更有效地描述數(shù)據(jù)，更便于數(shù)據(jù)分析。數(shù)據(jù)分析時，要讓學生透過現(xiàn)象本質，讀出一些信息。 第二，引導學生在解決問題的過程中，感受選擇統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)的過程和方法 。教材十分重視引導學生經(jīng)歷用統(tǒng)計知識和方法解決問題的過程，并在這一過程中逐步認識到統(tǒng)計圖的選擇，既要清楚反映表示數(shù)據(jù)的特點，又要有效說明所要解決的問題，例如，教材第8頁的第7題，在提出問題的同時，呈現(xiàn)了四項調查內(nèi)容，讓學生選擇一項設計調查表，展開調查和統(tǒng)計活動。這一過程中，由于所選擇的調查內(nèi)容不同，收集、整理、描述數(shù)據(jù)的過程也可能不同。這就為學生自主經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的全過程提供了充裕的時間和空間，有利于學生體驗選擇合適的統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)的過程，感受合適的統(tǒng)計圖在分析數(shù)據(jù)過程中的作用，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。 教學建議 小學數(shù)學不要求制作扇形統(tǒng)計圖。因為制作扇形統(tǒng)計圖需要扇形的知識，要計算扇形的圓心角，而小學數(shù)學只簡單認識扇形，不教學畫扇形，所以小學生不具備制作扇形統(tǒng)計圖的知識與能力。 1.看懂扇形圖，利用數(shù)據(jù)解決問題。 例1教材采用直接呈現(xiàn)的方式，引出扇形統(tǒng)計圖，是由于兩點原因：一是不教學制作扇形圖，沒有必要呈現(xiàn)扇形圖的形成過程。二是學生能夠看懂扇形圖里的信息，不需要給予其他幫助。在呈現(xiàn)扇形統(tǒng)計圖以后，教學分兩步進行。 第一步，看圖，交流,理解圖里的信息。讓學生說出圖中的五個百分數(shù)，并且根據(jù)五個百分數(shù)的大小關系以及扇形統(tǒng)計圖里五個扇形的大小，看出山地面積最大，丘陵面積最小。體會每一個百分數(shù)的意義，明白我國陸地總面積是單位“1”的數(shù)量，整個圓表示我國陸地的總面積。明白扇形統(tǒng)計圖是分別表示每種地形的面積占總面積的百分之幾。學生看到、想到并說出上述內(nèi)容，就初步認識了扇形統(tǒng)計圖。 第二步，計算、填表，體會圖的特點。例題告訴學生，我國國土總面積是960萬平方千米，讓他們算出各類地形的面積分別是多少。計算要利用圖中的各個百分數(shù)，從而體會扇形統(tǒng)計圖表示的是各個部分數(shù)量與總數(shù)量的關系，知道它與條形、折線統(tǒng)計圖的不同。例1的“練一練”前一個問題要分別說出扇形圖給出的兩個百分數(shù)的含義，屬于知識范圍的問題。后一個問題要感受我國以世界耕地的9.9％，供世界19.6％的人口吃飯，這是非常了不起的事情，是對世界以及全人類的貢獻，屬于思想性的問題。如果有可能，還可以思考其他國家的總人口占世界人口的百分之幾，其他國家的耕地總面積占世界耕地的百分之幾，通過1-19.6％和1-9.9％求出兩個百分數(shù)。把世界人口作為單位“1”、世界耕地作為單位“1”，體會整個扇形圖所蘊含的各種信息，有利于學生深入體驗扇形統(tǒng)計圖的特點。 2根據(jù)實際需要，選擇合適的統(tǒng)計圖。例2是六1班同學課外閱讀情況統(tǒng)計，呈現(xiàn)了3幅統(tǒng)計圖，讓學生比較統(tǒng)計圖，體會各類統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)的不同方式和特點，提高用統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)的能力，進一步發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。 “三幅統(tǒng)計圖分別表示什么？”這個問題要回答每一幅統(tǒng)計圖的內(nèi)容，說出每一幅統(tǒng)計圖里的數(shù)據(jù)信息。通過這個問題，讓學生看到三組數(shù)據(jù)采用了三種不同的統(tǒng)計圖，扇形圖表示各個部分數(shù)量分別占總數(shù)量的百分比，折線圖和條形圖都表示一組數(shù)據(jù)的各個具體數(shù)量。這就了解到各種統(tǒng)計圖在表達數(shù)據(jù)時的特點，初步體會到三種統(tǒng)計圖的聯(lián)系和區(qū)別。 第二組問題分別指向三幅統(tǒng)計圖里的內(nèi)容，引導學生深入了解各幅統(tǒng)計圖里的數(shù)據(jù)信息，再次體驗扇形統(tǒng)計圖表達的是“各部分占整體的份額”，折線統(tǒng)計圖表達的是“一組數(shù)量的變化情況”，條形統(tǒng)計圖表達的是“一組數(shù)量各有多少”。這樣，學生就能再次感悟統(tǒng)計圖的使用是有選擇的，應根據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)容特點，合理選用相應的統(tǒng)計圖。 “你還能從統(tǒng)計圖中獲得哪些信息？”這個問題比較開放，要鼓勵學生說出在三幅統(tǒng)計圖里看到的、想到的信息，培養(yǎng)學生理解與解釋數(shù)據(jù)，分析與評價數(shù)據(jù)，應用數(shù)據(jù)提出問題與解決問題的習慣和能力。 體會使用統(tǒng)計圖是“有選擇”的，應根據(jù)數(shù)據(jù)的內(nèi)容特點，以及需要表達的數(shù)據(jù)信息，選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖。三個小卡通的交流，代表學生分別說出了什么情況適合使用扇形圖，什么情況適合使用折線圖，什么情況適合使用條形圖。 配合例2的“練一練”采用三種統(tǒng)計圖表示李大伯家的收入情況。