（課標通用）安徽省2019年中考數(shù)學總復習 第一篇 知識 方法 固基 第四單元 圖形初步與三角形 考點強化練16 等腰、等邊與直角三角形試題

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1、考點強化練16　等腰、等邊與直角三角形 夯實基礎 1. (2018·四川涼山)如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以A、B為圓心,大于12AB長為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點;②作直線MN交BC于點D,連接AD.若AD=AC,∠B=25°,則∠C=(　　) 　　　　　　　　　　　　　 A.70° B.60° C.50° D.40° 答案C 解析由作圖可知MN為線段AB的垂直平分線, ∴AD=BD,∠DAB=∠B=25°,∵∠CDA為△ABD的一個外角,∴∠CDA=∠DAB+∠B=50°. ∵AD=AC,∴∠C=∠CDA=50°.故選C. 2. (2017·

2、浙江溫州)四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點作垂線,圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt△ABM較長直角邊,AM=22EF,則正方形ABCD的面積為(　　) A.12S B.10S C.9S D.8S 答案C 解析由題意可知EF=EH=HG=GF=S,4個白色的矩形全等,且矩形的長均為2S,寬為(2S-S),則直角三角形的短直角邊長為S. 由勾股定理得AB=BM2+AM2=S+8S=3S,所以正方形ABCD的面積為9S. 3. (2018·山東淄博)如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點M,過點M作MN∥BC交AC于點N

3、,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長為(　　) A.4 B.6 C.43 D.8 答案B 解析∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB,∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=12∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC. ∵MN平分∠AMC, ∴∠AMN=∠NMC=12∠AMC, ∴∠AMN=12∠ACB=12∠ANM, ∵∠A=90°, ∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2, ∴NC=2,∴AC=3,∵∠B=∠AMN=30°, ∴BC=2AC=6.故選B. 4.(2018·江蘇揚州)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D

4、,CE平分∠ACD交AB于點E,則下列結論一定成立的是(　　) A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC 答案C 解析∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°, ∴∠BCD=∠A. ∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE. ∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE, ∴∠BEC=∠BCE, ∴BC=BE.故選C. 5.(2018·貴州遵義)如圖,△ABC中,點D在BC邊上,BD=AD=AC,E為CD的中點,若∠CAE=16°,則∠B為　　　　　度.? 答案37 解析∵AD=A

5、C,E為CD的中點, ∴∠DAC=2∠CAE=32°, ∴∠ADC=12(180°-∠DAC)=74°. ∵BD=AD,∴∠B=12∠ADC=37°. 6. (2017·江蘇揚州)如圖,把等邊三角形ABC沿著DE折疊,使點A恰好落在BC邊上的點P處,且DP⊥BC,若BP=4 cm,則EC=　　　　　 cm.? 答案2+23 解析根據(jù)“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43. 根據(jù)折疊的性質可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=43,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23. 7

6、. (2018·天津)如圖,在邊長為4的等邊△ABC中,D、E分別為AB、BC的中點,EF⊥AC于點F,G為EF的中點,連接DG,則DG的長為　　　　　.? 答案192 解析連接DE, ∵在邊長為4的等邊△ABC中,D,E分別為AB,BC的中點,∴DE是△ABC的中位線, ∴DE=2,且DE∥AC,BD=BE=EC=2, ∵EF⊥AC于點F,∠C=60°, ∴∠FEC=30°,∠DEF=∠EFC=90°, ∴FC=12EC=1,故EF=22-12=3, ∵G為EF的中點,∴EG=32, ∴DG=DE2+EG2=192. 8.(2017·內蒙古呼和浩特)如圖,等

7、腰三角形ABC中,BD,CE分別是兩腰上的中線. (1)求證:BD=CE; (2)設BD與CE相交于點O,點M,N分別為線段BO和CO的中點.當△ABC的重心到頂點A的距離與底邊長相等時,判斷四邊形DEMN的形狀,無需說明理由. (1)證明∵AB,AC為等腰三角形的兩腰, ∴AB=AC. ∵BD,CE分別是兩腰上的中線, ∴AE=AD. 在△AEC與△ADB中, ∵AE=AD,∠A=∠A,AC=AB, ∴△AEC≌△ADB, ∴BD=CE. (2)解四邊形DEMN為正方形.?導學號16734118? 9.(2018·浙江紹興)數(shù)學課上,張老師舉了下面的例題: 例1　等

8、腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°) 例2　等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù).(答案:40°或70°或100°) 張老師啟發(fā)同學們進行變式,小敏編了如下一題: 變式:等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù). (1)請你解答以上的變式題. (2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設∠A=x°,當∠B有三個不同的度數(shù)時,請你探索x的取值范圍. 解(1)當∠A為頂角時,∠B=50°, 當∠A為底角時,若∠B為頂角,則∠B=20°, 若∠B為底角,則∠B=80°, ∴∠B=

