（河南專版）2019年中考數(shù)學一輪復習 第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt

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第四章圖形的認識 4 3等腰三角形與直角三角形 中考數(shù)學 河南專用 五年中考 A組2014 2018年河南中考題組 五年中考 1 2016河南 6 3分 如圖 在 ABC中 ACB 90 AC 8 AB 10 DE垂直平分AC交AB于點E 則DE的長為 A 6B 5C 4D 3 答案D在 ABC中 ACB 90 DE垂直平分AC AD DC DE BC E為AB的中點 DE BC BC 6 DE BC 3 故選D 2 2018河南 15 3分 如圖 MAN 90 點C在邊AM上 AC 4 點B為邊AN上一動點 連接BC A BC與 ABC關(guān)于BC所在直線對稱 點D E分別為AC BC的中點 連接DE并延長交A B所在直線于點F 連接A E 當 A EF為直角三角形時 AB的長為 答案4或4 解析 1 當點A 在直線DE下方時 如圖1 CA F 90 EA F CA F A EF為鈍角三角形 不符合 2 當點A 在直線DE上方時 如圖2 當 A FE 90 時 DE AB EDA 90 A B AC 由對稱知四邊形ABA C為正方形 AB AC 4 當點A 在直線DE上方時 如圖3 當 A EF 90 時 A E AC 所以 A EC ACE A CE A C A E A E EC A CE為等邊三角形 ACB A CB 60 在Rt ACB中 AB AC tan60 4 當點A 在直線DE上方時 EA F CA B 不可能為90 綜上所述 當 A EF為直角三角形時 AB的長為4或4 圖1 圖2 圖3 思路分析由題意知 點B為邊AN上的動點 A點的對稱點A 可以在直線DE的下方或上方 分類討論 當點A 在DE的下方時 A EF不可能為直角三角形 當點A 在直線DE上方時 A EF或 A FE為90 時分別計算AB的長 顯然 EA F 90 可以排除 方法總結(jié)解對稱 折疊 型問題 當對稱軸過定點時 一般要找出對稱中的定長線段 以定點為圓心 定長為半徑作輔助圓來確定對稱點的軌跡是較為有效的方法 再根據(jù)題目中所要求的條件 結(jié)合全等 相似或勾股定理等計算得出結(jié)果 3 2017河南 14 3分 如圖1 點P從 ABC的頂點B出發(fā) 沿B C A勻速運動到點A 圖2是點P運動時 線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象 其中M為曲線部分的最低點 則 ABC的面積是 答案12 解析觀察題圖可知BC BA 5 當BP AC時 BP 4 此時AP CP 3 所以AC 6 所以S ABC 6 4 12 4 2017河南 15 3分 如圖 在Rt ABC中 A 90 AB AC BC 1 點M N分別是邊BC AB上的動點 沿MN所在的直線折疊 B 使點B的對應點B 落在邊AC上 若 MB C為直角三角形 則BM的長為 答案或1 解析在Rt ABC中 A 90 AB AC B C 45 1 當 MB C 90 時 B MC C 45 設BM x 則B M B C x 在Rt MB C中 由勾股定理得MC x x x 1 解得x 1 BM 1 2 如圖 當 B MC 90 時 點B 與點A重合 此時BM B M BC 綜上所述 BM的長為1或 5 2014河南 11 3分 如圖 在 ABC中 按以下步驟作圖 分別以點B C為圓心 以大于BC的長為半徑作弧 兩弧相交于M N兩點 作直線MN交AB于點D 連接CD 若CD AC B 25 則 ACB的度數(shù)為 答案105 解析由題意知MN垂直平分BC CD BD 又CD AC AC CD BD DCB B 25 A CDA 50 ACB 180 A B 105 6 2014河南 22 10分 1 問題發(fā)現(xiàn)如圖1 ACB和 DCE均為等邊三角形 點A D E在同一直線上 連接BE 填空 AEB的度數(shù)為 線段AD BE之間的數(shù)量關(guān)系為 2 拓展探究如圖2 ACB和 DCE均為等腰直角三角形 ACB DCE 90 點A D E在同一直線上 CM為 DCE中DE邊上的高 連接BE 請判斷 AEB的度數(shù)及線段CM AE BE之間的數(shù)量關(guān)系 并說明理由 圖1圖2 3 解決問題如圖3 在正方形ABCD中 CD 若點P滿足PD 1 且 BPD 90 請直接寫出點A到BP的距離 圖3 解析 1 60 AD BE 2分 2 AEB 90 AE 2CM BE 4分 注 若未給出本判斷結(jié)果 但后續(xù)理由說明完全正確 不扣分 理由 ACB和 DCE均為等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC CD CE ACB DCB DCE DCB ACD BCE ACD BCE 6分 AD BE BEC ADC 135 AEB BEC CED 135 45 90 7分 在等腰直角三角形DCE中 CM為斜邊DE上的高 CM DM ME DE 2CM AE DE AD 2CM BE 8分 3 或 10分 提示 PD 1 BPD 90 BP是以點D為圓心 1為半徑的 D的切線 點P為切點 第一種情況 如圖 連接BD AP 過點A作AP的垂線 交BP于點P 可證 APD AP B PD P B 1 CD BD 2 BP 作AM PP 交PP 于點M AM PP PB BP 第二種情況 如圖 由上同理可得AM PP PB BP 思路分析 1 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判定 ACD BCE即可得結(jié)論 2 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì) 類比第 1 問判定 ACD BCE 從而得解 3 根據(jù)PD 1且 BPD 90 運用圓的切線的性質(zhì)構(gòu)造直角三角形解題即可 解題關(guān)鍵判定 ACD BCE 利用全等三角形的性質(zhì)求 AEB的大小并表示相應線段間的數(shù)量關(guān)系是本題關(guān)鍵 考點一等腰三角形 B組2014 2018年全國中考題組 1 2018福建 