【高中高考必備】高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料-數(shù)學(xué)解題技巧

【高中高考必備】高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料高考數(shù)學(xué)解題方法第一 芝麻開門 點(diǎn)到成功計(jì)名釋義七品芝麻官，說的是這個(gè)官很小，就是芝麻那么小的一點(diǎn). 阿里巴巴用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點(diǎn)芝麻，竟把那個(gè)龐然大門給“點(diǎn)”開了. 數(shù)學(xué)中，以點(diǎn)成線、以點(diǎn)帶面、兩線交點(diǎn)、三線共點(diǎn)、還有頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、極限點(diǎn)等等，這些足以說明“點(diǎn)”的重要性. 因此，以點(diǎn)破題，點(diǎn)到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例題將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，則 . 分析 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號(hào)省去的有無窮之多，真乃是個(gè)龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c(diǎn)”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個(gè)頂點(diǎn)，我們就打這個(gè)頂點(diǎn)的主意. 解 將等式與右邊的頂點(diǎn)三角形對(duì)應(yīng)（圖右），自然有 對(duì)此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對(duì)一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. 插語(yǔ) 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進(jìn)行解析，而是以點(diǎn)帶面，點(diǎn)到成功. 要點(diǎn)明的是，這個(gè)頂點(diǎn)也可以不選大三角形的頂點(diǎn). 因?yàn)槿切沃腥我粋€(gè)數(shù)，都等于對(duì)應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個(gè)“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點(diǎn)帶面，先抓無窮數(shù)列的首項(xiàng). 解 在三角形中先找到了數(shù)列首項(xiàng)，并將和數(shù)列 中的各項(xiàng)依次“以點(diǎn)連線”（圖右實(shí)線），實(shí)線所串各數(shù)之和就是an . 這個(gè)an，就等于首項(xiàng)左上角的那個(gè). 因?yàn)樵谙蛳乱环譃槎M(jìn)行依次列項(xiàng)時(shí)，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項(xiàng)（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. 點(diǎn)評(píng) 解題的關(guān)鍵是“以點(diǎn)破門”，這里的點(diǎn)是一個(gè)具體的數(shù)，采用的方法是以點(diǎn)串線三角形中的實(shí)線，實(shí)線上端折線所對(duì)的那個(gè)數(shù)就是問題的答案. 事實(shí)上，三角形中的任何一個(gè)數(shù)（點(diǎn)）都有這個(gè)性質(zhì). 例如從這個(gè)數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個(gè)數(shù)的左上角的那個(gè)數(shù). 用等式表示就是 鏈接 本題型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個(gè)10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. 法1 由知，可用合項(xiàng)的辦法，將的和式逐步合項(xiàng). 法2 第二問實(shí)質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項(xiàng)，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而法3 （2）將代入條件式，并變形得取令得 ， 以上諸式兩邊分別相加，得 說明 以上三法，都是對(duì)解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動(dòng)用了牛刀. 為此我們認(rèn)識(shí)到“芝麻開門，點(diǎn)到成功”在使用對(duì)象上的真正意義. 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1如圖把橢圓的長(zhǎng)軸AB分成8份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P7七個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且A1P=CQ，則四棱錐B1A1PQC1的體積與多面體ABCPB1Q的體積比值為 . 參考解答1找“點(diǎn)”橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2. 連接P1F2 、P2F2 、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由橢圓的對(duì)稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2找“點(diǎn)”動(dòng)點(diǎn)P、Q的極限點(diǎn). 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動(dòng)點(diǎn)P與A1重合，動(dòng)點(diǎn)Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FCAA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐CA1B1C1 .顯然V棱柱.=于是奇兵天降答案為.點(diǎn)評(píng) “點(diǎn)到成功”的點(diǎn)，都是非一般的特殊點(diǎn)，它能以點(diǎn)帶面，揭示整體，制約全局. 