《數列求和》教學設計.doc

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《數列求和》教學設計 高三文科數學第一輪復習（第1課時） 邵武一中　杜海光 一、學情分析： 學生在前一階段的學習中已經基本掌握了等差、等比數列這兩類最基本的數列的定義、通項公式、求和公式，同時也掌握了與等差、等比數列相關的綜合問題的一般解決方法。本節(jié)課作為一節(jié)專題探究課，將會根據已知數列的特點選擇適當的方法求出數列的前n項和，從而培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力。 二、教法設計： 本節(jié)課設計的指導思想是：講究效率，加強變式訓練、合作學習。采用以問題情景為切入點，引導學生進行探索、討論，注重分析、啟發(fā)、反饋。先引出相應的知識點，然后剖析需要解決的問題，在例題及變式中鞏固相應方法，再從討論、反饋中深化對問題和方法的理解，從而較好地完成知識的建構，更好地鍛煉學生探索和解決問題的能力。 在教學過程中采取如下方法： ①誘導思維法：使學生對知識進行主動建構，有利于調動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性； ②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現問題，解決問題，調動學生的積極性； ③講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。 三、教學設計： 1、教材的地位與作用： 對數列求和的考查是近幾年高考的熱點內容之一，屬于高考命題中?？嫉膬热?；另一個面，數學思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量?；瘹w與轉化思想是本課時的重點數學思想方法，化歸思想就是把不熟悉的問題轉化成熟悉問題的數學思想，即把數學中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換、轉化，歸結到某個或某些已經解決或比較容易解決的問題上，最終解決原問題的一種數學思想方法；化歸思想是解決數學問題的基本思想，解題的過程實際上就是轉化的過程。因此，研究由遞推公式求數列通項公式中的數學思想方法是很有必要的。 2、教學重點、難點： 教學重點：根據數列通項求數列的前n項，本節(jié)課重點學習并項分組求和與裂項法求和。 教學難點：解題過程中方法的正確選擇。 3、教學目標： (1)知識與技能： 會根據通項公式選擇求和的方法，并能運用并項分組求和與裂項法求數列的前n項。 (2)過程與方法： ①培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納、猜想的能力、邏輯思維能力以及演繹推理的能力； ②通過階梯性練習和分層能力培養(yǎng)練習，提高學生分析問題和解決問題的能力，使不同層次的學生的能力都能得到提高。 (3)情感、態(tài)度與價值觀： ①通過對數列的通項公式的分析和探究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現的求知精神； ②通過對數列通項和數列求和問題的分析和探究，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣； ③通過互助合作、自主探究等課堂教學方式培養(yǎng)學生認真參與、積極交流的主體意識。 四、教學過程： 教　學　步　驟 教　學　活　動 設計意圖 一、復習引入 (一)鞏固: 求下列數列的前n項和： ①1＋3＋5＋…＋(2n－1)= ②＝　　　　 ③ （二）引入 1、對一個數列我們應關注它什么? ２、對一個非特殊數列，如何求和？ （轉化為等差、等比數列） 3、引導學生回憶數列幾種常見的求和方法: ①公式法②拆并項求和③裂項相消法 ④倒序相加法⑤錯位相減法 ４、提出問題：如何對非特殊的數列求和？ 學生練習，教師提問 對于③提示學生要注意分類 教師提問，學生回答 充分發(fā)揮學生學習的能動性,以學生為主體,展開課堂教學 通過學生對幾種常見的求和方法的歸納、總結 ,簡單回憶各方法的應用背景.把遺忘的知識點形成了一個完整的知識體系 二、例題選講： 問題１求下列數列的和 (1) 1－3＋5－7＋9＋……+101= . (2) 設Sn＝1－3＋5－7＋9＋……＋(－1)n－1(2n－1), 求Sn (3) . (4)若數列{an}的通項公式為，則數列{an}的前n項和Sn= . 教師講解： （１）分析(一) Sn＝(1－3)＋(5－7)＋(9-11)＋……(97-99)+101＝ 分析(二)Sn＝1+(－3＋5)+(－7＋9)+(-11＋13)……+(-99+101)＝ 分析(三) Sn＝(1+5+……+101)-(3+7+……+99) ＝ 分析(四) Sn＝1－3＋5－7＋9＋……+101 Sn＝101-99+97-95＋……+1 （２）分析：當n＝2k (k∈N*)時, Sn＝S2k＝(1－3)＋(5－7)＋… ＋[(4k－3)－(4k－1)]＝－2k＝－n． 當n＝2k－1 (k∈N*)時, Sn＝S2k－1＝S2k－a2k ＝－2k－[－(4k－1)]＝2k－1＝n． 綜上所述,有Sn＝(－1)n－1n． （３） +（）＝56－ （４） 變式1　(１)Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12，求Sn. (2) (教材習題改編)(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n)＝________. (3)已知數列{an}的通項公式是an＝，其前n項和Sn＝，則項數n等于(　　) A．13　　B．10　　　　C．9　　　　 D．