5 4分 如圖 等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為D 點E在線段AD上 EBC 45 則 ACE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 答案A由等邊三角形ABC中 AD BC 垂足為點D 可得 ACB 60 且點D是BC的中點 所以AD垂直平分BC 所以EC EB 根據(jù)等邊對等角 得到 ECB EBC 45 故 ACE ACB ECB 60 45 15 2 2018湖北黃岡 4 3分 如圖 在 ABC中 直線DE是AC的垂直平分線 且分別交BC AC于點D和E B 60 C 25 則 BAD為 A 50 B 70 C 75 D 80 答案B因為直線DE是AC的垂直平分線 所以AD DC 所以 DAC C 25 所以 ADC 180 25 25 130 因為 ADC B BAD 所以 BAD ADC B 130 60 70 故選B 3 2017內(nèi)蒙古包頭 6 3分 若等腰三角形的周長為10cm 其中一邊長為2cm 則該等腰三角形的底邊長為 A 2cmB 4cmC 6cmD 8cm 答案A當腰長為2cm時 底邊長為6cm 但是2 2 4 6 即兩邊之和小于第三邊 不合題意 當?shù)走呴L為2cm時 腰長為4cm 符合題意 故選A 4 2016湖北武漢 10 3分 平面直角坐標系中 已知A 2 2 B 4 0 若在坐標軸上取點C 使 ABC為等腰三角形 則滿足條件的點C的個數(shù)是 A 5B 6C 7D 8 答案A如圖 當AB AC時 以點A為圓心 AB長為半徑作圓 與坐標軸有兩個交點 點B除外 即O 0 0 C0 0 4 其中點C0與A B兩點共線 不符合題意 當AB BC時 以點B為圓心 AB長為半徑作圓 與坐標軸有兩個交點 均符合題意 當AC BC時 作AB的垂直平分線 與坐標軸有兩個交點 均符合題意 所以滿足條件的點C有5個 故選A 5 2016湖南長沙 17 3分 如圖 ABC中 AC 8 BC 5 AB的垂直平分線DE交AB于點D 交邊AC于點E 則 BCE的周長為 答案13 解析 DE垂直平分AB AE BE BCE的周長為BE CE BC AE CE BC AC BC 8 5 13 評析本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理 即線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等 6 2014內(nèi)蒙古呼和浩特 13 3分 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36 則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 答案63 或27 解析在三角形ABC中 設AB AC BD AC于D 若三角形是銳角三角形 則 A 90 36 54 此時 底角 180 54 2 63 若三角形是鈍角三角形 則 BAC 36 90 126 此時 底角 180 126 2 27 綜上 該等腰三角形底角的度數(shù)是63 或27 評析本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理 屬容易題 7 2017北京 19 5分 如圖 在 ABC中 AB AC A 36 BD平分 ABC交AC于點D 求證 AD BC 證明 AB AC A 36 ABC C 72 BD平分 ABC ABD 36 ABD A AD BD BDC A ABD 72 BDC C BD BC AD BC 8 2015重慶 25 12分 如圖1 在 ABC中 ACB 90 BAC 60 點E是 BAC角平分線上一點 過點E作AE的垂線 過點A作AB的垂線 兩垂線交于點D 連接DB 點F是BD的中點 DH AC 垂足為H 連接EF HF 1 如圖1 若點H是AC的中點 AC 2 求AB BD的長 2 如圖1 求證 HF EF 3 如圖2 連接CF CE 猜想 CEF是不是等邊三角形 若是 請證明 若不是 請說明理由 圖1 圖2 解析 1 點H是AC的中點 AC 2 AH AC 1分 ACB 90 BAC 60 ABC 30 AB 2AC 4 2分 DA AB DH AC DAB DHA 90 DAH 30 AD 2 3分 在Rt ADB中 DAB 90 BD2 AD2 AB2 BD 2 4分 2 證明 連接AF 如圖 F是BD的中點 DAB 90 AF DF FDA FAD 5分 DE AE DEA 90 DHA 90 DAH 30 DH AD AE平分 BAC CAE BAC 30 DAE 60 ADE 30 AE AD AE DH 6分 FDA FAD HDA EAD 60 FDA HDA FAD EAD FDH FAE 7分 FDH FAE SAS FH FE 8分 3 CEF是等邊三角形 9分 理由如下 取AB的中點G 連接FG CG 如圖 F是BD的中點 FG DA FG DA FGA 180 DAG 90 又 AE AD AE FG 在Rt ABC中 ACB 90 點G為AB的中點 CG AG 又 CAB 60 GAC為等邊三角形 10分 AC CG ACG AGC 60 FGC 30 FGC EAC FGC EAC SAS 11分 CF CE ACE GCF ECF ECG GCF ECG ACE ACG 60 CEF是等邊三角形 12分 1 2018陜西 6 3分 如圖 在 ABC中 AC 8 ABC 60 C 45 AD BC 垂足為D ABC的平分線交AD于點E 則AE的長為 A 2B 3C D 考點二直角三角形 答案D AC 8 C 45 AD BC AD ACsin45 4 過點E作EF AB于點F BE是 ABC的平分線 DE EF ABC 60 AD BC BAE 30 在Rt AEF中 EF AE 又 AD 4 DE EF AE AD 故選D 思路分析首先利用AC的長及 C的正弦求出AD的長 進而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系 最后求出AE的長 2 2017陜西 6 3分 如圖 將兩個大小 形狀完全相同的 ABC和 A B C 拼在一起 其中點A 與點A重合 點C 落在邊AB上 連接B C 若 ACB AC B 90 AC BC 3 則B C的長為 A 3B 6C 