這些特殊點(diǎn)，在沒被認(rèn)識(shí)之前，往往是人們的盲點(diǎn)，只是在經(jīng)過點(diǎn)示之后成為亮點(diǎn)的. 這個(gè)“點(diǎn)”字，既是名詞，又是動(dòng)詞，是“點(diǎn)亮”和“亮點(diǎn)”的合一.第二 西瓜開門 滾到成功計(jì)名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個(gè)“點(diǎn)”，而一個(gè)球. 因?yàn)樗軌颉皾L”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動(dòng)中能選出有效的“觸面”.數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識(shí)內(nèi)容，二是思想方法. 基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，劃分討論思想，等價(jià)交換思想，特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動(dòng)”一遍，總有一種思想方法能與題目對(duì)上號(hào).典例示范題1 對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）f （x）0，則必有A. f（0）f（2）< 2f（1） B. f（0）f（2）2 f（1）C. f（0）f（2） 2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）分析用五種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“滾動(dòng)”，最容易找到感覺應(yīng)是：分類討論思想.這點(diǎn)在已條件（x-1）f(x)0中暗示得極為顯目.其一，對(duì)f(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對(duì)x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.解一 （i）若f(x) 0時(shí)，則f(x)為常數(shù)：此時(shí)選項(xiàng)B、C符合條件.（ii）若f(x)不恒為0時(shí). 則f(x)0時(shí)有x1，f（x）在上為增函數(shù)；f(x)0時(shí)x 1. 即f（x）在上為減函數(shù). 此時(shí)，選項(xiàng)C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.插語(yǔ) 考場(chǎng)上多見的錯(cuò)誤是選D. 忽略了f(x) 0的可能. 以為（x-1）f(x) 0中等號(hào)成立的條件只是x-1=0，其實(shí)x-1=0與f(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個(gè)值，即x=1，而后是對(duì)x的所有可取值，有f(x) 0.再析 本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)：一般特殊思想.解二 （i）若f(x)=0，可設(shè)f（x）=.選項(xiàng)、符合條件.（ii）f(x)0. 可設(shè)f(x) =（x-1）2 又f(x)=2（x-1）.滿足(x-1) f(x) =2 (x-1)20，而對(duì) f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0選項(xiàng)C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C.插語(yǔ) 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡(jiǎn)單的特殊函數(shù)(x-1)2. 如果在同類中找到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡(jiǎn)單化.再析 本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體. 數(shù)學(xué)思想“函數(shù)方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f （x）= 0找最值點(diǎn)x =0，由f （x）>0（<0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.解三 （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，則常數(shù)f (x) = 1符合條件. （右圖水平直線）（ii）若f (0)= f (2)< f (1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1) f （x）0若f (0)= f (2)> f (1)對(duì)應(yīng)選項(xiàng)C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x-1) f （x）0.探索 本題涉及的抽象函數(shù)f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個(gè)性質(zhì)：(x-1) f （x）0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).變題 以下函數(shù)f (x)，具有性質(zhì)(x-1) f （x）0從而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函數(shù)是A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-1)解析 對(duì)A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對(duì)B，f (0)無意義； 對(duì)C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 對(duì)D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f （x）=(x-1) 使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.說明 以x=1為對(duì)稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù). 如f（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且nm.