2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《集合及其運(yùn)算》理新人教A版.doc

2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練（歸納明確考點(diǎn)+課前自測+教師備選題+誤區(qū)警示+課后實戰(zhàn)題，含詳解及2013模擬題）集合及其運(yùn)算理 新人教A版?zhèn)淇挤较蛞髁丝?什 么怎 么 考1.集合的含義與表示(1)了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系(2)能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題2.集合間的基本關(guān)系(1)理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集(2)在具體情境中，了解全集與空集的含義3.集合的基本運(yùn)算(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集(2)理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集(3)能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.1.對集合的含義與表示的考查主要涉及集合中元素的互異性以及元素與集合之間的關(guān)系，考查利用所學(xué)的知識對集合的性質(zhì)進(jìn)行初步探究的基本邏輯能力如2012年全國T1，江西T1等2.對于兩個集合之間關(guān)系的考查主要涉及以下兩個方面：(1)判斷給定兩個集合之間的關(guān)系，主要是子集關(guān)系的判斷如2011北京T1.(2)以不等式的求解為背景，利用兩個集合之間的子集關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍問題3.集合的基本運(yùn)算在高考命題中主要與簡單不等式的求解、函數(shù)的定義域或值域的求法相結(jié)合考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，以補(bǔ)集與交集的基本運(yùn)算為主，考查借助數(shù)軸或Venn圖進(jìn)行集合運(yùn)算的數(shù)形結(jié)合思想和基本運(yùn)算能力如2012北京T1、陜西T1、山東T1等.歸納知識整合1元素與集合(1)集合元素的特性：確定性、互異性、無序性(2)集合與元素的關(guān)系：若a屬于A，記作aA；若b不屬于A，記作bA.(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集及其符號表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或NZQR探究1.集合Ax|x20，Bx|yx2，Cy|yx2，D(x，y)|yx2相同嗎？它們的元素分別是什么？提示：這4個集合互不相同，A是以方程x20的解為元素的集合，即A0；B是函數(shù)yx2的定義域，即BR；C是函數(shù)yx2的值域，即Cy|y0；D是拋物線yx2上的點(diǎn)組成的集合20與集合0是什么關(guān)系？與集合呢？提示：00，或2集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同AB且BAAB子集A中任意一個元素均為B中的元素AB或BA真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)探究3.對于集合A，B，若ABAB，則A，B有什么關(guān)系？提示：AB.假設(shè)AB，則ABAB，與ABAB矛盾，故AB.3集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號表示ABAB若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為UA圖形表示意義x|xA，或xBx|xA，且xBUAx|xU，且xA探究4.同一個集合在不同全集中的補(bǔ)集相同嗎？提示：一般情況下不相同，如A0,1在全集B0,1,2中的補(bǔ)集為BA2，在全集D0,1,3中的補(bǔ)集為DA3 自測牛刀小試1(2012山東高考)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，則(UA)B為()A1,2,4B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4解析：選C由題意知UA0,4，又B2,4，所以(UA)B0,2,42(教材改編題)已知集合Ax|2x3<3x，Bx|x2，則()AAB BBA CARB DBRA解析：選BAx|2x3<3xx|x>3，Bx|x2，BA.3已知集合M1，m2，m24，且5M，則m的值為()A1或1 B1或3C1或3 D1，1或3解析：選B51，m2，m24，m25或m245，即m3或m1.