3D 答案A由題意得 ABC與 A B C 全等且均為等腰直角三角形 AC BC 3 AB 3 AB 3 在 AB C中 易知 CAB 90 AB C是直角三角形 B C 3 3 2016安徽 10 4分 如圖 Rt ABC中 AB BC AB 6 BC 4 P是 ABC內(nèi)部的一個動點 且滿足 PAB PBC 則線段CP長的最小值為 A B 2C D 答案B PAB PBC PBC ABP 90 PAB ABP 90 P 90 設AB的中點為O 則P在以AB為直徑的圓上 當點O P C三點共線時 線段CP最短 OB AB 3 BC 4 OC 5 又OP AB 3 線段CP長的最小值為5 3 2 故選B 4 2015江西南昌 14 3分 如圖 在 ABC中 AB BC 4 AO BO P是射線CO上的一個動點 AOC 60 則當 PAB為直角三角形時 AP的長為 答案2或2或2 解析由題意知 滿足條件的點P有三個位置 如圖 APB 90 因為OA OB 2 所以OP OA 2 又因為 AOC 60 所以 POA為等邊三角形 所以AP 2 如圖 APB 90 因為OA OB 2 所以OP OA OB 2 又 AOC BOP 60 所以 OBP為等邊三角形 所以 OBP 60 所以 OAP 30 所以AP AB cos OAP 4 2 如圖 ABP 90 因為 BOP AOC 60 所以BP OB tan60 2 在Rt ABP中 AP 2 綜上所述 AP的長為2或2或2 評析本題是以等腰三角形中的動點為背景的分類討論型問題 考查了含特殊角的直角三角形的邊角關(guān)系 勾股定理等知識 本題易漏掉某種情況 屬易錯題 5 2018安徽 23 14分 如圖1 Rt ABC中 ACB 90 點D為邊AC上一點 DE AB于點E 點M為BD的中點 CM的延長線交AB于點F 1 求證 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 3 如圖2 若 DAE CEM 點N為CM的中點 求證 AN EM 圖1圖2 解析 1 證明 由已知 在Rt BCD中 BCD 90 M為斜邊BD的中點 CM BD 又DE AB 同理 EM BD CM EM 4分 2 由已知得 CBA 90 50 40 又由 1 知CM BM EM CME CMD DME 2 CBM EBM 2 CBA 2 40 80 EMF 180 CME 100 9分 3 證明 DAE CEM CME DEA 90 DE CM AE EM 又CM DM EM DM DE EM DEM是等邊三角形 MEF DEF DEM 30 證法一 在Rt EMF中 EMF 90 MEF 30 又 NM CM EM AE FN FM NM EF AE AE EF AF 又 AFN EFM AFN EFM NAF MEF AN EM 14分 證法二 連接AM 則 EAM EMA MEF 15 AMC EMC EMA 75 又 CMD EMC EMD 30 且MC MD ACM 180 30 75 由 可知AC AM 又N為CM的中點 AN CM 又 EM CF AN EM 14分 思路分析 1 利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證 2 由直角三角形中兩銳角互余求出 CBA 由等腰三角形的性質(zhì)可得 MEB MBE MCB MBC 從而可得 CME DME CMD 2 CBM EBM 最后由補角性質(zhì)求出 EMF 3 由 DAE CEM可推出 DEM為等邊三角形 從而可得 MEF 30 下面證AN EM有兩個思路 一是根據(jù)直角三角形30 角所對直角邊等于斜邊的一半可得 又點N是CM的中點 可推出 從而可證 AFN EFM 進一步即可證明AN EM 二是連接AM 計算可得 AMC ACM 而N是CM的中點 從而AN CM 進一步即可證明AN EM 6 2017北京 28 7分 在等腰直角 ABC中 ACB 90 P是線段BC上一動點 與點B C不重合 連接AP 延長BC至點Q 使得CQ CP 過點Q作QH AP于點H 延長交AB于點M 1 若 PAC 求 AMQ的大小 用含 的式子表示 2 用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系 并證明 解析 1 ACB是等腰直角三角形 CAB 45 PAB 45 QH AP AMQ 90 PAB 45 2 線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系為PQ MB 證明 連接AQ 過點M作MN BQ于點N 如圖 則 MNB為等腰直角三角形 MB MN AC BQ CQ CP AP AQ QAC PAC QAM BAC QAC 45 QAC 45 PAC AMQ QA QM MQN APQ PAC APQ 90 MQN PAC MQN QAC Rt QAC Rt MQN QC MN PQ 2QC 2MN MB 解題關(guān)鍵解決本題第 2 問的關(guān)鍵是要通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形 從而找出邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系 7 2016內(nèi)蒙古呼和浩特 21 7分 已知 如圖 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D為AB邊上一點 1 求證 ACE BCD 2 求證 2CD2 AD2 DB2 證明 1 ACB和 ECD都是等腰直角三角形 CD CE AC BC ECD ACB 90 ECD ACD ACB ACD 即 ECA DCB 1分 在 ACE與 BCD中 3分 ACE BCD 4分 2 ACE BCD AE BD 5分 EAC BAC 45 EAD 90 在Rt EAD中 ED2 AD2 AE2 ED2 AD2 BD2 6分 又ED2 EC2 CD2 2CD2 2CD2 AD2 DB2 7分 考點一等腰三角形 C組教師專用題組 1 2018河北 8 3分 已知 如圖 點P在線段AB外 且PA PB 求證 點P在線段AB的垂直平分線上 在證明該結(jié)論時 需添加輔助線 則作法不正確的是 A 作 APB的平分線PC交AB于點CB 過點P作PC AB于點C且AC BCC 取AB中點C 連接PCD 過點P作PC AB 