點(diǎn)評(píng) 解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解題中具體應(yīng)用.題2 已知實(shí)數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。分析 “最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.解一 （函數(shù)方程思想運(yùn)用）令 y = k (x-5) 與方程聯(lián)立消y，得： 根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得 即 即所求的最小值為，最大值為.插語(yǔ) 解出，談何易！十人九錯(cuò)，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試.解二 （數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用）由得橢圓方程 ，0看成是過橢圓上的點(diǎn)（x，y），(5，0)的直線斜率（圖右）.聯(lián)立 得 令得，故 的最小值為，最大值為.插語(yǔ) 這就是“滾動(dòng)”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動(dòng)開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.點(diǎn)評(píng) “西瓜開門”把運(yùn)動(dòng)學(xué)帶進(jìn)了考場(chǎng)解題. 滾動(dòng)能克服解題的思維定勢(shì).解題時(shí)，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動(dòng)”，在知識(shí)鏈接上要“滾動(dòng)”，在基本技能技巧上也要“滾動(dòng)”. 總之，面對(duì)考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動(dòng)”.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.若動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡應(yīng)為圖中的 ( )2.函數(shù)y=1- (-1x<0)的反函數(shù)是 ( )A.y=-(0<x1) B.y= (0<x1)C. y=- (-1x<0) D. y= (-1x<0)3.設(shè)a,b,cR,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則下列結(jié)論中正確的是 ( )A.b2ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0參考答案1.【思考】 利用題設(shè)的隱含條件.由條件知x0,y>0且y>x.選項(xiàng)B中無x<0的圖像，選項(xiàng)D中無x>0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=yR+時(shí)，lg無意義，否定A,選C【點(diǎn)評(píng)】 上面的解法中條件與選項(xiàng)一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項(xiàng).本題的常規(guī)解法是：當(dāng)x0且y>x時(shí)，由lgy+lg=2lg|x|，化簡(jiǎn)可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y>0).2.【思考】 分析各選項(xiàng)，僅解析式符號(hào)有區(qū)別.定義域中等號(hào)的位置有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動(dòng)著手排除錯(cuò)誤的選項(xiàng).原函數(shù)定義域?yàn)?1x<0，其反函數(shù)值域?yàn)?1y<0，排除B、D.原函數(shù)中f(-1)=1,反函數(shù)中f-1(1)=-1,即x=1時(shí)f-1(x)有定義,排除C,選A3.解析一 分析四個(gè)選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假.取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實(shí)數(shù)a=0,b=-1,c=0檢驗(yàn)知選B.解析二 由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式.令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故=4b2-4ac>0,即b2>ac,故選B.【點(diǎn)評(píng)】 在解題時(shí)易受題設(shè)條件的干擾,企圖從已知不等式出發(fā):4b<4a+c, 2b<-a-c, 不等號(hào)的方向無法確定,思維受阻.用邏輯分析法和特殊值檢驗(yàn)的方法兩種方法滾動(dòng)使用，簡(jiǎn)便明快,如解析一.用判別式法邏輯性強(qiáng)但思路難尋,如解析二.一般在做題時(shí),為了使選擇題解題速度變快,推薦學(xué)生使用解析一.第三 諸葛開門 扇到成功計(jì)名釋義諸葛亮既不會(huì)舞刀，也不會(huì)射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借東風(fēng)也是用扇子. 有人把“借東風(fēng)”的意思弄膚淺了，以為東風(fēng)就是東邊來的風(fēng)，其實(shí)，這里真正所指是“東吳”的風(fēng). 在赤壁大戰(zhàn)中，劉備哪是曹操的對(duì)手，后來能把曹兵打敗，借的就是東吳的力量.數(shù)學(xué)解題的高手們，都會(huì)“借力打力”，這就是數(shù)學(xué)“化歸轉(zhuǎn)換思想”的典型應(yīng)用.典例示范題1 已知f (x)= 試求 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 )的值.分析若分別求f (x)在x= -5，-4，0，6時(shí)的12個(gè)值然后相加. 這不是不行，只是工作量太大，有沒有簡(jiǎn)單的辦法？我們想“借用”等差數(shù)列求和時(shí)“倒序相加”的辦法. 于是，我們關(guān)心f (x)+f (1-x)的結(jié)果.解析 因?yàn)?f (x)+ f (1-x) = = =所以 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 ) =（f (-5 )+ f (6 )）+（f (-4)+ f (5 )）+（f (6 )+ f (-5 )）=f (1-x )+ f (x )6 =點(diǎn)評(píng) 這里，“借來”的不是等差數(shù)列本身的性質(zhì)，而是等差數(shù)列求和時(shí)曾用過的辦法倒序相加法.