教學還可以作如下的延伸：一是比較條形圖和扇形圖，它們都表示四項收入的情況，但表示的方式不同，數(shù)據(jù)不同，從圖中獲取的信息既有一致的方面，也有顯著的區(qū)別。二是體驗條形圖里的數(shù)據(jù)，適合用折線圖表示嗎？從條形圖里的四個數(shù)據(jù)只表示“各多少”，不存在“變化”狀態(tài)和趨勢，得出不適合使用折線圖的結論。三是折線圖里的數(shù)據(jù)可以用條形圖表示嗎？從折線圖里有六個年份的收入數(shù)量，體會也能采用條形圖表示。但條形圖不能像折線圖這樣清楚地表示出年收入的增加態(tài)勢。 3. 精心編排練習題，突出統(tǒng)計活動能力的培養(yǎng) 練習一第1題要求學生評價這兩天的食物搭配“哪一天更合理些”。編排這道題的目的在于通過對兩幅圖里的數(shù)據(jù)的比較，獲取扇形圖傳遞的信息，并引發(fā)深入的思考?！澳囊惶旌侠怼睕]有標準答案，如果從有利于身體健康角度評價，也許第一天的搭配比較合理。因為現(xiàn)在提倡多吃些蔬菜、水果、谷物，少吃些動物蛋白和油脂。但是，從個體的需要考慮，也許第二天的搭配更能滿足。如參加高強度的體育活動或生產(chǎn)勞動的人，一些需要補充營養(yǎng)的人，應該適當多吃一些動物蛋白。第2題把“估計”引進扇形統(tǒng)計圖。呈現(xiàn)的干果拼盤可以看作扇形圖，不要求估計得十分準確，能說出“（各）大約占百分之幾”并對自己的估計作出解釋就可以了。第7題是一個簡單的實踐活動。要求以自己班級同學課外閱讀習慣為內(nèi)容，進行一次統(tǒng)計活動。先確定課題和設計調查方案；接著開展調查，收集信息、整理數(shù)據(jù)，制作統(tǒng)計圖表；然后分析數(shù)據(jù)，評價自己班級同學的課外閱讀習慣；最后拓寬研究課題，重新設計調查方案，開展新的統(tǒng)計活動。這道題可以作為一個長作業(yè)，在課內(nèi)或課外完成。 本單元最后安排的“動手做”，是以“反應速度”為內(nèi)容的游戲活動，是用統(tǒng)計思想方法解決問題的數(shù)據(jù)活動。編排這次動手做的目的，是要讓學生積極、主動地參與一次數(shù)據(jù)活動，獲得對數(shù)據(jù)的新體驗。教材有以下三點安排。 圖文結合，講述了游戲方法——把長20厘米左右的直尺豎直按在墻上，“0”刻度在下，食指按在“0”刻度處；突然松開食指，讓直尺下落，然后迅速用食指按住下落的直尺；食指按住刻度幾，表示直尺下落了幾厘米，隨時記錄這個數(shù)據(jù)。教材一方面設計了有興趣的游戲，另一方面引導學生把注意力集中到數(shù)據(jù)上面。 組建小組，建議人數(shù)和次數(shù)——4人一組進行活動，每人輪流做6次，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，在方格紙上制作統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖。這樣，小組內(nèi)就可以比一比，看誰的反應速度最快，而且有較充分的數(shù)據(jù)來表明各人反應速度的快慢。把這些數(shù)據(jù)用統(tǒng)計圖表呈現(xiàn)出來，能方便比較，容易看出小組內(nèi)各人的反應速度。 提出課題，設計實驗方案——為比較男、女生的反應速度，討論活動方案。如，小組內(nèi)的人數(shù)與性別如何安排？數(shù)據(jù)記錄在怎樣的表格里？每人做6次，用哪個數(shù)據(jù)來比較？如果每組的男、女生都不是1人，男生用什么數(shù)據(jù)與女生比？這一段應該是整個動手做的重點，討論越充分，方案越成熟，游戲越順利，對數(shù)據(jù)活動的體驗就越豐富。 二　圓柱和圓錐 內(nèi)容及變化 本單元主要教學圓柱和圓錐的特征，圓柱的側面積和表面積，圓柱和圓錐的體積 。由于解決與圓柱、圓錐有關的問題時，經(jīng)常會涉及一些比較復雜的計算，教材一方面通過底注說明解決問題時可以用計算器計算，另一方面，通過示例明確，可以用含有“π”的式子表示計算的過程和結果。這樣安排，既可以幫助學生切實掌握相關的計算方法，又降低了計算的難度，可以有效防止學生因瑣碎的計算而引起的厭學情緒。 教學建議 　　本單元在學生認識了圓，掌握了長方體和正方體的形狀特征以及表面積與體積計算方法的基礎上編排，是小學數(shù)學最后教學的形體知識。 1．按“整體—部分—整體”的線索，分別教學圓柱和圓錐的結構特點。 學生認識幾何體一般先整體感知形狀，再仔細研究結構與特征，在此基礎上歸納描述，建立形體概念。 例1先教學圓柱的特征，再教學圓錐的特征。這是因為學生對圓柱已有直觀感，學生在第一學段已經(jīng)直觀認識了圓柱，對圓柱的形狀有了一些粗淺的感受。學習圓錐就沒有這樣的臺階。相對于認識圓柱來說，了解圓錐會稍難些。圓柱和圓錐的形狀雖然有明顯的區(qū)別，但它們都有圓形底面、彎曲的側面。先認識圓柱，有利于認識圓錐。把圓柱的認識與圓錐的認識編排在一道例題里教學，也體現(xiàn)了它們既是不同的幾何體，也有內(nèi)在聯(lián)系。它們的聯(lián)系，一是“都有圓形底面、彎曲的側面”，二是“圓錐體積是等底等高圓柱的三分之一”。 在現(xiàn)實的情境中初步認識圓柱和圓錐。例題在圖畫里呈現(xiàn)許多圓柱、圓錐形狀的物體，讓學生從中找出圓柱形狀物體，告訴他們有些物體的形狀是圓錐，還要回憶生活中的其他例子，體會這兩種形狀的物體是比較常見的，為認識圓柱和圓錐的特征搜集了豐富的材料。 觀察交流，分別描述圓柱和圓錐的結構特點。教學圓柱的形狀特點，要引導學生觀察、操作、交流，教師適時給出必要的講解。因為圓柱的形狀需要學生充分感知，有關圓柱特點的數(shù)學術語和規(guī)范表述不是他們發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造，而是意義接受的。三個小卡通的交流，代表學生通過觀察、操作，獲得的有關圓柱的感性認識，也是圓柱的最主要特點。學生通常對圓柱“上下兩個面是完全相同的兩個圓”“有一個曲面”這兩點比較關注，對圓柱“上下一樣粗”容易疏忽，教學要注意這一點。在學生交流圓柱特征的過程中，教師可以圖文結合指出圓柱和圓錐的“底面”“側面”和“高”。圓柱的“高”是一個數(shù)學概念，指的是圓柱兩個底面之間的距離。