垂足為C 答案B無論作 APB的平分線PC交AB于點C 還是取AB中點C 連接PC或過點P作PC AB 垂足為C 都可以通過等腰三角形三線合一得出結(jié)論 選項A C D的作法正確 故選B 2 2017湖北武漢 10 3分 如圖 在Rt ABC中 C 90 以 ABC的一邊為邊畫等腰三角形 使得它的第三個頂點在 ABC的其他邊上 則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為 A 4B 5C 6D 7 答案D 如圖1 以B為圓心 BC長為半徑畫弧 交AB于點D 則 BCD就是等腰三角形 如圖2 以A為圓心 AC長為半徑畫弧 交AB于點E 則 ACE就是等腰三角形 如圖3 以C為圓心 BC長為半徑畫弧 交AB于M 交AC于點F 則 BCM BCF是等腰三角形 如圖4 作AC的垂直平分線交AB于點H 則 ACH就是等腰三角形 如圖5 作AB的垂直平分線交AC于點G 則 AGB就是等腰三角形 如圖6 作BC的垂直平分線交AB于I 則 BCI就是等腰三角形 故選D 3 2015廣西南寧 7 3分 如圖 在 ABC中 AB AD DC B 70 則 C的度數(shù)為 A 35 B 40 C 45 D 50 答案A AB AD ADB B 70 AD DC C DAC ADB是 ADC的外角 C ADB 35 故選A 4 2015福建龍巖 8 4分 如圖 在邊長為的等邊三角形ABC中 過點C垂直于BC的直線交 ABC的平分線于點P 則點P到邊AB所在直線的距離為 A B C D 1 答案D由題意可得 PBC 30 在Rt PBC中 PC BC tan30 1 因為BP是 ABC的平分線 所以點P到AB的距離等于點P到BC的距離 即為1 故選D 5 2015江蘇蘇州 7 3分 如圖 在 ABC中 AB AC D為BC中點 BAD 35 則 C的度數(shù)為 A 35 B 45 C 55 D 60 答案C AB AC D為BC中點 CAD BAD 35 AD DC 在 ADC中 C 90 DAC 55 故選C 6 2015北京 16 3分 閱讀下面材料 在數(shù)學課上 老師提出如下問題 尺規(guī)作圖 作一條線段的垂直平分線 已知 線段AB 求作 線段AB的垂直平分線 小蕓的作法如下 1 分別以點A和點B為圓心 大于AB的長為半徑作弧 兩弧相交于C D兩點 2 作直線CD 所以直線CD就是所求作的垂直平分線 老師說 小蕓的作法正確 請回答 小蕓的作圖依據(jù)是 答案到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 兩點確定一條直線 解析由小蕓的作法可知 AC BC AD BD 所以由 到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 可知點C D在線段AB的垂直平分線上 再由 兩點確定一條直線 可知直線CD就是所求作的垂直平分線 7 2014山西 16 3分 如圖 在 ABC中 BAC 30 AB AC AD是BC邊上的中線 ACE BAC CE交AB于點E 交AD于點F 若BC 2 則EF的長為 答案 1 解析在DF上取點G 使DG DC 連接CG AB AC AD為BC邊上的中線 AD BC CAD BAD BAC 15 CDG為等腰直角三角形 DCG 45 ACE BAC ACE CAD AF CF ACE BAC 15 DCG 45 ACB 75 FCG 75 15 45 15 BAD FCG 又 AFE CFG AF CF AFE CFG ASA EF FG AB AC AD為BC邊上的中線 CD BC 1 DCF 75 15 60 DF DC 又 DG DC 1 EF FG DF DG 1 8 2015廣東廣州 15 3分 如圖 ABC中 DE是BC的垂直平分線 DE交AC于點E 連接BE 若BE 9 BC 12 則cosC 答案 解析因為DE是BC的垂直平分線 所以CE BE 9 CD BD 6 在Rt CDE中 cosC 9 2014江蘇蘇州 15 3分 如圖 在 ABC中 AB AC 5 BC 8 若 BPC BAC 則tan BPC 答案 解析如圖 過A作等腰 ABC底邊BC上的高AD 垂足為D 則AD平分 BAC 且D為BC的中點 所以BD 4 根據(jù)勾股定理可求出AD 3 又因為 BPC BAC 所以 BPC BAD 所以tan BPC tan BAD 10 2017內(nèi)蒙古呼和浩特 18 6分 如圖 等腰三角形ABC中 BD CE分別是兩腰上的中線 1 求證 BD CE 2 設BD與CE相交于點O 點M N分別為線段BO和CO的中點 當 ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時 判斷四邊形DEMN的形狀 無需說明理由 解析 1 證明 AB AC是等腰 ABC的兩腰 AB AC BD CE是中線 AD AC AE AB AD AE 又 A A ABD ACE BD CE 2 四邊形DEMN為正方形 提示 由MN DE分別是 OBC ABC的中位線可得四邊形DEMN是平行四邊形 由 1 知BD CE 故可證OE OD 從而四邊形DEMN是矩形 再由 ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等可知四邊形DEMN為正方形 11 2016安徽 23 14分 如圖1 A B分別在射線OM ON上 且 MON為鈍角 現(xiàn)以線段OA OB為斜邊向 MON的外側(cè)作等腰直角三角形 分別是 OAP OBQ 點C D E分別是OA OB AB的中點 1 求證 PCE EDQ 2 延長PC QD交于點R 如圖2 若 MON 150 求證 ABR為等邊三角形 如圖3 若 ARB PEQ 求 MON的大小和的值 解析 1 證明 點C D E分別是OA OB AB的中點 DEOC CEOD 四邊形ODEC為平行四邊形 OCE ODE 又 OAP OBQ都是等腰直角三角形 PCO QDO 90 PCE PCO OCE QDO ODE EDQ 又 PC AO CO ED CE OD OB DQ PCE EDQ 5分 2 證明 如圖 連接OR PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線 AR OR BR ARC ORC ORD BRD 在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 