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.已知sin2+sin2+sin2=1(、均為銳角)，那么coscoscos的最大值等于 .2.求已知離心率e=,過點(diǎn)(1,0)且與直線l:2x-y+3=0相切于點(diǎn)P(-),長(zhǎng)軸平行于y軸的橢圓方程.3.若橢圓 (a>0)與連結(jié)A(1,2),B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn),求a的取值范圍.參考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,則cos2=cos2=cos2=.、為銳角時(shí)，cos=cos=cos=.coscoscos=.(注：根據(jù)解題常識(shí)，最大值應(yīng)在cos=cos=cos時(shí)取得).2.解析 按常規(guī),設(shè)橢圓中心為(x0,y0),并列出過已知點(diǎn)P的切線方程,聯(lián)立消參可求得橢圓方程.若借極限思想,將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況,則可簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.已知e=,則a2=5b2.設(shè)長(zhǎng)軸平行于y軸且離心率e=的橢圓系為(x+，把點(diǎn)P(-看做當(dāng)k0時(shí)的極限情形(點(diǎn)橢圓),則與直線l:2x-y+3=0相切于該點(diǎn)的橢圓系即為過直線l與“點(diǎn)橢圓”的公共點(diǎn)的橢圓系方程:(x+又所求的橢圓過（1，0）點(diǎn),代入求得=-.因此所求橢圓方程為x2+=1.點(diǎn)評(píng) 將點(diǎn)橢圓視為橢圓的極限情況處理問題,減少了運(yùn)算量,簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程.3.解析 若按常規(guī),需分兩種情況考慮:A,B兩點(diǎn)都在橢圓外;A,B兩點(diǎn)都在橢圓內(nèi).若借用補(bǔ)集思想則避免了分情況討論,使計(jì)算簡(jiǎn)潔.設(shè)a的允許值的集合為全集I=a|aR,a>0,先求橢圓和線段AB有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍.易得線段AB的方程為y=x+1,x1,3,由方程組,x1,3,a2的值在1,3內(nèi)遞增,且x=1和x=3時(shí)分別得a2=或a2=,故a2.a>0,a.故當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時(shí),a的取值范圍為0<a<或a>.第四 關(guān)羽開門 刀舉成功計(jì)名釋義關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過關(guān)斬將”用這大刀，“水淹七軍”用這大刀. 數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！典例示范例1 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn)，M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)，AD=AA1=a，AB=2a.（）求證：MN面ADD1A1；（）求二面角PAED的大??；（）求三棱錐PDEN的體積.分析 這是個(gè)長(zhǎng)方體，而“長(zhǎng)”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對(duì)象：用刀從中一劈，則分成2個(gè)相等的正方體. 對(duì)于正方體，我們?cè)摱嗝词煜ぐ?！有關(guān)線段的長(zhǎng)度，各線段間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.解 取D1C1的中點(diǎn)Q ，過Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1（證畢）.插語(yǔ) 其所以這么簡(jiǎn)單，是因?yàn)槲覀儗?duì)正方體熟悉. 正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的（）和（），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進(jìn)行（從略）.【例2】 設(shè)p>0是一常數(shù)，過點(diǎn)Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.（）試證：拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；（）并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.【分析】 （）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點(diǎn)在圓上，有如下各種對(duì)策：（1）證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）證AOB=90,即OAOB，等.顯然，利用向量知識(shí)證=0,當(dāng)為明智之舉.【解答】 （）當(dāng)ABx軸時(shí)，直線AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=2p,|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時(shí)Q、H重合,點(diǎn)Q在H上.如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan-2ptan.