9、50°或20°或80°. (2)分兩種情況: ①當90≤x<180時,∠A只能為頂角, ∴∠B的度數(shù)只有一個. ②當0

10、疊部分的面積為(　　) A.2 B.3-2 C.3-1 D.3-3 答案D 解析過A點作AF⊥CE于點F,設AB與CD的交點為M,過M點作MN⊥AC于點N. ∵△ECD為等腰直角三角形,∴∠E=45°. ∵AE=2,AD=6, ∴AF=EF=1,CE=CD=DE2=1+3, ∴CF=3, ∴AC=AF2+CF2=2,∠ACF=30°, ∴∠ACD=60°.設MN=x, ∵△ABC為等腰直角三角形, ∴∠CAB=45°, ∴AN=MN=x,CN=MN3=33x, ∴AC=AN+CN=x+33x=2,解得x=3-3, ∴S△ACM=12×AC×MN=3-3.故選D

11、. 11.(2017·安徽名校模擬)在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,點D在△ABC的邊上,且AD=1,將△ABC折疊,使點B落在點D處,折痕交邊AB于點E,交另一邊于點F,則BE=　　　　　.? 答案2或157 解析分兩種情況討論,情況一:當D在AB上時,則BD=AB-AD=4,由于B與D關于折痕對稱,所以BE=DE=12BD=2; 情況二:當D在AC上時,BE=157. 12.(2018·云南)在△ABC中,AB=34,AC=5.若BC邊上的高等于3,則BC邊的長為　　　　　.? 答案1或9 解析設邊BC上的高為AD. 當邊BC上的高AD在△ABC的內部時

12、,如圖(1)所示,在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=AB2-AD2=(34)2-32=5,在Rt△ACD中,由勾股定理得CD=AC2-AD2=52-32=4,所以BC=5+4=9. 當邊BC上的高AD在△ABC的外部時,如圖(2)所示,同理BD=5,CD=4,所以BC=5-4=1. 13.(2018·四川廣安)下面有4張形狀,大小完全相同的方格紙,方格紙中的每個小正方形的邊長都是1,請在方格紙中分別畫出符合要求的圖形,所畫圖形各頂點必須與方格紙中小正方形的頂點重合,具體要求如下: (1)畫一個直角邊為4,面積為6的直角三角形. (2)畫一個底邊為4,面積為8的等腰三角形. (3

13、)畫一個面積為5的等腰直角三角形. (4)畫一個底邊長為22,面積為6的等腰三角形. 解如圖所示. (1)直角邊為4、3的直角三角形 (2)底邊為4,底邊上的高為4的等腰三角形 (3)直角邊為10的等腰直角三角形 (4)底邊為22,底邊上的高為32的等腰三角形 創(chuàng)新拓展 14. (2018·湖北十堰)如圖,Rt△ABC中,AB=3,AC=62,點D,E分別是邊BC,AC上的動點,則DA+DE的最小值為　　　　　.? 答案163 解析作A關于BC的對稱點A',連接AA',交BC于F,過A'作A'E⊥AC于點E,交BC于點D,則AD=A'D,此時AD+DE的值最小,就

14、是A'E的長. Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62, ∴BC=32+(62)2=9, S△ABC=12AB·AC=12BC·AF, ∴3×62=9AF,解得AF=22, ∴AA'=2AF=42. ∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE, ∴∠A'=∠C, ∵∠AEA'=∠BAC=90°, ∴△AEA'∽△BAC, ∴AA'A'E=BCAC,即42A'E=962, ∴A'E=163,即AD+DE的最小值是163. 故答案為163. 15.如圖,△ACB和△DCE均為等腰三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE. (1)如圖1,若

15、∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°. ①求證:AD=BE;②求∠AEB的度數(shù). (2)如圖2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM為△DCE中DE邊上的高,BN為△ABE中AE邊上的高,試證明:AE=23CM+233BN. (1)①證明∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°, ∴∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°. ∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE. ∵△ACB和△DCE均為等腰三角形, ∴AC=BC,DC=EC. 在△ACD和△BCE中,有AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,

16、∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. ②解∵△ACD≌△BCE, ∴∠ADC=∠BEC. ∵點A,D,E在同一直線上,且∠CDE=50°, ∴∠ADC=180°-∠CDE=130°, ∴∠BEC=130°. ∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°, ∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°. (2)證明∵△ACB和△DCE均為等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°, ∴∠CDM=∠CEM=12×(180°-120°)=30°. ∵CM⊥DE,∴∠CMD=90°,DM=EM. 在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°, ∴DE=2DM=2×CMtan∠CDM=23CM. ∵∠BEC=∠ADC=180°-30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB, ∴∠AEB=∠BEC-∠CEM=150°-30°=120°, ∴∠BEN=180°-120°=60°. 在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°, ∴BE=BNsin∠BEN=233BN. ∵AD=BE,AE=AD+DE, ∴AE=BE+DE=233BN+23CM.?導學號16734119? 9