教學應該突出的是關于圓柱高的概念，關于圓柱圖形上表示高的方法，以及測量圓柱形物體的高的方法。沒有必要在“幾條”上糾纏不清，特別不能造成概念的含糊。 認識圓錐要引導學生把認識圓柱的學習活動經(jīng)驗遷移到認識圓錐上來，圓錐的高是教學難點。因為圓錐的高是圓錐內(nèi)部一條線段的長。教材圖文結合，指出從圓錐的頂點到底面的距離是圓錐的高，并在圓錐的幾何圖形上用虛線畫出從頂點到底面圓心的線段，幫助學生理解圓錐高的含義。還暗示了測量圓錐的高的方法。 在練習里發(fā)展空間觀念。練習二第2題指出圓柱、圓錐的三視圖，體會從正面、側面看到的形狀要用平面圖形來表示。第3題要求利用教科書附頁里的圖形做一個圓柱和一個圓錐，體會圓柱的側面是長方形卷成的，圓錐的側面是扇形卷成的，經(jīng)歷平面變成曲面的過程。測量做出的圓柱和圓錐的底面半徑與高，可以再次鞏固高的概念，也能為接下來教學表面積和體積作些準備。 2．展開圓柱的側面、表面、研究側面積和表面積的計算方法。 例2教學圓柱的側面積，例3教學圓柱的表面積。這樣安排，符合知識間的關系，突出側面積是認知的重點。 指導展開圓柱側面的方法，理解側面展開后的形狀。例2計算圓柱形罐頭側面的商標紙的面積，一要組織學生討論“為什么沿著接縫剪？”弄明白沿著其他地方剪也能把商標紙展開，但得到的不一定是長方形，計算長方形的面積比計算其他圖形的面積方便。還要組織學生討論“商標紙的接縫相當于圓柱的什么？”弄明白沿著接縫剪相當于沿著圓柱的一條高剪，而這樣做才能使側面展開成一個長方形。二要溝通長方形的長、寬和圓柱的直徑、高之間的聯(lián)系，為計算側面積創(chuàng)造條件。三列式計算商標紙的面積，要指導他們分步計算，先算出圓柱的底面周長，再計算圓柱的側面積。分步列式計算能減少錯誤，比列綜合算式方便。還要支持學生使用計算器，沒有必要把大量的時間和精力放在繁瑣的乘法筆算上。教材還指出“（商標紙的面積）也可以這樣計算：11π15=165π”，省略1653.14的筆算，用165π作為最后的得數(shù)。這與中學數(shù)學是接軌的，會受到教師和學生的歡迎。 指點方向，探索側面積的算法。計算商標紙的面積，要指導他們分步計算，先算出圓柱的底面周長，再計算圓柱的側面積。分步列式計算能減少錯誤，比列綜合算式方便。還要支持學生使用計算器，沒有必要把大量的時間和精力放在繁瑣的乘法筆算上。教材還指出“（商標紙的面積）也可以這樣計算：11π15=165π”，省略1653.14的筆算，用165π作為最后的得數(shù)。這與中學數(shù)學是接軌的，會受到教師和學生的歡迎。 畫出表面展開圖，研究表面積的算法。例3教學圓柱的表面積，關鍵在于建立表面積的概念。只要理解“求表面積”就是求什么，算法自然就產(chǎn)生了。而且長方體與正方體表面積的概念和算法，對教學圓柱表面積有支持作用。例題要求在方格紙上畫出一個圓柱的表面展開圖。要求學生看著圓柱圖形和標注的底面直徑與高，思考圓柱的側面沿著高展開，得到的長方形長和寬各是多少厘米，兩個底面分別是多大的圓，并在方格紙上畫出一個長方形和兩個圓，即這個圓柱的表面展開圖。和長方體、正方體的表面積計算一樣，圓柱的表面積計算也不給出公式，讓學生在理解表面積意義的基礎上推理算法，以避免記憶公式的負擔。第二步計算例題呈現(xiàn)的圓柱的表面積。由于計算圓柱側面積的方法已在例2教學，計算兩個底面圓的面積是舊知識，學生應該能獨立計算圓柱的表面積。教師仍然要提醒他們列分步算式解答，通常先算出側面積，再算出一個底面的面積，然后算側面積與兩個底面積的和。學生如果用4π表示側面積，用2π表示兩個底面圓的面積，用6π表示表面積，應該加以肯定。 靈活應用側面積、表面積知識，解決實際問題。練習二是圓柱側面積、表面積的實際應用，解答問題要重視“數(shù)學化”，把實際問題抽象成計算側面積、底面積或表面積的數(shù)學問題。如第4題求鋁皮面積是計算圓柱形隊鼓的側面積，計算羊皮面積是求圓柱形隊鼓的兩個底面積。再如通風管是沒有底面的，彩紙糊的燈籠只有下底和側面。第10題可以用（180+32π）平方分米表示結果，也可以算出來，第11題一共有多少朵花根據(jù)實際生活情境應該保留整數(shù)，所以要算出具體結果。 3．應用轉化策略，教學圓柱的體積計算公式。 （三） 通過猜想——驗證，探索圓柱和圓錐的體積計算公式 學生已經(jīng)掌握了長方體和正方體的體積公式，而且知道它們的體積都可以用“底面積高”來計算。事實上，不僅是長方體與正方體，求各種直柱體的體積都可以用“底面積高”來計算，圓柱的體積也是這樣。 建立“等底”“等高”概念，形成“等積”猜想。例4教學圓柱的體積。教材先呈現(xiàn)了長方體、正方體和圓柱這三個立體圖形，涂色突出它們的底面，指出這三個幾何體的底面積相等，高也相等。要求先猜想圓柱體積與等底（面積）等高的長方體、正方體體積是不是相等，再通過把圓柱“等積變形”證實猜想，推導出圓柱的體積計算公式。猜想與驗證是人們解決問題經(jīng)常采用的策略。教材鼓勵學生猜想并驗證，調動他們的積極性，使圓柱體積的教學不是被動接受，而是有意義的探索。 割、拼圓柱，轉化成長方體。，教材把圓柱轉化成等底（面積）等高，體積不變的長方體，并展示轉化過程。轉化思路的形成，借鑒了把圓轉化成長方形計算面積的經(jīng)驗。轉化的要領是保持圓柱與長方體等底（面積）、等高、等（體）積。學生可以看教材里的插圖，明白怎樣把圓柱切割與改拼。如果能親自操作學具，實踐圓柱的等（體）積變形，就更好了。然后是滲透極限思想。把圓柱的底面平均分成16份，切開后拼成的只是一個近似于長方體的物體。如果圓柱的底面平均分的份數(shù)越多，切開后拼成的物體越接近長方體。圓柱底面被平均分的份數(shù)足夠多，就能轉化成等底（面積）、等高、等（體）積的長方體。 通過推理，得到圓柱體積計算公式。最后是推導圓柱的體積計算公式。由于圓柱與轉化成的長方體體積相等，所以求圓柱的體積只要計算長方體的體積；由于長方體體積可以用底面積乘高計算，而長方體的底面積與圓柱底面積相等，長方體的高與圓柱的高相等，“底面積高”計算的既是長方體的體積，也是圓柱的體積。由此得出圓柱的體積計算公式：圓柱的體積＝底面積高。 必須注意的是，在得出圓柱體積計算公式以后，教材安排“回顧圓柱體積公式的探索過程”，要求學生交流體會?！稗D化”是探索圓柱體積公式的策略，在尋求圓柱體積計算方法的過程中，“轉化成長方體”是關鍵。