即tany2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二實(shí)根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故點(diǎn)O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】 ()為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式，直觀上我們已可推測(cè)到當(dāng)ABx軸時(shí)，弦AB之長(zhǎng)最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:(1)用直線的點(diǎn)斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識(shí)求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達(dá)式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長(zhǎng)，但都須牽涉到兩個(gè)變量x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個(gè)變量.【解答】（）直線AB的傾角為,當(dāng)=90時(shí)，H的半徑為2p,SH=4p2.當(dāng)90時(shí)，不妨設(shè)0,)，則綜上，|AB|min=4p,當(dāng)且僅當(dāng)=90時(shí)，（SH）min=4p2,相應(yīng)的直線AB的方程為：x=2p.別解：由（1）知恒有AOB=90.|2=| =2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=2p時(shí)，SH=4p2.【點(diǎn)評(píng)】 斧子開門，只要你說要進(jìn)去，直接在墻上打洞最直接了.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.已知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an,滿足f(1)=n2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并求之值.(2)證明0<f<1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對(duì)角線BD將ABD向上折起，使點(diǎn)A移到點(diǎn)P,并使點(diǎn)P在平面BCD上的射影O在DC上(如圖所示).(1)求證:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小.參考答案1.分析： (1)an的各項(xiàng)是f(x)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)，故其各項(xiàng)和Sn=f(1).(2)可以預(yù)見:f展開式的各項(xiàng)是系數(shù)成等差，字母成等比的綜合數(shù)列，這種數(shù)列的求和方法是“錯(cuò)項(xiàng)相減”.(3)f的解析式必含變量n,為判斷其范圍可考慮用求導(dǎo)法判斷其單調(diào)性.解答： (1)f(1)=a1+a2+an=n2,即Sn=n2,an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.f=1 -:f = = =1-設(shè)g(x)=,g(x)=3-x+(x+1)3-xln3 (-1)=.g(x)是R+上的減函數(shù)，從而g(n)是N+上的減函數(shù)，g(n)max=g(1)=,又當(dāng)n時(shí),g(n)0,從而f.2.分析:圖形經(jīng)過翻折(或平移、旋轉(zhuǎn))，只是位置改變，而有關(guān)線段的長(zhǎng)度、角度及原來的平行、垂直等關(guān)系，在位置改變前后都沒有改變，緊扣這一點(diǎn)，就能悟出解題門道.(1)為證PDPC,須先證PD平面PBC,已有PDPB(翻折前為ADAB),還須PDBC.(2)求二面角的要點(diǎn)是找出二面角的平面角，已有PO平面BCD于O,且OCD,只須作OMBD即可.解答: (1)由條件知PO平面BCD于O,且OCD,BCCD,BCPD(三垂線定理),但PDPB,PD面PBC,從而PDPC.(2)作OMBD于M，連接PM,則BDPM(三垂線定理),PMO是二面角PBDC的平面角,PB=6,PD=2,BD=4,PM=3,已證PDPC,PC=,PO=.sinPMO=,PMO=arcsin,即所求二面角PDBC的大小為arcsin.第5計(jì) 才子開門 風(fēng)情萬種計(jì)名釋義所謂才子，就是才思繁捷的弟子. 數(shù)學(xué)才子，也像畫學(xué)才子一樣，胡灑亂潑，墨皆成畫. 這里，人們看到的“胡亂”只是外表. 在里手看來，科學(xué)的規(guī)律，藝術(shù)的工夫，全藏肘后. 別人肩上的重負(fù)，移到他的掌上，都成了玩意兒.典例示范引例 試比較以下三數(shù)的大?。海庖?建構(gòu)函數(shù)法設(shè)f (x) = f(x)=ln0 f (x)為減函數(shù) >>旁白 才子一看，發(fā)現(xiàn)是個(gè)錯(cuò)解，于是有以下的評(píng)語(yǔ). 評(píng)語(yǔ) 學(xué)了導(dǎo)數(shù)可糟糕，殺雞到處用牛刀，單調(diào)區(qū)間不清楚，亂用函數(shù)比大小.解二作差比較法-=<0-=>0旁白 才子一看，答案雖是對(duì)的，但解題人有點(diǎn)過于得意，因此得到以下評(píng)語(yǔ).評(píng)語(yǔ)解題成本你不管，別人求近你走遠(yuǎn)，作差通分太費(fèi)力，面對(duì)結(jié)果向回轉(zhuǎn).旁白 大家聽才子這么說，紛紛要求才子本人拿出自己的解法來，于是有了以下的奇解.奇解 =<1 =>1 >>旁白 大家一看，十分驚喜，但對(duì)解法的來歷有點(diǎn)奇怪. 于是才子有了如下的自評(píng).自評(píng) 標(biāo)新本來在立意，別人作商我作積，結(jié)果可由心算出，不用花費(fèi)紙和筆.旁白 這時(shí)，上面那位提供解法一的人有點(diǎn)不服氣：難道“求導(dǎo)法”就不能解出此題嗎？才子回答：當(dāng)然能！不過需要“統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間”，請(qǐng)看下解正解 f (x) = f(x)=ln<0 (x3)>> >>旁白 大家一看，齊聲說妙，要求才子再評(píng)說一下. 于是又有了下面的奇文.評(píng)語(yǔ) 因?yàn)閿?shù)3比e大，單調(diào)區(qū)間從3劃，數(shù)4也在本區(qū)間，故把數(shù)2搬個(gè)家.【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且ab=，則b= ( )A(，) B(,) C.() D（1，0）【特解】 由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，排除A.答案只能為B.【評(píng)說】 本解看似簡(jiǎn)單，但想時(shí)不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到.【別解】 因?yàn)閎是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項(xiàng). 