五年級上冊奧數(shù)專題系列-整數(shù)與整除因數(shù)倍數(shù)素數(shù)合數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 滬教版（2015秋）（含答案）

《五年級上冊奧數(shù)專題系列-整數(shù)與整除因數(shù)倍數(shù)素數(shù)合數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 滬教版（2015秋）（含答案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《五年級上冊奧數(shù)專題系列-整數(shù)與整除因數(shù)倍數(shù)素數(shù)合數(shù)最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 滬教版（2015秋）（含答案）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、課程主題： 整數(shù)與整除，因數(shù)倍數(shù)，素數(shù)合數(shù)，最大公因數(shù)與最小公倍數(shù) 課前熱身： 一、因數(shù)與倍數(shù) 1、概念：整數(shù)a能被整數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)； b就叫做a的因數(shù)（也叫約數(shù)）。 2、分別寫出16和13的因數(shù)。 3、思考：一個整數(shù)，有沒有最小的因數(shù)，有沒有最大的因數(shù)？ 有沒有最小的倍數(shù)，有沒有最大的倍數(shù)？ 二、素數(shù)與合數(shù) 一個數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做素數(shù)(也叫做質(zhì)數(shù)).一個數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個數(shù)叫做合數(shù). 要特別記?。?和1不是素

2、數(shù)，也不是合數(shù). 常用的100以內(nèi)的素數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；除了2其余的素數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的素數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9. 考點：⑴ 值得注意的是很多題都會以素數(shù)2的特殊性為考點. ⑵ 除了2和5，其余素數(shù)個位數(shù)字只能是1，3，7或9. 三、素因數(shù)與分解素因數(shù) 素因數(shù)：如果一個素數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就說這個素數(shù)是這個數(shù)的素因數(shù). 互素數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互素數(shù). 分解素因數(shù)：把一個合數(shù)用素因數(shù)相乘的形式表示出來，

3、叫做分解素因數(shù). 例如：.其中2、3、5叫做30的素因數(shù).又如，2、3都叫做12的素因數(shù)，其中后一個式子叫做分解素因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，在求一個數(shù)約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)的和的時候都要用到這個標(biāo)準(zhǔn)式.分解素因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征. 唯一分解定理 任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成素數(shù)的連乘積，即：其中p為素數(shù)，為自然數(shù)，并且這種表示是唯一的.該式稱為n的素因子分解式. 例如：三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個數(shù). 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知這三個數(shù)是5、6和7. 部分特殊數(shù)的分解 ；；；；；；；；. 判斷一個數(shù)是否為素數(shù)的方

4、法 根據(jù)定義如果能夠找到一個小于p的素數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是素數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的素數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的素數(shù)，用這些素數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為素數(shù). 例如：149很接近，根據(jù)整除的性素149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是素數(shù). 四、最大公約數(shù) 1、公約數(shù) 思考：六一兒童節(jié)這天，老師帶著24名女生和32名男生做游戲，要求把這些學(xué)生分成人數(shù)相等的若干組，每小組中男生和女生人數(shù)都相同，最多可分成幾組？ 上面中間數(shù)

5、字1、2、4、8就是這兩部分共有的因數(shù)，我們就叫做公因數(shù)，其中8是最大的因數(shù)，就叫做最大公因數(shù)。 2、最大公約數(shù) 幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù) 其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。 3、求最大公因數(shù)的方法 （1）短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘． 例如：，所以；（2）輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公 約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個數(shù)除大的一個數(shù)， 得第一個余數(shù)；再用第一個余數(shù)除小的一個數(shù)，得第二個余數(shù)；又用第二個余數(shù)除第一個 余數(shù)，得第三個余數(shù)；這樣逐

6、次用后一個余數(shù)去除前一個余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么， 最后一個除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)．(如果最后的除數(shù)是1，那么原來的兩個數(shù)是互質(zhì) 的)． 例如，求600和1515的最大公約數(shù)：；；；；；所以1515和600的最大公約數(shù)是15． 五、最小公倍數(shù) 1、公倍數(shù) 思考：在上海南站，地鐵1號線每隔3分鐘發(fā)車，軌道交通3號線每隔4分鐘發(fā)車，早上6：00同時發(fā)車，那么至少再過多少時間它們又同時發(fā)車？ 像上面12、24等就是3和4的公倍數(shù)，其中12是最小的，就叫做最小公 倍數(shù)。 2、最小公倍數(shù) 幾個整數(shù)的公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)； 其中最小的一

7、個叫做它們的最小公倍數(shù)。 3、求最小公倍數(shù)方法 短除法求最小公倍數(shù)； 例如： ，所以； 六、求約數(shù)個數(shù)與所有約數(shù)的和 1． 求任一整數(shù)約數(shù)的個數(shù) 一個整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積。 如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后為，所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24個。(包括1和1400本身) 2． 求任一整數(shù)的所有約數(shù)的和 一個整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個質(zhì)因數(shù)依次從1加至這個質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數(shù)的所有約數(shù)的和。 如：，所以210