當(dāng)m3時，M1,5,13；當(dāng)m1時，M1,3,5；當(dāng)m1時M1,1,5不滿足互異性m的值為3或1.4(教材改編題)已知集合A1,2，若AB1,2，則集合B有_個解析：A1,2，AB1,2，BA，B，1，2，1,2答案：45已知集合Ax|a1xa1，Bx|x25x40，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：Bx|x25x40x|x4，或x1，且AB，即2<a<3.答案：(2,3)集合的基本概念例1(1)(2012新課標(biāo)全國卷)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，則B中所含元素的個數(shù)為()A3B6C8D10(2)已知集合A4,2a1，a2，Ba5,1a,9，若9(AB)，則實數(shù)a的值為_自主解答(1)法一：由xyA，及A1,2,3,4,5得x>y，當(dāng)y1時，x可取2,3,4,5，有4個；y2時，x可取3,4,5，有3個；y3時，x可取4,5，有2個；y4時，x可取5，有1個故共有123410(個)法二：因為A中元素均為正整數(shù)，所以從A中任取兩個元素作為x，y，滿足x>y的(x，y)即為集合B中的元素，故共有C10個(2)9(AB)，9A且9B，2a19或a29.a5或a3.當(dāng)a5時，A4,9,25，B0，4，9，符合題意；當(dāng)a3時，A4,5,9，B不滿足集合中元素的互異性，故a3；當(dāng)a3時，A4，7,9，B8,4,9，符合題意a5或a3.答案(1)D(2)5或3本例(2)中，將“9(AB)”改為“AB9”，其他條件不變，則實數(shù)a為何值？解：AB9，9A且9B，2a19或a29， 即a5或a3.當(dāng)a5時，A4，9，25，B0，4，9，AB4，9，不滿足題意，a5.當(dāng)a3時，A4，5，9，B2，2，9，不滿足集合中元素的互異性，a3.當(dāng)a3時，A4，7，9，B8，4，9，AB9，符合題意，綜上a3.解決集合問題的一般思路(1)研究一個集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時，注意弄清其元素表示的意義是什么(2)對于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合是否滿足互異性1(1)已知非空集合AxR|x2a1，則實數(shù)a的取值范圍是_(2)已知集合Ax|x22xa>0，且1A，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：(1)集合AxR|x2a1為非空集合，a10，即a1.(2)1x|x22xa>0，1x|x22xa0，即12a0，a1.答案：(1)1，)(2)(，1集合間的基本關(guān)系例2已知集合Ax|0<ax15，B，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是_自主解答A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論：若a0，則AR；若a<0，則A；若a>0，則A.當(dāng)a0時，若AB，此種情況不存在當(dāng)a<0時，若AB，如圖，則即又a<0，a<8.當(dāng)a>0時，若AB，如圖，則即又a>0，a2.綜上知，當(dāng)AB時，a<8或a2.答案(，8)2，)保持例題條件不變，當(dāng)a滿足什么條件時，BA?解：當(dāng)a0時，顯然BA；當(dāng)a<0時，若BA，如圖，則即又a<0，<a<0.當(dāng)a>0時，若BA，如圖，則即又a>0，0<a2.綜上知，當(dāng)BA時，<a2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩集合的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問題常常要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析，而且經(jīng)常要對參數(shù)進(jìn)行討論2若集合Ax|x2ax10，xR，集合B1,2，且AB，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：(1)若A，則a24<0，解得2<a<2；(2)若1A，則12a10，解得a2，此時A1，符合題意；(3)若2A，則222a10，解得a，此時A，不合題意綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為2,2)答案：2,2)集合的基本運(yùn)算例3(1)(2012北京高考)已知集合AxR|3x20，BxR|(x1)(x3)0，則AB()A(，1)B.C. D(3，)(2)(2013威海模擬)已知集合A1,2a，Ba，b，若AB，則AB()A. B.C. D.(3)(2013武漢模擬)已知A，B均為集合U1,2,3,4,5,6的子集，且AB3，(UB)A1，(UA)(UB)2,4，則B(UA)_.自主解答(1)A，Bx|x<1，或x>3，ABx|x>3(2)由AB得2a，解得a1，則b.所以A，B，則AB.(3)依題意及韋恩圖得，B(UA)5,6答案(1)D(2)D(3)5,61.集合的運(yùn)算口訣集合運(yùn)算的關(guān)鍵是明確概念.集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中A元素，剩余元素成補(bǔ)集.2.