《內(nèi)蒙古2018年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練 圓的相關(guān)證明與計(jì)算》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《內(nèi)蒙古2018年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型專項(xiàng)訓(xùn)練 圓的相關(guān)證明與計(jì)算(20頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、圓的相關(guān)證明與計(jì)算
類型一 平行線模型
★1. 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AC是直徑,BC=BA,在
∠ACB 的內(nèi)部作∠ACF=30°,且 CF=CA,過(guò)點(diǎn) F 作 FH⊥AC 于點(diǎn) H,連接 BF.
︵
(1)若CF交⊙O于點(diǎn)G,⊙O的半徑是 4,求AG的長(zhǎng);
(2)請(qǐng)判斷直線BF與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
第 1 題圖
解:(1)如解圖,連接OG,
20
∵∠ACF=30°,∴∠AOG=2∠ACF=60°,
∵⊙O的半徑是4,∴l(xiāng)︵=nπr=60π×4=4π;
2、
AG 180 180 3
(2)直線BF與⊙O相切,理由如下:
如解圖,連接 OB,∵AC 是⊙O 的直徑,∴∠ABC=90°,
∵BC=BA,OC=OA,∴BO=12AC,BO⊥AC,
∴∠BOC=90°,
∵FH⊥AC,∴∠FHC=∠BOC=90°,∴BO∥FH,
∵在 Rt△FHC中,∠ACF=30°,∴FH=12CF,
∵BO=12AC,CF=CA,∴BO=FH,
∵BO∥FH,∴四邊形 BOHF 是平行四邊形.∵∠FHC=90°,∴平行四邊形 BOHF 是矩形,∴∠FBO=90°,∴OB⊥BF,
∵OB 是⊙O 的半徑,∴直線
3、BF 與⊙O 相切.
★2.在等腰△ABC中,AC=BC,以BC為直徑的⊙O分別與AB、AC 相交于點(diǎn) D、E,過(guò)點(diǎn) D 作 DF⊥AC,垂足為點(diǎn) F.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)分別延長(zhǎng)CB、FD,相交于點(diǎn)G,∠A=60°,⊙O的半徑
為 6,求陰影部分的面積.
第 2 題圖
(1)證明:如解圖,連接OD,∴OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
第 2 題解圖
∵AC=BC,∴∠A=∠OBD,
∴∠ODB=∠A,∴
4、AC∥OD,
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,
∵OD 為⊙O 的半徑,∴DF 是⊙O 的切線;
(2)解:∵∠A=60°,AC=BC,OB=OD,
∴∠C=∠DOB=60°,
由(1)知∠ODG=90°,∴∠G=30°,
∵OD=6,∴DG= OD =63=6 3, tan30°
1
60π×62
∴S 陰影=S△ODG-S 扇形DOB=
×6×6
3-
=18 3-6π.
360
2
類型二 弦切角模型
5、
★1.如圖,AB是⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),D在AB的
延長(zhǎng)線上,且∠BCD=∠A.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為 3,CD=4,求BD的長(zhǎng).
第 1 題圖
(1)證明:如解圖,連接OC,
∵AB 是⊙O 的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠OAC=∠BCD,∴∠OCA=∠BCD,
∴∠BCD+∠BCO=90°,∴OC⊥CD,
∵CO 是⊙O 的半徑,∴CD 是⊙O 的切線;
(2
6、)解:∵在Rt△OCD中,OC=3,CD=4,∠OCD=90°,由勾股定理得 OD=OC2+CD2=5,
∴BD=OD-OB=5-3=2.
第 1 題解圖
★2.如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O與BC
交于點(diǎn) D,過(guò)點(diǎn) D 作⊙O 的切線交 AC 于點(diǎn) E.
(1)求證:∠ABD=∠ADE;
(2)若⊙O的半徑為256,AD=203,求CE的長(zhǎng).
第 2 題圖
(1)證明:如解圖,連接OD.
∵DE 為⊙O 的切線,∴OD⊥DE,
7、
∴∠ADO+∠ADE=90°.
∵AB 為⊙O 的直徑,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°.∴∠ADE=∠ODB,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,∴∠ABD =∠ADE;
第 2 題解圖
(2)解:∵AB=AC=2×256=253,∠ADB=∠ADC=90°,
∴∠ABC=∠C,BD=CD.