又ab=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B.【評(píng)說】 本題通過三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項(xiàng)時(shí)還需動(dòng)手計(jì)算，真是淘盡黃沙始是金??！【另解】 設(shè)b=(cos,sin),則ab=(,1)(cos,sin)= cos+sin= sin(60+)=在區(qū)間（0，）上解得：=60.故b=().【評(píng)說】 本題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個(gè)小題的份量.【錯(cuò)解】 選A者,誤在(a，選C者,誤在|（）a|=1.選D者，沒有考慮到（1，0）與x軸平行.【評(píng)說】 本題三個(gè)假支的設(shè)計(jì)，其質(zhì)量很高，各有各的錯(cuò)因，相信各有各的“選擇人”.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.若奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù),又f(-3)=0,則x|xf(x)<0等于 （ ）A.x|x>3或-3<x<0 B.x|0<x<3或x<-3C.x|x>3或x<-3 D.x|0<x<3或-3<x<02.某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是 .(用數(shù)字作答)參考答案1.分析 由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性概念入手，結(jié)合其草圖即可寫出所求答案.解析一 由f(x)為奇函數(shù)且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+)上是增函數(shù),據(jù)上述條件作出滿足題意的y=f(x)草圖(如圖（1）),在圖中找出f(x)與x異號(hào)的部分,可以看出xf(x)<0的解集為x|0<x<3或-3<x<0,選D. (1) (2)解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+)上為增函數(shù),作出y=f(x)(x>0)的草圖(如圖（2）),x、f(x)均為R上的奇函數(shù),xf(x)為偶函數(shù),不等式xf(x)<0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故先解借助圖象得0<x<3,由對(duì)稱性得xf(x)<0的解集為x|0<x<3或-3<x<0,故選D.解析三 借助圖（1）或圖（2）,取特殊值x=2,知適合不等式xf(x)<0,排除A、C;又奇奇=偶,xf(x)為偶函數(shù),解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又可排除B,故選D.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的有關(guān)內(nèi)容.正確理解,掌握相關(guān)性質(zhì),是解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.在選擇題中,如果出現(xiàn)抽象函數(shù),一般用特殊值法會(huì)比較快捷,如解析三,判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法,如果掌握了一些基本規(guī)律,可簡(jiǎn)化解題過程,如解析二.奇(偶)奇(偶)=奇(偶),奇(偶)奇(偶)=偶.數(shù)形結(jié)合是解題的常用技巧,對(duì)于某些題目,做題時(shí)無需精確作圖,只要勾畫出圖象的大體結(jié)構(gòu),作出草圖即可.2.【分析】 排列組合解應(yīng)用題.6個(gè)元素作有限制的排列,其中4個(gè)元素有先后順序.并且C，D捆綁之后成為一個(gè)元素.問題有一定的難度.加法原理和乘法原理都能考慮.【通解】 考查有條件限制的排列問題，其中要求部分元素間的相對(duì)順序確定：據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進(jìn)行，故可把兩個(gè)視為一個(gè)大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進(jìn)行排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對(duì)順序共有A種，故滿足條件的排法種數(shù)共有=20.【正解】 5個(gè)元素設(shè)作A,B,（C,D）,x,y.將排列種數(shù)分兩類:第一類,x,y相連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=12種方法.【評(píng)說】 先分類:“相連”與“不連”為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】 5個(gè)元素設(shè)作A，B，（C，D），x,y.五個(gè)時(shí)位設(shè)作a,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，（C，D）按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數(shù)為54=20種.【評(píng)說】 “另解”比“正解”簡(jiǎn)便，但思維要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3個(gè)位置上，A，B，（C，D）按序到位情況只1種.這點(diǎn)，一般學(xué)生不易想通.【別解】 設(shè)所求的排法總數(shù)為x種，在每1個(gè)排好的隊(duì)列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，則有xP3=P5x=54=20.【評(píng)說】 別解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6計(jì) 勇士開門 手腳咚咚計(jì)名釋義一個(gè)婦女立在衙門前的大鼓旁邊，在哭. 一勇士過來問其故.婦女說：“我敲鼓半天了，衙門還不開.”勇士說：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會(huì)兒，果然衙門大開，衙役們高呼：“有人擊鼓，請(qǐng)老爺升堂！”考場(chǎng)解題，何嘗不是如此：面對(duì)考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.