解決集合的混合運(yùn)算的方法解決集合的混合運(yùn)算時，一般先運(yùn)算括號內(nèi)的部分.當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算；當(dāng)集合是用不等式形式表示時，可運(yùn)用數(shù)軸求解.3(2013南昌模擬)已知全集UR，函數(shù)y的定義域為M，Nx|log2(x1)<1，則如圖所示陰影部分所表示的集合是()Ax|2x<1 Bx|2x2Cx|1<x2 Dx|x<2解析：選C集合M(，2)(2，)，UM2,2，集合N(1,3)，所以UMN(1,2.集合中的新定義問題例4非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：(1)對任意a、bG，都有abG；(2)存在cG，使得對一切aG，都有accaa，則稱集合G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：G非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法；G偶數(shù)，為整數(shù)的乘法；G平面向量，為平面向量的加法；G二次三項式，為多項式的加法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是()ABC D自主解答錯，因為不滿足條件(2)；錯，因為不滿足條件(1)答案B解決新定義問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)(1)遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)(2)按新定義的要求，“照章辦事”逐步分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決(3)對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，排除、對比、特值等方法解訣4若xA，且A，則稱集合A為“和諧集”已知集合M，則集合M的子集中，“和諧集”的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選C當(dāng)x2時，M，故2不是“和諧集”中的元素；當(dāng)x1時，M；當(dāng)x時，2M；當(dāng)x2時，1M.所以1，2可以作為“和諧集”中的一組元素；當(dāng)x時，M；當(dāng)x時，3M；當(dāng)x3時，M.所以，3可以作為“和諧集”中的一組元素；當(dāng)x0時，1M，但x1時，無意義，所以0,1不是“和諧集”中的元素所以集合M的子集為“和諧集”，其元素只能從兩組元素：1，2與，3中選取一組或兩組，故“和諧集”有，1，2，3三個1組轉(zhuǎn)化兩個集合的運(yùn)算與包含關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在集合的運(yùn)算關(guān)系和兩個集合的包含關(guān)系之間往往存在一定的聯(lián)系，在一定的情況下，集合的運(yùn)算關(guān)系和包含關(guān)系之間可以相互轉(zhuǎn)化，如ABABAABBUAUBA(UB)，在解題中運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化能有效簡化解題過程3種技巧集合的運(yùn)算技巧(1)對連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對已知連續(xù)數(shù)集間的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時，要注意單獨(dú)考察等號(2)對離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn)(3)兩個有限集合相等，可以從兩個集合中的元素相同求解，如果是兩個無限集合相等，從兩個集合中元素相同求解就不方便，這時就根據(jù)兩個集合相等的定義求解，即如果AB，BA，則AB.5個注意解答集合題目應(yīng)注意的問題(1)認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個先決條件(2)要注意區(qū)分元素與集合的從屬關(guān)系；以及集合與集合的包含關(guān)系(3)要注意空集的特殊性，在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身(4)運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實心還是空心(5)在解決含參數(shù)的集合問題時，要注意檢驗集合中元素的互異性，否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤. 