∵O 為 AB 的中點(diǎn),∴OD 為△ABC 的中位線,∴OD∥AC,
∵OD⊥DE,∴AC⊥DE,
在 Rt△ACD中,
CD=AC2-AD2=(253)2-(203
8、)2=5,
∵∠C=∠C,∠DEC=∠ADC=90°,∴△DEC∽△ADC,
CE DC CE 5
∴DC=AC,即5=25,∴CE=3.
類型三 雙切線模型
★1.如圖,AB是⊙O的直徑,PA是⊙O的切線,點(diǎn)C在⊙O
上,CB∥PO.
(1)判斷PC與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若AB=6,CB=4,求PC的長(zhǎng).
解:(1)PC與⊙O相切.
理由如下:如解圖,連接 OC,
第 1 題解圖
∵CB∥PO,∴∠POA=
9、∠B,∠POC=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OCB=∠B,∴∠POA=∠POC,又∵OA=OC,OP=OP,∴△APO≌△CPO,∴∠OAP=∠OCP,
∵PA 是⊙O 的切線,∴∠OAP=90°,∴∠OCP=90°
∴PC 是⊙O 的切線;
(2)如解圖,連接AC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
由(1)知∠PCO=90°,∠B=∠OCB=∠POC,
∴△ACB∽△PCO,∴OCBC=ACPC,
又∵在 Rt△ABC中,AC=AB2-CB2=62-42=25,∴PC=OC·AC=3×25=35.
BC 4 2
★2. 如圖,PB為⊙O
10、的切線,B為切點(diǎn),過(guò)B作OP的垂線BA,垂足為 C,交⊙O 于點(diǎn) A,連接 PA,AO,并延長(zhǎng) AO 交⊙O 于點(diǎn) E,與 PB 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)若 cos∠CAO=45,且OC=6,求PB的長(zhǎng).
第 2 題圖
(1)證明:如解圖,連接OB,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∵OP⊥AB,∴AC=BC,∴OP 是 AB 的垂直平分線,
∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA,∴∠PAO=∠PBO.
∵PB
11、為⊙O 的切線,∴∠OBP=90°,∴∠PAO=90°,∵OA 為⊙O 的半徑,∴PA 是⊙O 的切線;
(2)解:∵cos∠CAO=45,
∴設(shè) AC=4k,AO=5k,由勾股定理可知 OC=3k,
∴sin∠CAO=35,tan∠COA=43,
∴COOA=35,即OA6=35,解得 OA=10,
∵tan∠POA=tan∠COA=AOAP=43,
∴AP10=43,解得 AP=403,
∵PA=PB,∴PB=PA=403.
★3.如圖,PA、PB是⊙O的切線,A、B為切點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng),交 PB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C,連接 PO,交⊙
12、O 于點(diǎn) D.
(1)求證:PO平分∠APC;
(2)連接DB,若∠C=30°,求證:DB∥AC.
第 3 題圖
證明:(1)如解圖,連接OB,
∵PA、PB 是⊙O 的切線,∴OA⊥AP,OB⊥BP.又∵OA=OB,∴PO 平分∠APC;
第 3 題解圖
(2)∵OA⊥AP,OB⊥BP,
∴∠CAP=∠OBP=90°,
∵∠C=30°,∴∠APC=90°-∠C=60°,
∵PO 平分∠APC,∴∠OPC=12∠APC=12×60°=30°,
∴
13、∠POB=90°-∠OPC=60°,
又∵OD=OB,
∴△ODB 是等邊三角形,∴∠OBD=60°,
∴∠DBP=∠OBP-∠OBD=30°,
∴∠DBP=∠C,∴DB∥AC.
類型四 其他模型
★1.如圖,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,C是⊙O上一點(diǎn),連接 PC 交 AB 于點(diǎn) E,且∠ACP=60°,PA=PD.
(1)試判斷DP與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
若點(diǎn) C 是︵的中點(diǎn),AB= ,求 CE CP 的值.