教學應通過回顧，突出轉化策略在這里的應用，聯(lián)系實際加強策略意識。另外，用“底面積高”涵蓋長方體、正方體和圓柱的體積計算，有利于優(yōu)化認知結構，這也應是回顧與反思的一個重要內(nèi)容。 練習三P17第5題要求算出具體結果，P1練習三其中第7題，把一張長5厘米、寬4厘米的長方形紙分別繞其長或寬旋轉，能形成兩個不同的圓柱。先估計這兩個圓柱的體積，指出哪一個大，再計算它們的體積，驗證前面的估計。教學這道題，要讓學生體驗“長方形繞其長（寬）旋轉，能形成長方體”的現(xiàn)象。如有必要，可以動手操作，實踐一下。要識別形成的圓柱的底面半徑和高，把已知的長方形的長、寬轉化成圓柱的有關數(shù)據(jù)。形成的兩個圓柱，一個的底面小一些、高一些，另一個的底面大一些、矮一些。估計哪一個的體積比較大，其實是猜一猜哪個的體積大。猜對和猜錯，都要通過計算體積來驗證。 P19思考題。讀題，理解水面上升與鋼材放入水中有關，水面下降與鋼材拉出水面有關。讓學生獨立思考，再交流。解法一：可以根據(jù)條件先求出8厘米鋼材長的體積，也就是下降了4厘米的水的體積；再根據(jù)這個結果求出儲水桶的底面積；最后根據(jù)儲水桶的底面積和水面上升9厘米，求出上升部分水的體積，也就是鋼材的體積。解法二根據(jù)鋼材豎著拉出水面8厘米，水面下降4厘米，可以知道水面每下降1厘米，對應鋼材拉出水面2厘米，水面上升9厘米，對應著放入水中的鋼材長18厘米，根據(jù)鋼材的半徑和長度就能求出鋼材的體積。 練習三的后面是“動手做”，要求測量土豆的體積。土豆的形狀不規(guī)則，求它的體積沒有現(xiàn)成的計算公式。教材設計了利用圓柱形容器測量土豆體積的方法進行這項活動要注意兩點，一是在圓柱容器的里面測量它的底面直徑和水面高度，并算出底面積。二是幫助學生理解水面高度變化與土豆體積的關系。教學應在適當時候組織學生反思這次測量活動，體會其中的“轉化”策略：把形狀不規(guī)則的土豆體積，轉化成形狀規(guī)則的圓柱體積，通過計算圓柱體積，得到土豆的體積。 4．“估計—驗證”探索圓錐的體積公式。 就小學生現(xiàn)有的知識，把圓錐轉化成體積相等的其他物體有些困難。因此，教學圓錐體積公式采用的方法與圓柱不同 認識等底、等高的圓錐與圓柱，估計圓錐體積是圓柱的幾分之幾。例5圖示了一個圓柱和一個圓錐，指出它們的底面積相等，高也相等。從圖畫直觀，學生能確定圓錐的體積比圓柱小，教材讓學生估計這個圓錐的體積是圓柱的幾分之幾。這里的估計是形成一個猜想，學生不一定估計圓錐的體積是圓柱的三分之一。不過，這并不要緊，后面的實驗會得出這個關系。只要形成圓錐體積與等底（面積）等高圓柱體積有關的心向，就能支持后面的操作驗證。 通過實驗，發(fā)現(xiàn)等底等高的圓柱與圓錐的體積關系。首先準備器材，找等底等高的圓柱、圓錐容器各一個，教材圖示了比較底面積和比較高的方法。然后在圓錐容器里裝滿沙子，倒入空的圓柱容器里，從“3次正好倒?jié)M”這個事實，證實圓柱形容器的容積是等底等高圓錐形容器的3倍，也就是圓錐形容器的容積是等底等高圓柱形容器的1/3，確認或者修正原來的估計。 利用圓柱體積算圓錐體積，推導圓錐的體積公式。如果不考慮容器壁的厚度，圓錐容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓錐的體積，圓柱容器里裝滿的沙子的體積可以看作圓柱的體積。從實驗的結果先得出等底等高圓錐和圓柱的體積關系：圓錐的體積＝圓柱的體積1/3；再把圓柱的體積計算方法代入關系式，得出圓錐體積計算公式：底面積高1/3。 教材很重視引導學生體驗數(shù)學思想和積累數(shù)學活動經(jīng)驗，在得出圓錐體積公式以后，要求他們回顧圓錐體積公式的探索過程。要讓學生說說自己的體會。整理學生的交流，應該突出兩點：一是“轉化”策略，圓錐體積可以轉化成圓柱體積來計算，新知識可以轉化成舊知識來認識。二是實現(xiàn)轉化可以通過猜想、驗證來落實，猜想圓錐體積與圓柱體積有關，并驗證這種關系確實存在，就實現(xiàn)了圓錐體積到圓柱體積的轉化。 編排等底等高圓柱與圓錐的體積關系的專項練習。第6題根據(jù)圖示的各個立體圖形的底面直徑與高，尋找與圓錐體積相等的圓柱，其中的推理稍有難度?？梢詮膱A錐體積是等底等高圓柱體積的1/3，推理出體積相等的圓柱與圓錐，如果底面積相等，圓錐的高是圓柱的3倍圓柱的高是圓錐的1/3；如果高相等，圓錐的底面積是圓柱的3倍圓柱的底面積是圓錐的1/3。還要注意到，大圓的直徑是小圓的3倍，小圓直徑是大圓的1/3，大圓的面積則是小圓的9倍，小圓的面積是大圓的1/9。 過去的教學告訴我們，這一單元的計算比較繁瑣，學生經(jīng)常會算錯。對此提出三點建議：一是營造良好的計算環(huán)境。每次作業(yè)的題量不宜過多，給學生的時間要充分，心理壓力小些能減少計算錯誤。二是較復雜的計算可以使用計算器。通常情況是，三位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)可以采用筆算，位數(shù)更多的乘法應該用計算器算。沒有必要讓學生進行繁瑣的四則運算，消耗時間和精力。三是指導簡便運算。在半徑的長度數(shù)是5、15、25，高的長度數(shù)是2、4、8時，往往可以利用乘法運算律使計算簡便些。要善于發(fā)現(xiàn)、及時利用可以簡便計算的機會。四是鼓勵用含有π的式子作為計算的最后結果。 本單元的整理與練習仍然按“回顧與整理”“練習與應用”“探索與實踐”“評價與反思”四個欄目編寫。這里著重說說“探索與實踐”欄目的習題。 第12題有培養(yǎng)推理能力的作用。學生中可能有兩個水平的推理：一種水平的推理比較具體，可以假設兩個容器的高都是10厘米，一個容器的底面半徑1厘米，另一個容器的底面半徑2厘米，就能算出這兩個容器的體積分別是10π立方厘米和40π立方厘米，由此得到它們的體積比是1∶4。另一種水平的推理較抽象，由于兩個容器的高相等，所以它們的體積比決定于它們底面積的比。兩個容器的底面半徑的比為1∶2，底面積的比應該是1∶4，由此得到體積比是1∶4。對大多數(shù)學生而言，采用前一水平的推理比較適當，后一水平的推理，只會有少數(shù)學生適應。 第13題是實踐操作題。要求任選一個圓柱形飲料罐，計算它的容積。