創(chuàng)新交匯與集合運(yùn)算有關(guān)的交匯問題1集合的運(yùn)算是高考的常考內(nèi)容，以兩個集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算為主，且常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、向量等內(nèi)容相結(jié)合，以創(chuàng)新交匯問題的形式出現(xiàn)在高考中2解決集合的創(chuàng)新問題常分三步：(1)信息提取，確定化歸的方向；(2)對所提取的信息進(jìn)行加工，探求解決方法；(3)將涉及到的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)換，有效地輸出，其中信息的提取和轉(zhuǎn)化與化歸是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)典例(2012重慶高考)設(shè)平面點(diǎn)集A，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A.B.C. D.解析不等式(yx)0可化為或集合B表示圓(x1)2(y1)21上以及圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合，AB所表示的平面區(qū)域如圖所示曲線y，圓(x1)2(y1)21均關(guān)于直線yx對稱，所以陰影部分占圓面積的一半答案D1本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式的創(chuàng)新：題目并不是直接求解不等式組所表示的平面區(qū)域的面積，而是以求集合交集的形式考查(2)考查內(nèi)容的創(chuàng)新：本題通過集合A，B考查了一元一次函數(shù)yx、反比例函數(shù)y的圖象和圓的方程(x1)2(y1)21，以及圓和函數(shù)y的圖象的對稱性、不等式所表示的平面區(qū)域等內(nèi)容2解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)(1)正確識別集合A與集合B中元素的幾何性質(zhì)，并正確畫出各自所表示的區(qū)域；(2)注意到圓(x1)2(y1)21與函數(shù)y(x>0)的圖象都關(guān)于直線yx對稱3在解決以集合為背景的創(chuàng)新交匯問題時，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注以下兩點(diǎn)(1)認(rèn)真閱讀，準(zhǔn)確提取信息，是解決此類問題的前提如本題應(yīng)首先搞清集合A與B的性質(zhì)，即不等式表示的點(diǎn)集(2)剝?nèi)ゼ系耐獗恚瑢⒛吧D(zhuǎn)化為熟悉是解決此類問題的關(guān)鍵，如本題去掉集合的外表，將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式組表示的平面區(qū)域問題1已知A(x，y)|y|ln x|，B，則AB的子集個數(shù)為()A3B4C2D8解析：選BAB中元素的個數(shù)就是函數(shù)y|ln x|的圖象與橢圓1的交點(diǎn)個數(shù)，如圖所示由圖可知，函數(shù)圖象和橢圓有兩個交點(diǎn)，即AB中有兩個元素，故AB的子集有224個2設(shè)集合My|y|cos2xsin2x|，xR，N，則MN為()A(0,1) B(0,1C0,1) D0,1解析：選Cy|cos2xsin2x|cos 2x|，且xR，y0,1，M0,1在N中，xR且< ，|xi|< ，x21<2，解得1<x<1，N(1,1)MN0,1)3設(shè)Ma|a(2,0)m(0,1)，mR和Nb|b(1,1)n(1，1)，nR都是元素為向量的集合，則MN()A(1,0) B(1,1)C(2,0) D(2,1)解析：選C設(shè)c(x，y)MN，則有(x，y)(2,0)m(0,1)(1,1)n(1，1)，即(2，m)(1n,1n)，所以由此解得n1，m0，(x，y)(2,0)，即MN(2,0)(限時：45分鐘滿分81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1(2012遼寧高考)已知全集U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A0,1,3,5,8，集合B2,4,5,6,8，則(UA)(UB)()A5,8B7,9C0,1,3 D2,4,6解析：選BUA2,4,6,7,9，UB0,1,3,7,9，則(UA)(UB)7,92已知S(x，y)|y1，xR，T(x，y)|x1，yR，則ST()A空集 B1C(1,1) D(1,1)解析：選D集合S表示直線y1上的點(diǎn)，集合T表示直線x1上的點(diǎn)，ST表示直線y1與直線x1的交點(diǎn)3已知集合A1,3，B1，m，ABA，則m()A0或 B0或3C1或 D1或3解析：選B由ABA得BA，有mA，所以有m或m3，即m3或m1或m0，又由集合中元素互異性知m1.4設(shè)集合Ax|1<x<4，集合Bx|x22x30，則A(RB)()A(1,4) B(3,4)C(1,3) D(1,2)(3,4)解析：選BBx|1x3，A(RB)x|3<x<45(2012湖北高考)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0<x<5，xN，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選DA1,2，B1,2,3,4，ACB，則集合C的個數(shù)為242224，即C1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,46(2013廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)lg(1x2)，集合Ax|yf(x)，By|yf(x)，則圖中陰影部分表示的集合為()A1,0 