MON 150 CRD 30 ARB ARO BRO 2 CRO 2 ORD 2 CRD 60 ABR為等邊三角形 9分 如圖 由 1 知EQ PE DEQ CPE 又 AO ED CED ACE PEQ CED CEP DEQ ACE CEP CPE ACE RCE ACR 90 即 PEQ為等腰直角三角形 由于 ARB PEQ 所以 ARB 90 于是在四邊形OCRD中 OCR ODR 90 CRD ARB 45 MON 135 此時P O B在一條直線上 PAB為直角三角形且 APB為直角 所以AB 2PE 2 PQ PQ 則 14分 12 2015北京 20 5分 如圖 在 ABC中 AB AC AD是BC邊上的中線 BE AC于點E 求證 CBE BAD 證明 AB AC AD是BC邊上的中線 AD BC BAD CAD BE AC BEC ADC 90 CBE 90 C CAD 90 C CBE CAD CBE BAD 13 2014浙江寧波 25 12分 課本的作業(yè)題中有這樣一道題 把一張頂角為36 的等腰三角形紙片剪兩刀 分成3張小紙片 使每張小紙片都是等腰三角形 你能辦到嗎 請畫示意圖說明剪法 我們有多種剪法 圖1是其中的一種方法 定義 如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形 我們把這叫做這個三角形的三分線 1 請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45 的等腰三角形的三分線 并標注每個等腰三角形頂角的度數(shù) 若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形 則視為同一種 2 ABC中 B 30 AD和DE是 ABC的三分線 點D在BC邊上 點E在AC邊上 且AD BD DE CE 設 C x 試畫出示意圖 并求出x所有可能的值 3 如圖3 ABC中 AC 2 BC 3 C 2 B 請畫出 ABC的三分線 并求出三分線的長 解析 1 畫圖如下 任畫其中兩個即可 當AD AE時 2x x 30 30 x 20 當AD DE時 30 30 2x x 180 x 40 當AE DE時 不存在 不寫不扣分 C的度數(shù)是20 或40 結(jié)論不寫不扣分 3 如圖 CD AE就是所求的三分線 設 B 那么 DCB DCA EAC 2 如圖 ADE AED 2 設AE AD a BD CD y AEC BDC a y 2 3 又 ACD ABC 2 a a y 2 解得a y 即三分線長分別是和 評析本題考查了學生的理解能力及動手 創(chuàng)新能力 知識方面重點考查三角形內(nèi)角 外角間的關(guān)系及等腰三角形知識 是一道綜合性比較強的題目 1 2017內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD AB 垂足為D AF平分 CAB 交CD于點E 交CB于點F 若AC 3 AB 5 則CE的長為 A B C D 考點二直角三角形 答案A過F作FG AB于點G AF平分 CAB ACB 90 FC FG 易證 ACF AGF AC AG 5 6 90 B 6 90 5 B 3 1 5 4 2 B 1 2 3 4 CE CF AC 3 AB 5 BC 4 在Rt BFG中 設CF x x 0 則FG x BF 4 x BG AB AG 5 3 2 由BF2 FG2 BG2 得 4 x 2 x2 22 解得x CE CF 選A 2 2015北京 6 3分 如圖 公路AC BC互相垂直 公路AB的中點M與點C被湖隔開 若測得AM的長為1 2km 則M C兩點間的距離為 A 0 5kmB 0 6kmC 0 9kmD 1 2km 答案D AC BC M是AB的中點 MC AB AM 1 2km 故選D 3 2018福建 13 4分 如圖 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是AB的中點 則CD 答案3 解析依題意可知CD是直角三角形ABC斜邊上的中線 由 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 可得CD AB 3 4 2018天津 17 3分 如圖 在邊長為4的等邊 ABC中 D E分別為AB BC的中點 EF AC于點F G為EF的中點 連接DG 則DG的長為 答案 解析連接DE 在等邊 ABC中 D E分別是AB BC的中點 DE AC DE EC AC 2 DEB C 60 EF AC EFC 90 FEC 30 EF DEG 180 60 30 90 G是EF的中點 EG 在Rt DEG中 DG 思路分析連接DE 根據(jù)題意可得DE AC 又EF AC 可得到 FEC的度數(shù) 判斷出 DEG是直角三角形 再根據(jù)勾股定理即可求解DG的長 疑難突破本題主要依據(jù)等邊三角形的性質(zhì) 勾股定理以及三角形中位線的性質(zhì)定理求線段DG的長 DG與圖中的線段無直接的關(guān)系 所以應根據(jù)條件連接DE 構(gòu)造直角三角形 運用勾股定理求出DG的長 5 2018云南 6 3分 在 ABC中 AB AC 5 若BC邊上的高等于3 則BC邊的長為 答案1或9 解析分兩種情況討論 BC邊上的高在 ABC內(nèi)時 如圖 過A作AD BC于點D 在Rt ABD中 AB AD 3 BD 5 在Rt ACD中 AC 5 AD 3 CD 4 BC BD CD 9 BC邊上的高位于 ABC外時 如圖 同 可求得BD 5 CD 4 BC 1 綜上 BC的長為1或9 思路分析根據(jù)題意畫圖 要考慮全面 利用勾股定理解直角三角形即可 易錯警示本題容易只考慮BC邊上的高在 ABC內(nèi)的情況而導致漏解 6 2017吉林 11 3分 如圖 在矩形ABCD中 AB 5 AD 3 矩形ABCD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到矩形AB C D 若點B的對應點B 落在邊CD上 則B C的長為 答案1 解析由題意可知 AB AB 5 在Rt ADB 中 利用勾股定理可得DB 4 所以B C 1 思路分析在Rt AB D中 利用勾股定理求出B D的長 即可求出B C的長 7 2017山西 15 3分 一副三角板按如圖方式擺放 得到 ABD和 