計算圓柱容器的容積，需要哪些長度？如何測量這些長度？都由學生拿主張。算出的容積應該比飲料罐商標紙上標出的“凈含量”稍大一些，否則飲料罐里裝的飲料不會達到凈含量。 第14題是制作實驗題。 “怎樣卷，圓柱的體積比較大？”解決這個問題可以假設長方形紙長10厘米、寬6厘米，一種卷法形成的圓柱體積大約15.36π（底面周長10厘米，半徑1.6厘米，底面積2.56π平方厘米）；另一種卷法形成的圓柱體積大約10π（底面周長6厘米，半徑1厘米，底面積π平方厘米），怎樣卷體積大就很清楚了。這道題能發(fā)展空間觀念。學生識別長方形的長、寬和圓柱的底面周長、高之間的對應關系，需要動手操作，用一張長方形紙卷一卷、看一看。 三、 解決問題的策略 內(nèi)容及變化 選擇策略解決問題 把轉化的策略安排在五年級下冊 本單元是新編的教學內(nèi)容，主要教學選擇策略解決問題，重點是引導學生在解決問題的過程中，初步學會從不同的角度分析數(shù)量關系，提出不同的解題思路，并集合自身的經(jīng)驗和習慣，選擇合適的策略解決問題，從而起到整理策略、靈活運用策略的作用，使策略得到內(nèi)化，思維品質得到提升。全單元編排兩道例題，例1把陌生的問題轉化成熟悉的問題，體會轉化可以多樣，例2 通過假設和調整解決問題，體會假設與調整可以多樣。 教學建議 1.選擇典型例題，為學生從不同角度分析數(shù)量關系創(chuàng)造條件。 親歷解決問題的過程是學生體驗和感悟解決問題策略的必然途徑。而選擇結構典型，難度適中的實際問題，又是有效組織學生學習活動的必要前提。為此，教材精心選擇能有效激活學生策略意識的實際問題作為例題，鼓勵他們從不同的角度分析數(shù)量關系，為解決問題方法的多樣化創(chuàng)造條件。 例1是一道稍復雜的分數(shù)實際問題（見圖3），這樣的問題，看似簡單，但僅憑直覺和經(jīng)驗又難以找到解決問題的突破口，能自然引起學生的探索興趣，促使他們積極、主動地尋求解決問題的方法，進而呈現(xiàn)解決問題方法的多樣性。再如，教材的例2是“雞兔同籠”問題的變式（見圖4），由實驗教材六年級上冊移來。這樣的問題，數(shù)量關系比較復雜，能有效激活學生在例1的學習中積累的認識和經(jīng)驗，促使他們積極展開探索與思考，并在不斷嘗試中找到解決問題的方法。這就為學生自主選擇合適的策略解決問題提供了機會，有利于學生形成相應的策略意識。 2.合理安排解題活動線索，引導學生在自主探索和比較中體驗選擇策略解決問題的過程。 為了讓學生切實展開獨立思考與合作交流，探尋解決問題的有效方法。提出問題后，兩道例題都通過富有啟發(fā)性的問題，引導學生嘗試著分析數(shù)量關系，找到解決問題的思路。同時通過對不同思路的比較和交流，幫助學生體會不同方法間的聯(lián)系，找到切合自身實際的解題思路，感受選擇策略解決問題的過程。 例1啟發(fā)學生“先分析題目匯中數(shù)量之間的關系，再說說準備怎樣解答”，在激活舊知時，一方面通過從不同角度理解條件，分析數(shù)量關系，進一步感受“轉化”，把復雜的問題通過轉化變得簡單，另一方面引導學生回顧已學策略，激活已有經(jīng)驗，促使學生解決例題時，能主動、方便地提取可用的策略，感受可以根據(jù)問題的特點應用不同策略解決問題。通過交流明確不同的解題思路：可以用畫圖策略，畫線段圖表示題意，直接看出男、女生人數(shù)各占總人數(shù)的幾分之幾再解答；也可以用轉化的策略，把男女生人數(shù)的關系轉化成用比表示，再按比例分配；還可以運用假設策略，用表示單位“1”的量，列方程解答?！斑x擇一種方法列式解答”是經(jīng)過“問題轉化”以后的“模式識別”。利用已有的模型解決轉化后的問題，也就是解答原來的問題。學生采用任何一種解法都可以，但不是要求他們“一題多解”?！皺z驗”十分重要，應把得數(shù)放到原來的問題情境里檢驗是否正確。即看一看得到的男、女生人數(shù)是不是一共35人，男生人數(shù)是不是相當于女生的2/3。如果得數(shù)能夠同時滿足這兩個條件，就是原來問題的答案。否則，就不是原來問題的答案。最后進行回顧反思，體會在解決實際問題時，根據(jù)題意和數(shù)量間的聯(lián)系，靈活地選用策略分析問題、能使解決問題的過程更直接、更清楚，解題方法更簡單，增強策略意識。 例2的問題情境是42人正好坐滿10只船，求大船和小船各有幾只。這個問題的題意并不復雜，學生能夠理解。但是，解法不容易想到，一般的分析數(shù)量關系的方法派不上用場。教材問學生“解決這個問題，你準備用什么策略”，不要求說出解題思路和算法，而是鼓勵他們從已經(jīng)學過的列表、畫圖、枚舉、假設和轉化策略里自主選擇解題方法。正像“辣椒”卡通的畫圖、“蘿卜”卡通的列舉、“番茄”卡通的假設那樣，每個學生都要有自己的選擇，班集體里就會呈現(xiàn)策略多樣化。 提出的假設（或猜想）必須檢驗，看10只船上是不是正好坐42人。提出的第一個假設往往不是問題的答案，船上的總人數(shù)不是比42人多，就是比42人少，需要調整大、小船的只數(shù)。教材把替換留給學生進行，一方面培養(yǎng)檢驗假設的意識，另一方面體會替換的方向與方法。替換時，如果假設的大、小船上乘坐的人數(shù)接近42人，可以一只一只地調整；如果假設的船上人數(shù)與42人相差較大，可以每幾只一調。 例2沒有列式計算，主要是兩個原因：一是解決問題未必都要列式計算，畫圖和列表也是解題的方法和形式。教學應該鼓勵解題形式多樣，發(fā)展學生的個性和創(chuàng)造性。二是解答這道題的算式比較難列，算式蘊含的算理比較復雜。如果列式計算，不僅增加了教學的困難，還會削弱替換活動，傷害學生的學習積極性。 3.精心設計問題的呈現(xiàn)方式，逐步提升學生解決問題的策略水平。 策略的形成是一個漸進的過程，需要有目的、有計劃地進行訓練和指導。教材十分注意安排一些有層次的練習，引導學生在解決問題的過程中，不斷積累選擇策略解決問題的經(jīng)驗，形成相應的策略意識。例如，配合例1的教學，教材安排了三道練習，通過“看圖填空”“把線段圖補充完整”等形式，由“扶”到“放”地組織學生的解題活動，第1題看圖分析數(shù)量關系，分數(shù)與比相互轉化；第2題畫圖描述問題，借助直觀分析數(shù)量關系；第3題選擇策略解決問題。