典例示范【例1】 已知x,y, aR，且,則cos (x+2y)的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【思考】 代數(shù)方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)”地求出它的解.但兩個(gè)方程有較多的形似之處，能否通過適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡啤钡健吧袼啤蹦?？解：由條件得：x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插語(yǔ)】 這是勇士之舉，采用手腳并用，誰(shuí)會(huì)想到用方程根來解決它呢?設(shè)f (t)=t3+sint-2a. 當(dāng)t時(shí)，均為增函數(shù)，而-2a為常數(shù).上的單調(diào)增函數(shù).f (x)= f (-2y)=0.只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 選B.【點(diǎn)評(píng)】 想到方程根使所給2個(gè)式子合二為一，是本題一個(gè)難點(diǎn)之一；判斷函數(shù)是單調(diào)函數(shù)又是一個(gè)難點(diǎn).【例2】 已知向量a= (cos,sin),向量b=(,-1) ， 則 |2a - b| 的最大值、最小值分別是( )A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0【解答】 如圖，點(diǎn)A(cos,sin)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，延OA到C，使=2a, 求的最值，顯然.當(dāng)與反向時(shí)有最大值4,與同向時(shí)有最小值0. 選D.【點(diǎn)評(píng)】 本例 解題思想很簡(jiǎn)單，誰(shuí)不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢， 例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地當(dāng)BOC不復(fù)存在時(shí)，才有可能取得.【例3】 設(shè)f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)g(x)+f (x)g(x)>0，且g(-3)=0, 則不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )A.(-3,0)(3,+) B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)【解答】 設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)= f(x)g(x)+f (x)g(x)>0.F(x)在R上為增函數(shù).F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)g (x).=-F(x).故F(x)為(-,0)(0,+)上的奇函數(shù).F(x)在R上亦為增函數(shù).已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，可知 例3題解圖F(x)<0的解集為x(-,-3)(0,3).【點(diǎn)評(píng)】 本例選自04湖南卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)對(duì)待本例是無能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問題更有說服力.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.下列命題正確的是 ( )A.若an和bn的極限都不存在，則an+bn的極值一定不存在B.若an和bn的極限都存在，則an+bn的極限一定存在C.若an+bn的極限不存在，則an和bn的極限都一定不存在D.若an+bn的極限存在，則an和bn的極限要么都存在，要么都不存在2.過定點(diǎn)M (-1,0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是 （ ）A.0<k< B.-<k<0 C.0<k< D.0<k<53.若(1-2x )9展開式的第3項(xiàng)為288，則的值是 ( )A.2 B.1 C. D.參考答案1.D (正反推證）若an+bn:1,1,1,1,的極限存在而推出an:0,1,0,1,0,1,bn:1,0,1,0,1,0,極限都不存在，但若an:1,1,1,1,bn:0,0,0,0,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C.2.A （數(shù)形并用）如圖，以C (-2,0)為圓心，r=3為半徑的C交x、y正半軸于A（1,0）,B (0,), 而M (-1, 0)在C內(nèi)部，當(dāng)N時(shí)，顯然，kMN>kMA=0;kMN<kMB=.故知, k(0,), 選A. 第2題解圖3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， 2 2x=8， x=, =(0,1).數(shù)列是首項(xiàng)與公比均為的無窮遞縮等比數(shù)列.原式=2. 選A.第7計(jì) 模特開門 見一知眾計(jì)名釋義一時(shí)裝模特，在表演時(shí)，自己笑了，臺(tái)下一片喝彩聲. 她自感成功，下去向老板索獎(jiǎng). 誰(shuí)知老板不僅沒獎(jiǎng)，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的. 試想，模特一笑，只能顯示模特本人的特色，誰(shuí)還去看她身上的服裝呢？所以，模特一笑，特在模掉！數(shù)學(xué)的特殊性（特值）解題，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），這樣，才能做到“一點(diǎn)動(dòng)眾”. 特值一旦確定，要研究的是特值的共性.選擇題中的“特值否定”，填空題中的“特值肯定”，解答題中的“特值檢驗(yàn)”，都是“一點(diǎn)動(dòng)眾”的例子.典例示范【例1】 如果0<a<1,那么下列不等式中正確的是 （ ）A.(1-a)>(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1【思考】 本題關(guān)鍵點(diǎn)在a,我們一個(gè)特殊數(shù)值，作為本題的模特.令a=,各選項(xiàng)依次化為： （ ）A B. C D. 顯然，有且僅有A是正確的，選A.