8、00所有約數(shù)的和為 七、求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟 先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)；求出各個分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；a/b即為所求．例如： 注意：兩個最簡分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整數(shù).例如： 八、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì) 1． 兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。 如果為、的最大公約數(shù)，且，，那么互質(zhì)，所以、的最小公倍數(shù)為，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系： ①，即兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個數(shù)的積； ②最大公約數(shù)是、、、及最小公倍數(shù)的約數(shù)． 2． 兩個數(shù)的最大公約

9、和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。 即，此性質(zhì)比較簡單，學(xué)生比較容易掌握。 知識精講： 【例 1】 求和的最大公約數(shù)？（用三種不同的方法） 【解析】分解質(zhì)因數(shù)法：，，所以（，）。 短除法：，所以（，）。 輾轉(zhuǎn)相除法：，，，，， 所以（，）。 【例 2】 求與的最小公倍數(shù)（用兩種不同的方法）。 【解析】分解因式法：，，所以[，] 短除法：，所以[，] 【例 3】 把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？ 【解析】 要把一張長方形的

10、紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能有剩余，這個正方形紙塊的邊長應(yīng)該是長方形的長和寬的公約數(shù)．由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長是長方形的長和寬的最大公約數(shù)．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，長方形紙塊的面積為 (平方厘米)，正方形紙塊的面積為 (平方厘米)，共可裁成正方形紙塊 (張)． 【例 4】 有336個蘋果，252個桔子，210個梨，用這些水果最多可以分成多少份同樣的禮物？在每份禮物中，三樣水果各多少？ 【解析】 此題本質(zhì)上也是要求出這三種水果的最大公約數(shù)，有, 即可以分42份，每份中有蘋果8 個，桔子6個，梨5個．

11、【例 5】 兩個自然數(shù)的和是50，它們的最大公約數(shù)是5，試求這兩個數(shù)的差． 【解析】 設(shè)這兩個自然數(shù)為：，其中與互質(zhì)，，，經(jīng)檢驗，容易得到兩組符合條件的數(shù)：9與1或者7與3．于是，所要求的兩個自然數(shù)也有兩組：45與5，35與15．它們的差分別是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求這兩個數(shù)的差是40或者20． 【例 6】 一次考試，參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學(xué)生不滿50人，那么得差的學(xué)生有多少人？ 【解析】 由題意“參加的學(xué)生中有得優(yōu)，得良，得中”，可知參加考試的學(xué)生人數(shù)是7，3，2的倍數(shù)，因為7，2，3的最小公倍數(shù)為42，，所以參加的學(xué)生總數(shù)

12、為42人．那么得差的學(xué)生有：人． 【例 7】 已知兩個自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個數(shù)． 【解析】 由于兩個自然數(shù)的積兩數(shù)的最大公約數(shù)兩數(shù)的最小公倍數(shù)，可以得到，最大公約數(shù)是，設(shè)這兩個數(shù)分別為、，那么，且，所以和可以取1和15 或 3和5 ，所以這兩個數(shù)是4和60 或12和20． 綜合應(yīng)用 【例 8】 數(shù)360的約數(shù)有多少個?這些約數(shù)的和是多少? 【解析】 360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=××5；360的約數(shù)可以且只能是××,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為0～3,6為0～2,c為0～1)．因為a、b、c的取值是相互獨立的,由

13、計數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個數(shù)為(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我們先只改動關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3, ,它們的和為(1+3+),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)××；我們再來確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,,,它們的和為(1+2++)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×5w；最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+)×(1+2++)×(1+5)．于是,我們計算出值:13×15×6=1170．所以,360所有約數(shù)的和為1170． 【例 9】 兩個質(zhì)數(shù)之和為，求這兩個質(zhì)

14、數(shù)的乘積是多少？ 【解析】 因為和為奇數(shù)，所以這兩個數(shù)必為一奇一偶，所以其中一個是，另一個是，乘積為.我們要善于抓住此類題的突破口。 【例 10】 九九重陽節(jié)，一批老人決定分乘若干輛至多可乘32人的大巴前去參觀兵馬俑．如果打算每輛車坐22個人，就會有1個人沒有座位；如果少開一輛車，那么，這批老人剛好平均分乘余下的大巴．那么有多少個老人？原有多少輛大巴？ 【解析】 仍按每車坐22人計算，少開一輛車將有23人無座位，這些人剛好平均分乘余下的車，23是質(zhì)數(shù)，所以余下23輛車，原有24輛車，原有老人 (個)． 【例 11】 7個連續(xù)質(zhì)數(shù)從大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已