促使他們在解決問題的過程中體會選擇策略的過程，感受策略的實用價值，提升解決問題的策略水平。第5題在有序列舉中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第7題是一道相遇問題，引導學生根據(jù)“貨車的速度是客車的 ”在圖中畫出客車和貨車在相遇時行駛的路程和相遇的位置，在交流中明確：根據(jù)“貨車的速度是客車的 ”可以知道：貨車與客車行駛的速度比是2:3，由于兩車行駛的時間相同，所以貨車與客車行駛的路程比是2:3。所以可以按比例分配解答，也可以用分數(shù)乘法計算，還可以根據(jù)貨車路程是客車的，用方程解答。通過比較發(fā)現(xiàn)，用分數(shù)乘法算比較方便。第8題關鍵在于理解第二堆的黑子與第三堆的白子同樣多，讓學生在圖中試著畫一畫第二、三堆的白子和黑子，從圖中可以清晰看出：第二堆的白子和第三堆的白子合起來正好是60枚。所以先求第一堆的白子：60＝20（枚），第二、三堆的白子有60枚，所以這三堆棋子中一共有60＋20＝80（枚）。應用畫圖的策略，可以清楚看出直觀表示的數(shù)量關系，方便找到不同的解題方法。 四、比例 內(nèi)容及變化 本單元教學圖形的放大和縮小，比例的意義和基本性質，解比例，比例尺及其應用 加強知識的綜合應用 與實驗教材相比，本單元的變化較小，教材在結合圖形的放大和縮小，引導學生通過具體的活動獲取知識的同時，特別注重知識的綜合與應用，引導學生在解決實際問題的過程中，感受知識的內(nèi)在聯(lián)系，加深對所學知識的理解。例如，第47頁第7題（見圖5），要求學生先根據(jù)題中的路線圖算出小青家到梅花山的路程，再根據(jù)小青騎車的速度，計算小青從家到梅花山所需要的時間。這樣的問題，具有較強的現(xiàn)實性和綜合性，可以幫助學生深刻認識與體驗比例尺的意義及其應用價值，感受綜合應用所學知識解決問題的過程，提高分析和解決問題的能力，增強應用意識。 教學建議 　　1．在現(xiàn)實情境和畫圖活動中，教學圖形放大與縮小的含義。 數(shù)學里圖形放大與縮小的含義，和生活中的放大、縮小不是完全相同的。生活中往往把圖形由小變大視作放大，由大變小視作縮小。數(shù)學里的圖形放大與縮小，它的每一條邊都按相同的比變化，即所有邊的長度都放大到原來的幾倍或者縮小到原來的幾分之一。所以，教學圖形的放大與縮小，必須選擇數(shù)學含義鮮明的素材，使學生形成正確的、圖形放大與縮小的概念。 聯(lián)系“倍”和“比”的知識，揭示圖形放大的含義。例1先利用給出的數(shù)據(jù)，分別研究長方形放大后與放大前長的關系、寬的關系，從“倍”的角度和“比”的角度，描述圖形的變化。然后聯(lián)系長方形放大的事實，揭示圖形放大的含義。從教材講述長方形放大的數(shù)學含義，可以看到概念的關鍵是圖形變化后與變化前對應邊的長度比。所以，安排學生研究兩張照片的“長有什么關系”“寬有什么關系”時，要提示他們說出第二張照片的長和寬分別是第一張照片的幾倍，寫出第二張照片和第一張照片長的比、寬的比。不要鼓勵學生把第一張照片的長度和第二張照片比，以免對新概念產(chǎn)生干擾。 促進認知遷移，體會圖形縮小的含義。在初步理解長方形按2︰1的比放大以后，教材提問：如果把第一幅畫按1︰2的比縮小，長和寬應是原來的幾分之幾？各是多少厘米？引導學生感受圖形的縮小，初步形成圖形縮小的概念。教學時，可以把圖形按2︰1的比放大與圖形按1︰2的比縮小進行比較。突出比的前項指變化后的圖形，后項指原來的圖形。2︰1的前項大于后項，表示圖形放大；1︰2的前項小于后項，表示圖形縮小。 在方格紙上畫圖形，進一步體會圖形放大與縮小。例2在方格紙上按照規(guī)定的比畫出長方形放大后與縮小后的圖形，教學這道例題，要把力量放在放大、縮小后圖形長多少、寬多少上，讓學生說說自己的思考，實現(xiàn)例題的編寫意圖。觀察原來的長方形、放大后的長方形、縮小后的長方形三個圖形，發(fā)現(xiàn)它們的大小不同，形狀相同。要再次體會圖形放大或縮小，所有邊的長度都按相同的比變化。 2．以圖形放大為素材，教學比例的意義。 在圖形放大的情境中能夠寫出許多組對應邊長度的比，這些比的比值是相同的。利用這些比教學比例，一方面使組成的比例有具體的含義，有利于理解比例的意義。另一方面通過對應邊長度的比組成比例，能進一步理解圖形的放大。 分別寫出各張照片長和寬的比，分析兩個比的關系。例3要求分別寫出放大前照片的長與寬的比，放大后照片的長與寬的比。這兩個比也是相對應的，都是同一圖形里兩條邊的長度比，而且都把長作前項，寬作后項。學生思考兩個比有什么關系，有人從比值的角度發(fā)現(xiàn)它們的比值都是1.6，有人從化簡比的角度發(fā)現(xiàn)它們化簡后都是8︰5。上面的活動有兩個作用，一是為教學比例積累素材。二是發(fā)展對圖形放大的體會：長方形放大，不僅放大后與放大前長的比與寬的比相同，而且放大前長與寬的比和放大后長與寬的比也相同。 根據(jù)比值相等寫出等式，揭示比例的意義。兩個比的比值都是1.6，兩個比都能化簡成8︰5，這些都表明兩個比相等，因此可以寫成等式。等式的左、右各是一個比，表示兩個比相等，教材指出“表示兩個比相等的式子叫做比例”，讓學生在現(xiàn)實的情境里首次感知比例的意義。 在常見數(shù)量關系中體驗比例的意義。除了圖形放大與縮小，常見的數(shù)量關系中也能找到比例。“練一練”第2題，所有商品一律八折出售，任意一件商品現(xiàn)價與原價的比的比值都是0.8，利用給出的四件商品的原價與現(xiàn)價，能夠組成比例。題目要求“從中選擇兩組數(shù)據(jù)，組成一個比例”，應該理解“兩組數(shù)據(jù)”在這里指的是什么，體會每一件商品的原價與現(xiàn)價就是“一組數(shù)據(jù)”，兩件商品的原價與其對應的現(xiàn)價就是“兩組數(shù)據(jù)”。正方形周長和邊長的比一定能組成比例，因為比值總是4（四條同樣長的邊）。正方形面積和邊長的比一定不能組成比例，因為兩個邊長不同的正方形，面積與邊長的比不相等。教材聯(lián)系常見的數(shù)量關系認識比例，以豐富的素材，加強對比例的理解，也為以后教學正比例作些鋪墊。 練習六的后面編排一次“動手做”。“動手做”讓學生在畫圖實踐中，深入體驗圖形放大、縮小的含義，深入體驗圖形放大、縮小是因其邊的長度變化而發(fā)生的。