BCD 其中 ADB BCD 90 A 60 CBD 45 E為AB的中點 過點E作EF CD于點F 若AD 4cm 則EF的長為cm 答案 解析如圖 連接DE 過點E作EM BD于點M 設EF交BD于點N AD 4cm A 60 AB 8cm DB 4cm 點E為AB的中點 EM BD DE AB 4cm EM AD 2cm 由等腰直角三角形的性質(zhì)可知 ENM FND 45 在Rt ENM中 EN EM 2cm MN EM 2cm DN DM MN DB MN 2 2 cm 在Rt DFN中 FN DN cm EF EN FN 2 cm 一題多解過點A作AG CD的延長線于點G CDB CBD 45 ADB 90 ADG 45 AG 2cm ABD 30 BD AD 4cm CBD 45 BC 2cm AG CG EF CG CB CG AG EF BC E是AB的中點 點F為CG的中點 EF AG BC 2 2 cm 8 2016寧夏 14 3分 如圖 Rt AOB中 AOB 90 OA在x軸上 OB在y軸上 點A B的坐標分別為 0 0 1 把Rt AOB沿著AB對折得到 AO B 則點O 的坐標為 答案 解析如圖 作O C OA 垂足為C 在Rt AOB中 OA OB 1 AOB 90 tan BAO BAO 30 由題意可得AO AO O AB OAB 30 O AO 60 在Rt O AC中 AC AO cos60 O C AO sin60 OC AO AC O 9 2016黑龍江哈爾濱 17 3分 在等腰直角三角形ABC中 ACB 90 AC 3 點P為邊BC的三等分點 連接AP 則AP的長為 答案或 解析當CP 1時 根據(jù)勾股定理得AP 當CP 2時 根據(jù)勾股定理得AP 故AP的長為或 10 2015上海 18 4分 已知在 ABC中 AB AC 8 BAC 30 將 ABC繞點A旋轉(zhuǎn) 使點B落在原 ABC的點C處 此時點C落在點D處 延長線段AD 交原 ABC的邊BC的延長線于點E 那么線段DE的長等于 答案4 4 解析如圖 作BF AE交AE于點F 在Rt ABF中 BAF 60 AB 8 可得AF 4 BF 4 所以DF AD AF 8 4 4 易證 BFE是等腰直角三角形 所以EF BF 4 所以DE EF DF 4 4 評析本題考查解含特殊角的直角三角形 畫出圖形 通過作出適當?shù)妮o助線 把一般的三角形化為直角三角形是關(guān)鍵 屬于中等難度題 11 2014貴州貴陽 15 4分 如圖 在Rt ABC中 BAC 90 AB AC 16cm AD為BC邊上的高 動點P從點A出發(fā) 沿A D方向以cm s的速度向點D運動 設 ABP的面積為S1 矩形PDFE的面積為S2 運動時間為t秒 0 t 8 則t 秒時 S1 2S2 答案6 解析由題意可知Rt ADC和Rt EFC都是等腰直角三角形 AD DC BD 8 因為AP t 所以DP EF FC 8 t DF t S1 AP BD t 8 8tcm2 S2 PD DF 8 t t 2t2 16t cm2 所以當S1 2S2時 有8t 4t2 32t 解得t 6 評析本題綜合考查函數(shù)解析式 勾股定理 一元二次方程的解法等知識點 屬中等難度題 12 2016廣東 21 7分 如圖 Rt ABC中 B 30 ACB 90 CD AB交AB于D 以CD為較短的直角邊向 CDB的同側(cè)作Rt DEC 滿足 E 30 DCE 90 再用同樣的方法作Rt FGC FCG 90 繼續(xù)用同樣的方法作Rt HIC HCI 90 若AC a 求CI的長 解析 Rt ABC中 B 30 ACB 90 A 60 1分 CD AB ADC 90 ACD 30 2分 AC a Rt ADC中 AD AC CD AD a 4分 同理可得 Rt DFC中 DF CD a CF DF a 5分 Rt FHC中 FH CF a CH FH a 6分 Rt CHI中 CI CH a 7分 評析本題考查直角三角形的基本性質(zhì)與運算 13 2016北京 23 5分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AC AD M N分別為AC CD的中點 連接BM MN BN 1 求證 BM MN 2 若 BAD 60 AC平分 BAD AC 2 求BN的長 解析 1 證明 在 ABC中 ABC 90 M為AC的中點 BM AC N為CD的中點 MN AD AC AD BM MN 2 BAD 60 AC平分 BAD BAC CAD 30 由BM AM 可得 BMC 2 BAC 60 由MN AD 可得 CMN CAD 30 BMN BMC CMN 90 AC AD 2 BM MN 1 在Rt BMN中 BN 14 2015福建龍巖 24 13分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 AC 6 BC 8 點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動 到達B點即停止運動 M N分別是AD CD的中點 連接MN 設點D運動的時間為t 1 判斷MN與AC的位置關(guān)系 2 求點D由點A向點B勻速運動的過程中 線段MN所掃過區(qū)域的面積 3 若 DMN是等腰三角形 求t的值 解析 1 在 ADC中 M是AD的中點 N是DC的中點 MN AC 3分 2 如圖 分別取 ABC三邊中點E F G 并連接EG FG 根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是 AFGE的面積 AC 6 BC 8 AE 3 GC 4 ACB 90 S AFGE AE GC 12 線段MN掃過區(qū)域的面積為12 7分 3 解法一 依題意可知 MD AD DN DC MN AC 3 i 當MD MN 3時 DMN為等腰三角形 此時AD AC 6 t 6 9分 ii 當MD DN時 AD DC 過D作DH AC交AC于H 則AH AC 3 cosA AD t 5 11分 iii 當DN MN 3時 AC DC 連接MC 則CM AD cosA 即 AM AD t 2AM 綜上所述 當t 5或6或時 DMN為等腰三角形 13分 解法二 依題意可知 MD AD DN DC MN AC 3 i 當MD MN 3時 DMN為等腰三角形 此時AD AC 6 t 6 9分 ii 