15、知它們的和是偶數(shù)，那么d是多少？ 【解析】 因為7個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，所以這7個質(zhì)數(shù)不可能都是奇數(shù).我們知道是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，因此這7個質(zhì)數(shù)中必有一個是2.又因為2是最小的質(zhì)數(shù)，并且這7個連續(xù)質(zhì)數(shù)是從大到小排列的，所以.其他6個數(shù)從大到小依次是17、13、11、7、5、3.這樣. 分解質(zhì)因數(shù) 【例 12】 兩個連續(xù)奇數(shù)的乘積是，這兩個奇數(shù)之和是多少? 【解析】 分解質(zhì)因數(shù)：()()，所以和為.本講不僅要求學(xué)生熟練掌握分解質(zhì)因數(shù)，而且要注意一些技巧，例如本題中的。 【例 13】 4個一位數(shù)的乘積是360，并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最

16、大的一個是多少？ 【解析】 將360分解質(zhì)因數(shù)得，它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積.因為題述的四個數(shù)中只有一個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘數(shù)分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數(shù)是8533. 【例 14】 在面前有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少? 【解析】 如下圖，設(shè)長、寬、高依次為a、b、c，有正面和上面的和為ac+ab=209． ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19． 當(dāng)a=11時，c+b=19，當(dāng)兩個質(zhì)數(shù)的和為

17、奇數(shù)，則其中必定有一個數(shù)為偶質(zhì)數(shù)2，則c+b=2+17; 當(dāng)a=19時，c+b=11，則c+b=2+9，b為9不是質(zhì)數(shù)，所以不滿足題意． 所以它們的乘積為11×2×17=374． 【例 15】 （老師可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四個人，他們的年齡一個比一個大歲，他們四個人年齡的乘積是。問他們四個人的年齡各是幾歲？ 【解析】 題中告訴我們，是四個人年齡的乘積，只要我們把分解質(zhì)因數(shù)，再按照每組相差2來分成四個數(shù)相乘，這四個數(shù)就是四個人的年齡了。 ，由此得出這四個人的年齡分別 是12歲、14歲、16歲、1

18、8歲。由題意可知，這四個數(shù)是相差2的四個整數(shù)。它們的積是偶數(shù)， 當(dāng)然這四個數(shù)不是奇數(shù)，一定是偶數(shù)。又因為的個位數(shù)字不是0，顯然這四個數(shù)中，沒有 個位數(shù)字是0的，那么這四個數(shù)的個位數(shù)字一定是2、4、6、8。又因為，而， 所以可以斷定，這四個數(shù)一定是12、14、16、18。也就是說，這四個人的年齡分別是12歲、14 歲、16歲、18歲。答：這四個人的年齡分別是12歲、14歲、16歲、18歲。 【例 16】 甲數(shù)比乙數(shù)大，乙數(shù)比丙數(shù)大，三個數(shù)的乘積是，求這三個數(shù)？ 【解析】 將分解質(zhì)因數(shù)，，則其中必有一個數(shù)是或的倍數(shù)；經(jīng)試算，，，恰好，所以這三個數(shù)即為，，.一般象這種類型的題，

19、都是從最大的那個質(zhì)因數(shù)去分析.如果這道題里不符合要求，下一個該考慮，再下一個該考慮，依此類推． 課后作業(yè)： 【練習(xí)1】 判斷下列數(shù)是否為質(zhì)數(shù)： 103 109 117 127 137 149 191 197 247 【解析】判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法：根據(jù)定義如果能夠找到一個小于的質(zhì)數(shù)（均為整數(shù)），使得能夠整除，那么就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于的質(zhì)數(shù)去除就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的，我們可以先找一個大于且接近的平方數(shù)，再列出所有不大于的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除，如沒有能夠除盡的那么就為質(zhì)數(shù)． 103 10

20、9 127 137 149 191 197 是質(zhì)數(shù) 是合數(shù) 【練習(xí)2】 有一個質(zhì)數(shù)，它加上10是質(zhì)數(shù)，加上14也是質(zhì)數(shù)，把它求出來 【解析】 這個質(zhì)數(shù)是 【練習(xí)3】 兩個質(zhì)數(shù)的和是33，求這兩個質(zhì)數(shù)的積。 【解析】 【鞏固】兩個質(zhì)數(shù)的和是193，求這兩個質(zhì)數(shù)的積。 【解析】 【鞏固】A，B，C 為3個小于20的質(zhì)數(shù)，A+B+C=30，求這三個質(zhì)數(shù)。 【解析】三個質(zhì)數(shù)之和為偶數(shù)，這三個質(zhì)數(shù)必為兩奇一偶，其中偶數(shù)只能是2，另兩個奇質(zhì)數(shù)之和為28，又因為這三個數(shù)都要小于20，所以只能為1