學生能否畫出放大后的三角形和四邊形，關鍵在于能否從長方形、平行四邊形的放大中習得延長圖形邊的操作方法。所以，觀察兩個長方形，應重點關注小長方形放大成大長方形，大長方形的邊是怎樣畫的，觀察兩個平行四邊形，要關注把小平行四邊形放大成大平行四邊形，邊是怎樣畫的，并且把這些畫法應用到放大三角形和四邊形上。 3．在圖形縮小的情境中教學比例的性質。 教學比例的性質，能夠更好地理解比例的意義，還能解決有關的實際問題。 利用三角形縮小的數(shù)據(jù)寫比例，認識比例的內(nèi)項與外項。例4呈現(xiàn)三角形縮小的情境，縮小前、后的圖形里標有底、高的數(shù)據(jù)。學生根據(jù)圖形縮小的含義，利用圖中的數(shù)據(jù)，能夠寫出許多比例。每個比例都由6、4、3、2四個數(shù)組成，四個數(shù)在比例中的位置有規(guī)律，這些都為教學比例的性質創(chuàng)造有利條件。 教材舉一反三，先在6︰3＝4︰2里講述比例的內(nèi)項與外頂，再讓學生指出其他比例的內(nèi)項、外項，及時鞏固知識。 在寫出的比例中發(fā)現(xiàn)基本性質。比例的性質希望學生主動發(fā)現(xiàn)，因為性質比較明顯。自己發(fā)現(xiàn)性質，認識深刻、記憶牢固、便于應用。教材要求再寫出一些比例，體會規(guī)律存在于每個比例中。把比例用四個字母表示成a∶b＝c∶d，比例的兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積可以寫成ad＝bc。教材用字母式子表示這個規(guī)律，出于兩點考慮：一是符號化能夠提升對比例性質的概括程度。這里四個字母組成的比例代表所有的比例，字母表示的兩個積相等，是所有比例的共同性質。二是有利于應用。以后解比例，都要根據(jù)比例性質寫出兩個外項相乘等于兩個內(nèi)項相乘，才能繼續(xù)求解，應該讓學生學會這個寫法。 練習七第2題給出四組數(shù)，每組四個數(shù)。要求先判斷哪幾組中的四個數(shù)可以組成比例，再把組成的比例寫出來。如5、7、15和21這四個數(shù)，由于521＝715，所以這四個數(shù)能夠組成比例。5和21可以同時做比例的外項，7和15同時做比例的內(nèi)項；5和21也可以同時做比例的內(nèi)項，7和15同時做比例的外項。一共可以寫出8個不同的比例。對于每一個學生來說，只要求正確寫出一個比例，并在交流時知道還能寫出其他比例就可以了，不必要求每個學生都寫出8個比例。 4．結合解決實際問題教學解比例。 例5用比例知識解決實際問題，包括三點內(nèi)容：根據(jù)圖形放大的意義寫出比例，應用比例性質求未知項，指出什么是解比例。 根據(jù)圖形放大，寫出比例。例題要求寫兩張照片長的比與寬的比組成的比例，在這個比例里有三項是已知的，一項是未知的。因此，像列方程解決問題那樣，設放大后照片的寬是x厘米，列出的比例是含有未知數(shù)的等式。 解比例是例題的主要教學內(nèi)容。教材里寫出了兩個內(nèi)項的積等于兩個外項的積這一步，讓學生思考根據(jù)是什么，體會應用比例的性質能夠求出比例中的未知項，并通過“試一試”“練一練”學會解比例。 思考題。根據(jù)比例的基本性質，也就是兩個數(shù)相乘的積相等的關系，把相乘的兩個數(shù)同時做外項或內(nèi)項，就可以寫出符合條件的比例。 5．寫圖上距離和實際距離的比，理解比例尺的含義。 例6教學比例尺的意義，計算平面圖的比例尺。 認識圖上距離和實際距離。例題給出了草坪長50米、寬30米，草坪平面圖長5厘米、寬3厘米。要求學生分別寫出長、寬的圖上距離和實際距離的比。教材沒有對圖上距離、實際距離作解釋，讓學生在問題情境中體會、識別。 指導統(tǒng)一單位。統(tǒng)一圖上距離和實際距離的長度單位，可以把實際距離50米改寫成5000厘米，也可以把圖上距離3厘米改寫成0.03米。只要圖上距離和實際距離的長度單位相同，都能寫出比。但是，寫出的都不是最簡單的整數(shù)比，都要化簡。通過交流，體會把實際距離改寫成厘米作單位的數(shù)量，寫出的是整數(shù)比，化簡較方便；把圖上距離改寫成米作單位的數(shù)量，寫出的是小數(shù)比，化簡較麻煩。由此得到經(jīng)驗，通常應使用圖上距離的長度單位來組成比。 揭示比例尺的意義。通過寫圖上距離與實際距離的比，學生初步感受了比例尺的內(nèi)涵。在此基礎上，教材指出“圖上距離和實際距離的比，叫做比例尺。”兩個數(shù)學式子，既精煉地表示了比例尺的意義，又表達了求比例尺的方法。 認識線段比例尺。線段比例尺是比例尺的另一種表示形式。教學線段比例尺有兩點作用，一是進一步體會比例尺的意義，二是能方便地解決求圖上距離或實際距離的問題。教材通過解釋比例尺1︰1000的具體含義引出線段比例尺，突出線段比例尺的特點，能直觀地表示圖上1厘米相當于實際若干米（千米）。線段比例尺與數(shù)值比例尺的意義是一致的，可以互相轉化。 6．利用比例尺，求實際距離或圖上距離。 利用已知的比例尺，可以求實際距離或者求圖上距離。例7是求實際距離的問題，求圖上距離的問題安排在練習里。例7鼓勵解決問題的方法多樣化，“蘿卜”聯(lián)系數(shù)值比例尺的意義解題，“蘑菇”利用線段比例尺解題。例題的重點是幫助學生列出比例式，用解比例的方法解決問題。列比例式的依據(jù)是比例尺的意義，在數(shù)量關系式“圖上距離/實際距離＝比例尺”的上面，圖上距離是5厘米，比例尺是1/8000。如果設實際距離為厘米，就能列出一個含有未知數(shù)的比例，通過解比例也能得到實際距離。教材編排這種解法，給學生多一次理解和應用比例尺意義的機會，多一種求實際距離的方法。教學這種解法，要注意設句里實際距離的長度單位，這個單位必須和圖上距離的單位相同。 “試一試”要指導學生，根據(jù)得到的圖上距離，在學校正北方向3厘米處做一個記號表示醫(yī)院，并且在學校與醫(yī)院之間連一條線段。學生在這次“試一試”里，能初步感受畫平面圖的主要工作：找到合適的比例尺、計算有關的圖上距離、確定方向等，為以后制作簡單的平面圖作了準備。 7．安排實踐活動，進一步理解圖形放大、縮小的概念。 實踐活動《面積的變化》探索圖形放大，面積變化與邊長變化的聯(lián)系。