當MD DN時 AD DC DAC ACD ACB 90 BCD ACD 90 B BAC 90 B BCD BD CD AD 在Rt ABC中 AB 10 t AD AB 5 11分 iii 當DN MN 3時 AC DC 連接MC 則CM AB S ACB BC AC AB MC CM 在Rt AMC中 AM t AD 2AM 綜上所述 當t 5或6或時 DMN為等腰三角形 13分 15 2014重慶 24 10分 如圖 ABC中 BAC 90 AB AC AD BC 垂足是D AE平分 BAD 交BC于點E 在 ABC外有一點F 使FA AE FC BC 1 求證 BE CF 2 在AB上取一點M 使BM 2DE 連接MC 交AD于點N 連接ME 求證 ME BC DE DN 證明如圖 1 BAC 90 AF AE 1 EAC 90 2 EAC 90 1 2 1分 又 AB AC B ACB 45 FC BC FCA 90 ACB 90 45 45 B FCA 2分 ABE ACF ASA 3分 BE CF 4分 2 過E作EG AB于點G B 45 GBE是等腰直角三角形 BG EG 3 45 5分 AD BC AE平分 BAD EG ED BG ED BM 2ED BM 2BG 即G是BM的中點 6分 直線EG是BM的垂直平分線 EB EM 4 3 45 MEB 4 3 45 45 90 即ME BC 7分 AD BC ME AD 5 6 1 5 1 6 AM EM MC MC Rt AMC Rt EMC HL 8分 7 8 BAC 90 AB AC ACB 45 BAD CAD 45 5 7 22 5 AD CD ADE CDN 90 ADE CDN ASA 9分 DE DN 10分 評析本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 等腰直角三角形的判定與性質(zhì) 角平分線的性質(zhì)定理 構(gòu)造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關(guān)鍵 16 2014浙江溫州 22 8分 勾股定理神秘而美妙 它的證法多樣 其巧妙各有不同 其中的 面積法 給了小聰以靈感 他驚喜地發(fā)現(xiàn) 當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時 都可以用 面積法 來證明 下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程 將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放 其中 DAB 90 求證 a2 b2 c2 圖1證明 連接DB 過點D作BC邊上的高DF 則DF EC b a S四邊形ADCB S ACD S ABC b2 ab 又 S四邊形ADCB S ADB S DCB c2 a b a b2 ab c2 a b a a2 b2 c2 請參照上述證法 利用圖2完成下面的證明 圖2將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放 其中 DAB 90 求證 a2 b2 c2 證明 連接 S五邊形ACBED 又 S五邊形ACBED a2 b2 c2 證明連接BD 過點B作DE邊上的高BF 則BF b a S五邊形ACBED S ACB S ABE S ADE ab b2 ab 又 S五邊形ACBED S ACB S ABD S BDE ab c2 a b a ab b2 ab ab c2 a b a a2 b2 c2 評析本題主要考查勾股定理的證明 表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵 考點一等腰三角形1 2018鄭州一模 13 已知三個邊長分別為1 2 3的正三角形從左到右如圖排列 則圖中陰影部分面積為 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎題組 答案 解析如圖 根據(jù)題意得 BG EC HBG FCE 60 在 ACE中 AB BC 1 2 3 AC EC 3 ACE 120 1 30 BG CE 1 2 30 BG AB 1 GHB EFC 90 S EFC S GHB 32 12 即S陰影 解題關(guān)鍵依據(jù)條件 判斷出兩個三角形 GHB和 EFC是含30 角的直角三角形 由等腰三角形的性質(zhì)得出斜邊GB的長 進而求得兩個直角三角形的面積 2 2017濮陽一模 5 如圖 已知 ABC AB BC 用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P 使得PA PC BC 則下列選項正確的是 答案D由作圖知選項D中的點P在線段AB的垂直平分線上 所以PB PA BP PC BC PA PC BC 故選D 思路分析根據(jù)作圖痕跡判斷作出的點P的特點 判斷是否符合PA PC BC 1 2018鄭州一模 5 如圖 已知 ABC AC BC 用尺規(guī)在BC邊上確定一點P 使得PA PC BC 則下列四種不同的作圖方法中正確的是 考點二直角三角形 答案D由題意知PA PB 根據(jù)作圖方法可知 選項D的作圖所表示的是點P在線段AB的垂直平分線上 即PA PB 故選D 2 2017焦作一模 8 如圖 在 ABC中 ABC 90 A 30 BC 4 若DE是 ABC的中位線 延長DE交 ACM的平分線于點F 則DF的長為 A 6B 7C 8D 9 答案A在Rt ABC中 A 30 BC 4 AC 2BC 8 DE是 ABC的中位線 DE BC 2 EC 4 DF BM EFC FCM CF平分 ACM ECF FCM ECF EFC EF EC 4 DF DE EF 6 故選A 3 2018安陽二模 12 如圖 BD是矩形ABCD的一條對角線 點E F分別是BD DC的中點 若AB 4 BC 3 則AE EF的長為 答案4 解析在矩形ABCD中 C DAB 90 點E F分別是BD DC的中點 EF BC AE BD 且BD 5 AE AE EF 4 4 2017平頂山一模 15 在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點 分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個三角形 