21、1和17，所以這三個質(zhì)數(shù)分別是2，11，17。 【練習(xí)4】 7個連續(xù)質(zhì)數(shù)從大到小排列是。已知它們的和是偶數(shù)，那么是多少？ 【解析】因為7個質(zhì)數(shù)的和是偶數(shù)，所以這7個質(zhì)數(shù)不可能都是奇數(shù)。我們知道是偶數(shù)的質(zhì)數(shù)只有2，因此這7個質(zhì)數(shù)中必有一個是2。又因為2是最小的質(zhì)數(shù)，并且這7個連續(xù)質(zhì)數(shù)是從大到小排列的，所以。其他6個數(shù)從大到小依次是17、13、11、7、5、3。這樣 【鞏固】4個一位數(shù)的乘積是360，并且其中只有一個是合數(shù)，那么在這4個數(shù)字所組成的四位數(shù)中，最大的一個是多少？ 【解析】將360分解質(zhì)因數(shù)得360=2×2×2×3×3×5，它是6個質(zhì)因數(shù)的乘積。因為題述的四個數(shù)中只有一

22、個是合數(shù)，所有該合數(shù)必至少為6－3=3個質(zhì)因數(shù)的積，又只有3個2相乘才能是一位數(shù)，所以這4個乘數(shù)分別為3，3，5，8，所組成的最大四位數(shù)是8533。 【練習(xí)5】 三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是，求這三個數(shù)是多少？ 【解析】分解質(zhì)因數(shù)：，可知這三個數(shù)是、和。 【鞏固】三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù)。 【解析】設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別是、、，滿足，則可知、、中必有一個為11，不妨記為，那么，整理得，又12=1×12=2×6=3×4，對應(yīng)的=2、=13或=3、=7或=4、=5（舍去），所以這三個質(zhì)數(shù)可能是2，11，13或3，7，11。 【練習(xí)1】 ）求與的最

23、大公約數(shù)。）求與的最小公倍數(shù)。 【分析】），，，，所以與的最大公約數(shù)是。 ）短除法：，所以[，]。 【練習(xí)2】 求與的最大公約數(shù)。 【分析】，，，，所以與的最大公約數(shù)是。 【練習(xí)3】 有一盤水果，個個地數(shù)余個，個個數(shù)余個，個個數(shù)余個，問這個盤子里最少有多少個水果？ 【分析】如果少兩個水果，那么這盤水果就同時是、、的倍數(shù)，、、的最小公倍數(shù)為所以這個盤子里最少有水果：（個） 【練習(xí)4】 有一盤水果，個個地數(shù)余個，個個數(shù)余個，個個數(shù)余個，問這個盤子里最少有多少個水果？ 【分析】如果多一個水果，那么這盤水果就同時是、、的倍數(shù)，、、的最小公倍數(shù)為所以這個盤子里最

24、少有水果：（個） 【練習(xí)5】 有三根鐵絲，一根長米，一根長米，一根長米，要把它們截成同樣長的小段，不許剩余，每段最長是多少米？ 【分析】，，，所以它們的最大公約數(shù)是，即每段最長是（米）。 【練習(xí)6】 一位婦女在河邊洗碗，鄰居問家里來了多少人？她回答說：“客人每人用一只飯碗，每兩個合用一只菜碗、每三個合用一只湯碗，共用只碗．”她家里究竟來了多少客人？ 【分析】由題目的條件可知客人的人數(shù)應(yīng)該是、的公倍數(shù)，因為[，]，所以客人的人數(shù)為的倍數(shù)．又因為個人只用只飯碗、只菜碗、只湯碗，即只用只碗，而客人共用只碗，是只碗的倍，所以人數(shù)也是人的倍，即共有位客人。 【

25、練習(xí)1】 在一根長厘米的木棍上，自左到右每隔厘米染一個紅點，同時自右到左每隔厘米染一個紅點，染后沿紅點將木棍逐段鋸開，那么長度是厘米的短木棍有多少根？ 【分析】如圖，以厘米為例，和的最小公倍數(shù)是，所以每隔厘米兩種紅點有一次重疊。觀察這個線段圖，發(fā)現(xiàn)每厘米有兩次出現(xiàn)了只相距厘米的紅點。所以每厘米有段長厘米的短木棍。一共有這樣的短木棍（段）。 【練習(xí)2】 一盒鋼筆可以平均分給、、、、個同學(xué)，這盒鋼筆最少有多少支？ 【分析】這盒鋼筆的支數(shù)是、、、、的最小公倍數(shù)的倍數(shù)，、、、、的最小公倍數(shù)是：，這盒鋼筆最少有（支）。 【練習(xí)3】 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是，最小公倍數(shù)是。這樣的自然數(shù)一共有________組。 【分析】設(shè)這兩個數(shù)是，，且（，），那么，可得。，，或，或，或，。共組。