第一項活動是測量長方形放大后與放大前的長、寬，按圖形放大的概念分別寫出長的比和寬的比，估計放大后長方形面積與放大前的比是幾比幾，通過計算檢驗估計，初步體驗圖形放大時邊長變化的比與面積變化的比是不同的。第二項活動測量正方形、三角形、圓的有關長度并計算面積，把數(shù)據(jù)填入表格，發(fā)現(xiàn)面積變化與長度變化的關系。第三項活動實例驗證，形成認識，在課本第112頁的方格紙上畫一個平行四邊形，也可以畫其它圖形，按比例放大，算一算放大后與放大前圖形的面積比，看看是不是符合上面的規(guī)律：放大后與放大前圖形邊長的比是n:1，面積比是n：1。 在回顧反思的環(huán)節(jié)中，不僅要回憶規(guī)律，更要回憶如何發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。在總結發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法中，使學生積累一定的活動經(jīng)驗。通過“你還能想到些什么”，引導學生聯(lián)系平面圖形按比例縮小后的面積變化，思考立體圖形按比例放大后的體積變化?？梢耘e例子、找數(shù)據(jù)，對照比較去研究。 五、確定位置 內(nèi)容及變化 本單元主要教學用方向和距離確定位置。一方面，由于這部分內(nèi)容涉及到方向、角度、比例尺等知識，綜合性強，難度較大。另一方面，這部分內(nèi)容的教育價值不在于為學生提供更多的應用比例尺解決問題的機會，而在于讓學生了解一些用平面圖刻畫現(xiàn)實空間的不同形式，感受數(shù)學方法的多樣性和知識系統(tǒng)的完備性?；谏鲜隹紤]，本次修訂，從以下兩方面對本單元教材進行了調整：一是注意從教學的實際需要出發(fā)，適當降低教學要求。例如，描述物體相對于某一觀測點的位置是，通過在平面圖上標注“偏東”或“偏西”的角度，畫出以厘米為單位的刻度等方式，以簡化操作、計算和思考的過程，達到降低難度的目的，如第53頁第2題（見圖6）；描述路線圖時，對于運行方向，只要求學生用“北偏東”“南偏西”等方位詞進行描述，不具體到偏離的角度；對于運行距離，要么不涉及距離，要么在平面圖上直接標出某一段路程的實際距離，不要求根據(jù)比例尺進行計算，如第55頁第9題（見圖7）。二是在例1教學之后，教材引導學生討論“以前學過哪些確定位置的方法？現(xiàn)在又有了哪些新的認識”，幫助他們感受不同的確定位置方法之間的聯(lián)系與區(qū)別，體會確定位置方法的多樣性 教學建議 本單元編排了三道例題,分別是用方向和距離表示位置的知識，在平面圖上用方向和距離表示物體的位置，描述行走的路線 　　1．在已有方向知識的基礎上，教學新的確定位置方法 生活中用方向表示物體的位置不大精確，因為東北、東南、西北、西南的范圍比較寬，而且僅有方向，沒有距離。用方向和距離比較準確地表示物體的位置，涉及了方位、角度、實際距離三個具體內(nèi)容。 引出新的方向詞。例1聯(lián)系原有經(jīng)驗，航海情境圖上燈塔1在輪船的東北方向，燈塔2在輪船的西北方向。教材指出，東北方向叫做北偏東，西北方向叫做北偏西，引出了兩個新方向詞。在原有方向知識基礎上認識新方向詞，有助于理解詞的具體含義。北偏東即正北往東偏些，北偏西即正北往西偏些。理解了北偏東、北偏西，再認識南偏東、南偏西就容易了。 用角度準確表示方向。燈塔1在輪船的北偏東30方向?！边@里的北偏東30方向表示了輪船為端點的一條射線，燈塔1是這條射線上的一個點。因此，方向詞的后面添上角的度數(shù)，才能準確描述物體所在的方向。教學這個知識，不僅讓學生學會如何表示方向，還要體會這樣表示的好處。。 用距離準確表示位置。北偏東30講了方向，在這個方向上，哪里是燈塔1？從圖中射線上的刻度可以看出燈塔1到輪船的圖上距離為3厘米，根據(jù)比例尺，算出實際距離。“輪船北偏東30方向6千米處”準確地描述了燈塔1的位置。 2．根據(jù)給定的方向和距離，在平面圖上確定物體所在的位置 例2在圖上畫出清涼島的位置，首先要理解“北偏東40方向20千米”的含義，識別其中的方向內(nèi)容和距離內(nèi)容。其次要用量角器畫40的角，根據(jù)比例尺把實際距離換算成圖上距離，還要畫2厘米長的線段表示實際距離20千米。學生已經(jīng)學過這些知識和方法，應該有能力完成畫圖任務。 這次畫圖涉及許多數(shù)學內(nèi)容，關鍵是要安排好畫圖的步驟。為此，教材要求學生思考畫法并在小組里交流。這是很重要的一步教學環(huán)節(jié)，直接關系到能不能順利畫出清涼島的位置。 畫圖分兩段進行：先確定清涼島所在的方向——找到黎明島的北偏東方向，畫出北偏東40的角，黎明島就在角的一條邊上。再確定清涼島所在的距離——平面圖的比例尺是圖上1厘米表示實際距離10千米，清涼島離黎明島的實際距離是20千米，圖上距離應該是2厘米。按這樣的步驟不僅能畫出清涼島的位置，還能體會用方向和距離確定物體的位置既合理又嚴密。課堂上要關注學生用量角器畫40角的方法，量角器的中心應該和表示黎明島的點重合，0刻度線應該和表示正北方向的射線重合，40刻度線應該在黎明島北偏東的方向上。 另外，還應給學生三點畫圖指導：一是北偏東的射線要畫得輕些、細些，只要自己能看到就行；二是射線上找到清涼島的位置，可以用一個圓點表示，圓點要畫得清楚，并在旁邊標注“清涼島”；三是把黎明島和清涼島之間的線段適當描粗些，并且每1厘米一段，分成兩段，便于看出圖上距離和實際距離各是多少。 例2里的“北偏東”已經(jīng)在例1里教過，學生已經(jīng)理解這個方向詞語。“練一練”里的“南偏西”是第一次出現(xiàn)，要讓學生解釋這個方向詞語，正確理解其意思。另外在動手畫圖前，還可以組織學生說說“在平面圖上用方向和距離確定位置”的方法與步驟，既作為例2學習的回顧反思，又作為“練一練”的思想準備。 3．應用確定位置的知識，描述行走的路線 例3說說李偉從家到學校的路線，在現(xiàn)實的情境里應用方向距離確定位置的知識。李偉上學的路線是三條或多條線段連成的折線。由于李偉是沿著街道行走的，平面圖沒有給出各街道與正北方向的夾角，也沒有給出各街道的長度，只能用以前學習的或者剛剛學習的方向詞語描述行走的方向與路線。四個小卡通的交流雖然說法各不相同，卻都是