剩下的部分是如圖所示的四邊形 AB CD CD BC于C 且邊AB BC CD的長分別為2 4 3 則原直角三角形紙片的斜邊長是 解析根據(jù)題意得點B或點C可以為直角三角形的頂點 當點B為直角三角形的頂點時 如圖1 在Rt BCD中 BD 5 D為斜邊EF的中點 EF 2DB 10 當點C為直角三角形的頂點時 如圖2 在Rt ABC中 AC 2 A為斜邊EF的中點 EF 2AC 4 綜上所述 原直角三角形紙片的斜邊長是4或10 答案10或4 5 2016鄭州一模 15 如圖 Rt ABC中 ACB 90 AC 3 BC 4 將邊AC沿直線CE翻折 使點A落在AB邊上的點D處 再將邊BC沿直線CF翻折 使點B落在CD邊的延長線上的點B 處 兩條折痕與斜邊AB分別交于點E F 線段B F的長為 答案 解析在Rt ABC中 AC 3 BC 4 由勾股定理 得AB 5 由圖形的翻折性質(zhì) 得 A 1 2 3 90 CD AC 3 B B CB CB 4 1 A 2 ACB 90 CED BCA ED 在Rt CDE中 CE 1 4 1 A A 4 A B 90 A B 90 4 B 90 即 B FD 90 B FD 2 90 1 4 CED B FD B D 4 3 1 B F 6 2018許昌一模 22 1 觀察猜想如圖 點B A C在同一條直線上 DB BC EC BC且 DAE 90 AD AE 則BC BD CE之間的數(shù)量關(guān)系為 2 問題解決如圖 在Rt ABC中 ABC 90 CB 4 AB 2 以AC為直角邊向外作等腰Rt DAC 連接BD 求BD的長 3 拓展延伸如圖 在四邊形ABCD中 ABC ADC 90 CB 4 AB 2 DC DA 請寫出BD的長 解析 1 BC BD CE 2 如圖1 過D作DE AB 交BA的延長線于E ABC 90 DAC 90 BCA CAB CAB DAE 90 BCA EAD CBA EAD 90 AD AC ABC DEA DE AB 2 AE BC 4 BE 6 在Rt BDE中 由勾股定理得 BD 2 3 如圖2 過D作DE BC于E 作DF AB于F 同理得 CED AFD CE AF ED DF 設AF x DF y 則解得 BF 2 1 3 DF 3 在Rt BDF中 由勾股定理得 BD 3 7 2016開封一模 22 在 ABC中 ACB為銳角 點D為射線BC上一動點 連接AD 將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90 得到AE 連接EC 問題發(fā)現(xiàn) 1 如果AB AC BAC 90 當點D在線段BC上時 不與點B重合 如圖1 請你判斷線段CE與BD之間的關(guān)系和關(guān)系 直接寫出結(jié)論 拓展探究 2 如果AB AC BAC 90 當點D在線段BC的延長線上時 如圖2 請判斷 1 中的結(jié)論是否仍然成立 如成立 請證明你的結(jié)論 問題解決 3 如圖3 AB AC BAC 90 若點D在線段BC上運動 試探究 當銳角 ACB等于度時 線段CE和BD之間的位置關(guān)系仍然成立 點C E重合除外 此時若作DF AD交線段CE于點F AC 3 線段CF長的最大值是 解析 1 CE BD CE BD 2分 2 成立 理由如下 AE是由AD旋轉(zhuǎn)得到的 AE AD BAC 90 EAD 90 BAD CAE 又 AB AC BAD CAE SAS CE BD ACE B B ACB 90 ACE ACB 90 BCE 90 BD CE 6分 3 45 10分 B組2016 2018年模擬 提升題組 時間 45分鐘分值 55分 一 選擇題 每題3分 共6分 1 2017平頂山一模 9 如圖 一張長方形紙片的長AD 4 寬AB 1 點E在邊AD上 點F在邊BC上 將四邊形ABFE沿直線EF翻折后 點B落在邊AD的中點G處 則EG等于 A B 2C D 答案C根據(jù)題意得 A E AE A G AB 1 A A 90 設EG x 則A E AE 2 x 在Rt A EG中 A G2 A E2 EG2 即12 2 x 2 x2 解得x 即EG 故選C 思路分析設EG x 表示出A E的長 在Rt A EG中運用勾股定理求解 2 2017開封一模 8 如圖 已知在Rt ABC中 ABC 90 點D是BC邊的中點 分別以B C為圓心 大于BC長為半徑畫弧 兩弧在直線BC的上方交于點P 直線PD交AC于點E 連接BE 則下列結(jié)論 ED BC A EBA EB平分 AED ED AB 其中正確的個數(shù)為 A 1B 2C 3D 4 答案C由題意可得PD垂直平分BC ED BC正確 ABC 90 PD AB 又D為BC的中點 E為AC的中點 EC EA 易知EB EC EA EB A EBA正確 易知EB平分 AED錯誤 ED AB正確 所以正確的個數(shù)為3 故選C 思路分析由作圖方法知PD垂直平分BC 根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)判斷正誤 3 2018安陽二模 15 如圖 等腰 ABC中 AB AC 5 BC 8 點F是邊BC上不與點B C重合的一個動點 直線DE垂直平分BF 垂足為D 當 ACF是直角三角形時 BD的長為 二 填空題 每小題3分 共15分 答案2或 解析由題意知 ACF 90 當 AFC 90 時 在等腰三角形ABC中 AB AC 5 BF BC 4 DE垂直平分BF BD BF 2 當 FAC 90 時 如圖 作AG BC于點G 在Rt ACG中 AG 3 設FG x 在Rt AFG中 AF2 32 x2 在Rt ACF中 AF2 4 x 2 52 9 x2 4 x 2 25 解得x BF BC FC BD BF 綜上所述 當 ACF是直角三角形時 BD的長為2或 思路分析 ACF為直角三角形 分兩種情況討論 當 AFC 90 時 依據(jù)等腰三角形的性質(zhì) 易求BF BD的長 當 FAC 90 時 設FG x 在Rt AFG和Rt AFC中 根據(jù)勾股定理列方程求解 進而求得BF BD的長 4 2018濮陽一模 15 如圖 在Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 點D E為AC BC上兩個動點 若將 C沿DE折疊 點C的對應點C 恰好落在AB上 且 ADC