6 解答： (1) Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. (2) 解析：(2－35－1)＋(4－35－2)＋…＋(2n－35－n) ＝(2＋4＋…＋2n)－3(5－1＋5－2＋…＋5－n) ＝－3 ＝n(n＋1)－＝n2＋n＋5－n－. (3)解析：選D　∵an＝＝1－， ∴Sn＝＋＋…＋ ＝n－ ＝n－＝n－＝n－1＋. ∴n－1＋＝＝5，解得n＝6 問題2 (1) ＋＋＋…＋＝　　　　　　　。 (2)= . (3) 1+ = (4)已知數列{an}的通項公式是，若，則n= . 解析： (1) ∵＝， ∴＋＋＋…＋ ＝ ＝＝. (2) (3) (4)120 變式2　(1) 數列{an}的通項公式為an＝，設bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數列的前n項和． (2) 已知函數f(x)＝x2＋bx的圖象在點A(1，f(1))處的切線l與直線3x－y＋2＝0平行，若數列(n∈N*)的前n項和為Sn，則S2 012的值為(　　) A. B. C. D. 解析： (1) bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－. 故＝－＝－2. ＋＋…＋ ＝－2 ＝－. 所以數列的前n項和為－. (2)解析：選D　由于f′(x)＝2x＋b，據題意則有f′(1)＝2＋b＝3，故b＝1，即f(x)＝x2＋x，從而＝＝－， 其前n項和Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故S2 012＝. 多媒體顯示題目 學生先獨立思考，后討論，最后教師由學生的回答概括出各種解法。 教師小結： （1）并項求和法 一個數列的前n項和，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． （2）分組求和法 一個數列的通項公式是由若干個等差數列或等比數列或可求和的數列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后再相加減． 學生獨立練習。 學生板書，教師點評 學生思考，討論后，教師重點講解對通項的處理，以及消去的項和留下的項的處理 教師小結： １、注意點：使用裂項相消法求和時，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點． 2、常見的拆項公式 (1)＝； (2)＝； (3)＝ (4)＝(－). 學生練習、討論，教師提問、引導 通過四個小題，讓學生能分析和式的特點，靈活選擇合適的方法——并項求和、分組求和。 通過一題多解,開闊學生的思維. ①分析(一)( 二) (三)培養(yǎng)學生的拆項求和與并項求和的意識, ②比較分析(一)( 二)思考應留下哪一項 ③分析(四)復習倒序相加法 ④為例1后面的習題作鋪墊 鞏固所學方法 前兩題主要是復習裂項法的基本操作，后兩題的主要是想通過對通項的處理，達到符合裂項法的要求 綜合應用所學知識，求出通項，能由通項特點選擇方法 三、學生反饋練習 ① ②數列:的前項和為 ; ③數列{an}中,前n項之和Sn=1－5＋9－13＋17－21＋…+(－1)n－1(4n－3),則S15＋S22－S31= . ④已知數列{an}：若那么數列{bn}的前n項和Sn為( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】選B. 學生獨立練習，析書，教師點評 反饋練習的訓練充分發(fā)揮學生的主體地位,營造生動活潑的課堂教學氣氛 通過學生的評析,激發(fā)學生學習熱情,發(fā)散學生思維,培養(yǎng)學生的合作,探究意識。 讓學生從具體實例中發(fā)現結論。符合學生認識規(guī)律,并在結論的發(fā)現過程中培養(yǎng)學生的思維能力。 四、小結 １、拆并項求和： 若,其中均為可求和數列,則可分別求和后再合并； 2、裂項法求和的幾個注意點：項數與系數 3、求和思想——轉化與化歸思想 數列求和把數列通過分組、變換通項、變換次序、乘以常數等方法，把數列的求和轉化為能使用公式求解或者能通過基本運算求解的形式，達到求和的目的． 教師引導學生小結 啟發(fā)、引導學生歸納總結,一方面了解學生對本堂課的接受情況,另一方面培養(yǎng)學生的歸納總結能力。使知識系統化,條理化。 五、課后作業(yè) 必做題：《世紀金榜》課時提能演練（三十二）　第1~11題 選做題： 1、如果數列{an}的前n項之和為Sn=3＋2n,那么= . 2、設設數列{an}是公差d＝4的等差數列,前20項之和為S20=660． (Ⅰ)求它的首項a1； (Ⅱ)設 T＝，求T的值． 通過作業(yè)題的分層變式訓練,達到引起學生積極思維的目的,提高分析問題、解決問題能力來滿足不同層次學生需要,符合因材施教原則。從而達到培養(yǎng)學生養(yǎng)成“題后思考”的習慣和提高數學能力的效果。 六、教學評價 自主性：注重發(fā)展學生的個性,分層式練習和選擇性作業(yè),充分體現學生的主體地位. 實踐性：通過學生評析中的變式訓練,給學生提供了一個很好的做數學的學習環(huán)境和學習機會. 可行性: 所教的班級是高三年級的實驗班,學生具有較好的數學功底, 具備一定的獨立思考、合作探究能力. 有效性: 通過學生的練習與評析, 給學生提供了一個發(fā)現問題,討論問題,解決問題的平臺,為學生高效獲取知識和提高綜合素質創(chuàng)造條件. 五、課后反思： 數列求和的題型多樣，求和的方法也非常靈活，往往可以通過適當的策略將問題化歸為等差數列或等比數列問題加以解決。等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在于測試靈活運用知識的能力，這個“靈活”往往集中在“轉化”的水平上。轉化的目的是化陌生為熟悉，當然首先是等差、等比數列，根據不同的遞推公式，采用相應的變形手段，達到轉化的目的。 因而數列求和問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容。求數列的前n項和的方法策略是：公式法、并項分組法、裂項法、錯位相減法、倒序相加法等。只要仔細辨析數列通項的特征，準確選擇恰當的方法，是迅速求出前n項和的關鍵。