(2) AB 4 ·
第 1 題圖
解:(1)PD與⊙O相切.證明
14、如下:
如解圖,連接 OP,∵∠ACP=60°,∴∠AOP=120°,
∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA=30°,
∵PA=PD,∴∠PAO=∠D=30°,
∵∠POD=∠OAP+∠OPA=60°,
∴在△POD 中,
∠OPD =180°-∠D -∠DOP =180°-30°-60°=90°,即
DP⊥OP,
∵OP 是⊙O 的半徑,∴DP 是⊙O 的切線;
第 1 題解圖
(2)如解圖,連接BC,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
又 C 為︵的中點(diǎn), CAB= ABC=
15、APC= ,
∵ AB ∴∠ ∠ ∠ 45°
∵AB=4,∴AC=AB·sin45°=22,∵∠ACP=∠ACP,∠CAB=∠APC,
∴△CAE∽△CPA,∴CACP=CACE,
∴CE·CP=CA2=(22)2=8.
★2.如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn),AD和過(guò)
點(diǎn) C 的切線互相垂直,垂足為 D,直線 DC 與 AB 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,弦 CE 平分∠ACB,交直徑 AB 于點(diǎn) F,連接 BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)探究線段PC,PF之間的大小關(guān)系,并加以證明;
(3)若 tan∠PCB=34,B
16、E=52,求PF的長(zhǎng).
第 2 題圖
(1)證明:如解圖,連接 OC,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵PC 是⊙O 的切線,∴AD⊥CD,∴∠OCP=∠D=90°,
∴OC∥AD,∴∠CAD=∠OCA=∠OAC,
即 AC 平分∠DAB;
(2)解:PC=PF,證明如下:
∵AB 是⊙O 的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠PCB+∠ACD=90°,
又∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠CAB=∠CAD=∠PCB,
17、
第 2 題解圖
∵∠ACE=∠BCE,∠PFC=∠CAB+∠ACE,
∠PCF=∠PCB+∠BCE,
∴∠PFC=∠PCF,∴PC=PF;
(3)解:如解圖,連接AE,
∵∠ACE=∠BCE,∴ AE=BE,∴AE=BE,∴AB 是⊙的直徑,∴∠AEB=90°,∴AB= 2 BE=10,∴OB=OC=5,∵∠PCB=∠PAC,∠P=∠P,
∴△PCB∽△PAC,∴PCPB=BCCA,
∵tan∠PCB=tan∠CAB=34,
設(shè) PB=3x,則 PC=4x,在Rt△POC 中,
(3x+5)2=(4x)2+52,解得x1=0(舍去),
18、x2= 307,∴PF=PC=1207.
★3.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC為直徑的⊙O 交 AB 于點(diǎn) D,E 是 AC 的中點(diǎn),OE 交 CD 于點(diǎn) F.
(1)若 BCD=36°,BC=10,求 的長(zhǎng);
∠ BD
(2)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)求證:2CE2=AB·EF.
第 3 題圖
(1)解:如解圖,連接OD,∵∠BCD=36°,
∴∠BOD=2∠BCD=2×36°=72°,
∵BC 是⊙O 的直徑,BC=10,∴OB=5,
∴l(xiāng) ︵=72π×
19、5=2π;
BD 180
第 3 題解圖
(2)解:DE是⊙O的切線;理由如下:
∵BC 是⊙O 的直徑,∴∠ADC=180°-∠BDC=90°,
又∵點(diǎn) E 是線段 AC 的中點(diǎn),∴DE=12AC=EC,
OD=OC
在△DOE 與△COE 中,OE=OE ,∴△DOE≌△COE(SSS).DE=CE
∵∠ACB=90°,∴∠ODE=∠OCE=90°,
∵OD 是⊙O 的半徑,∴DE 是⊙O 的切線;
(3)證明:由(2)知,△DOE≌△COE,
∴OE 是線段 CD 的垂直平分線,DE=CE,
∴點(diǎn) F 是線段 CD 的中點(diǎn),
已知點(diǎn) E 是線段 AC 的中點(diǎn),則 EF=12AD,
∵∠BAC=∠CAD,∠ADC=∠ACB,
∴△ACD∽△ABC,則ACAB=ADAC,即 AC2=AB·AD,
而 AC=2CE,AD=2EF,
∴(2CE)2=AB·2EF,即 4CE2=AB·2EF,
∴2CE2=AB·EF.