B(1,0)C(，1)0,1) D(，1(0,1)解析：選D因為Ax|yf(x)x|1x2>0x|1<x<1，則u1x2(0,1，所以By|yf(x)y|y0，AB(，1)，AB(1,0，故圖中陰影部分表示的集合為(，1(0,1)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7若1，則實數(shù)a的值為_解析：若a31，則a4，此時1a2117不符合集合中元素的互異性；若11，則a，符合條件；若a211，則a0，此時11，不符合集合中元素的互異性綜上可知a.答案：8(2012天津高考)已知集合AxR|x2|<3，集合BxR|(xm)(x2)<0，且AB(1，n)，則m_，n_.解析：AxR|x2|<3xR|5<x<1，由AB(1，n)可知m<1，則Bx|m<x<2，畫出數(shù)軸，可得m1，n1.答案：119(2013合肥模擬)對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運(yùn)算：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，mn，當(dāng)m，n為一奇一偶時，mn，設(shè)集合A(a，b)|ab6，a，bN*，則集合A中的元素個數(shù)為_解析：(1)當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，6ab12，即2104866111395712，故符合題意的點(diǎn)(a，b)有25111個(2)當(dāng)a，b為一奇一偶時，6ab36，即1363124936，故符合題意的點(diǎn)(a，b)有236個綜上可知，集合A中的元素共有17個答案：17三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10Ax|2<x<1或x>1，Bx|ax<b，ABx|x>2，ABx|1<x<3，求實數(shù)a，b的值解：ABx|1<x<3，b3，又ABx|x>2，2<a1，又ABx|1<x<3，1a<1，a1.11已知集合Ax|x26x8<0，Bx|(xa)(x3a)<0(1)若AB，求a的取值范圍；(2)若AB，求a的取值范圍；(3)若ABx|3<x<4，求a的取值范圍解：Ax|x26x8<0，Ax|2<x<4(1)若AB，當(dāng)a0時，B，顯然不成立；當(dāng)a>0時，Bx|a<x<3a，應(yīng)滿足a2；當(dāng)a<0時，Bx|3a<x<a，應(yīng)滿足此時不等式組無解，當(dāng)AB時，a2.(2)要滿足AB，當(dāng)a0時，B滿足條件；當(dāng)a>0時，Bx|a<x<3a，a4或3a2.0<a或a4；當(dāng)a<0時，Bx|3a<x<aa<0時成立，綜上所述，a或a4時，AB.(3)要滿足ABx|3<x<4，顯然a3.12設(shè)集合Ax|1x2，Bx|x2(2m1)x2m<0(1)當(dāng)m<時，化簡集合B；(2)若ABA，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若RAB中只有一個整數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍解：不等式x2(2m1)x2m<0(x1)(x2m)<0.(1)當(dāng)m<時，2m<1，集合Bx|2m<x<1(2)若ABA，則BA，Ax|1x2，當(dāng)m<時，Bx|2m<x<1，此時12m<1m<；當(dāng)m時，B，有BA成立；當(dāng)m>時，Bx|1<x<2m，此時1<2m2<m1；綜上所述，m的取值范圍是m1.(3)Ax|1x2，RAx|x<1，或x>2，當(dāng)m<時，Bx|2m<x<1，若RAB中只有一個整數(shù)，則32m<2m<1；當(dāng)m時，不符合題意；當(dāng)m>時，Bx|1<x<2m，若RAB中只有一個整數(shù)，則3<2m4<m2.綜上所述，m的取值范圍是m<1或<m2.1已知集合M1,0,1，Nx|xab，a，bM，且ab，則集合M與集合N的關(guān)系是()AMN BMNCNM DMN解析：選C由于M1,0,1，所以x0，1，故N0，1，所以NM.2設(shè)全集UR，Ax|x23x>0，Bx|x<1，則圖中陰影部分表示的集合為()Ax|x>0Bx|3<x<1Cx|3<x<0Dx|x<1解析：選B依題意得集合Ax|3<x<0，所求的集合即為AB，所以圖中陰影部分表示的集合為x|3<x<13若集合Ax|x1，B0,1,2，則下列結(jié)論正確的是()AABx|x0 BAB1,2C(RA)B0,1 DA(RB)x|x1解析：選B依題意得，ABx|x10，AB1,2，(RA)B0，A(RB)(，0)(0，)，因此結(jié)合各選項知，選B.4已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，則實數(shù)a的取值范圍是(c，)，其中c_.解析：Ax|log2x2x|0<x4，即A(0,4，由AB，B(，a)，且a的取值范圍是(c，)，可以結(jié)合數(shù)軸分析得c4.答案：4