【點(diǎn)評(píng)】 本題是一個(gè)選擇題，因此可以選一個(gè)模特?cái)?shù)代表一類數(shù)，一點(diǎn)動(dòng)眾.你還需要講“道理”嗎？為減函數(shù)，log0,B不對(duì)；也是減函數(shù)，,D不對(duì)；直接計(jì)算，C也不對(duì)；只有A是對(duì)的.【例2】 已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f (x)恒不為零，同時(shí)滿足:f (x+y)=f (x)f (y),且當(dāng)x>0時(shí)，f (x)>1,那么當(dāng)x<0時(shí)，一定有 （ ）Af (x)<-1 B.-1<f (x)<0 C.f (x)>1 D.0<f (x)<1【思考1】 本題是一個(gè)抽象函數(shù),破題之處在于取特殊函數(shù),一點(diǎn)動(dòng)眾.設(shè)f (x)=2x, 顯然滿足f (x+y)=f (x)f (y) (即2x+y =2x2y), 且滿足x>0時(shí)，f (x)>1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，0<2x<1.即0< f (x)<1. 選D.【點(diǎn)評(píng)】 題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無窮無盡地多，索性再特殊到底，選定最簡(jiǎn)單且又符合題意的函數(shù)y=2x, 這就是我們這題的模特,結(jié)果是輕而易舉地找出了正確答案.在考場(chǎng)上分分秒秒值千金，你還愿意糾纏在“為什么”上無謂地犧牲自己寶貴的時(shí)間嗎？【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = f (0)2 ( f (x)0), 則f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 當(dāng)x<0時(shí)，-x>0.由條件：f (-x)>1, 故x<0時(shí), 0< f (x)<1.【例3】 若A, B, C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且A<B<C （C), 則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.sinA<sinC B.cosA<cosC C.tanA<tanC D.cotA<cotC【思考】 本題的模特是取特殊角. 令A(yù)=30, B= 45,C=105, 則cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故選A.【點(diǎn)評(píng)】 此題用常法論證也不難，但是誰(shuí)能斷言：本解比之常法不具有更大的優(yōu)越性呢？對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.設(shè)f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 則f (x)的反函數(shù)的解析式是 （ ）A B. C D. 2.下列命題中，命題M是命題N的充要條件的一組是 （ ）A B.C. D.3.已知兩函數(shù)y= f (x)與y=g(x)的圖像如圖（1）所示，則y= f (x)g(x)的大致圖像為（ ） 第3題圖（1） 第3題圖（2） 參考答案1.B 取特殊的對(duì)稱點(diǎn). f (0)=1, (0,1)在f (x)的圖像上，（1，0）在f (x)的圖像上，將（1，0）代入各選項(xiàng)，僅B適合， 選B.點(diǎn)評(píng) 題干和選項(xiàng)都那么復(fù)雜，解法卻如此簡(jiǎn)明.你能發(fā)現(xiàn)（0，1）.就能找出（1，0），解題就需要這種悟性，說到底，還是能力.2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，條件不必要.3.B 取特殊的區(qū)間. 由圖像知f (x)為偶函數(shù)（圖（1）中圖像關(guān)于y軸對(duì)稱），g(x)為奇函數(shù)（圖（2）中圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）. y= f (x)g(x)為奇函數(shù)，其圖像應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A、C，取x(-2,-1), 由圖(1)知f (x)>0,由圖（2）知g(x)<0,故當(dāng)x(-2, -1)時(shí)，應(yīng)有y= f (x)g(x)<0. 選B.點(diǎn)評(píng) 無須弄清圖（1）、圖（2）到底表示什么函數(shù)，不必要也不可能僅憑已有的圖像信息去“精確描繪”y=f (x)g(x)的圖像.只須鑒別四類圖像哪一個(gè)符合題意，選定特殊區(qū)間（-2，-1）一次檢驗(yàn)即解決問題.第8計(jì) 小姐開門 何等輕松計(jì)名釋義有一大漢，想進(jìn)某屋. 門上并未加鎖，但他久推不開，弄得滿頭大汗.后面?zhèn)鱽硪晃恍〗爿p輕的聲音：“先生別推，請(qǐng)向后拉！”大漢真的向后一拉，果然門就輕輕地開了. 大漢奇怪地問：“這門上并沒有寫拉字，你怎么知道是拉門的呢？”小姐答：“因?yàn)槲铱吹侥阃屏税胩?，門還不動(dòng)，那就只有拉了！”數(shù)學(xué)上的“正難則反”就是這位小姐說的意思. 既然正面遇上困難，那就回頭是岸，向反方向走去.典例示范【例1】 求證：拋物線沒有漸近線.【分析】 二次曲線中僅有雙曲線有漸近線，什么是漸近線？人們的解釋是與曲線可以無限接近卻又沒有公共點(diǎn)的直線.拋物線是否有這樣的直線？我們無法直接給予證明.怎么辦？“正難反收”，假定拋物線有漸近線，是否會(huì)導(dǎo)出不合理的結(jié)果？【證明】 不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px. 假定此拋物線有漸近線y=kx+b, x=, 代入直線方程，化簡(jiǎn)得：ky2-2py+2pb=0. 可以認(rèn)為：曲線與其漸近線相切于無窮遠(yuǎn)處，即如方程有實(shí)根y0, 那么，y0,或, 方程化為：2pby2-2py+k=0. 方程應(yīng)有唯一的零根, y=0代入得：k=0.于是拋物線的漸近線應(yīng)為y=b. 這是不可能的，因?yàn)槿我庖粭l與x軸平行的直線y=b, 都和拋物線有唯一公共點(diǎn)(), 因而y=b不是拋物線的漸近線，這就證明了：拋物線不可能有漸近線.【例2】 設(shè)A、B、C是平面上的任意三個(gè)整點(diǎn)（即坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求證：ABC不是正三角形.【分析】 平面上的整數(shù)點(diǎn)無窮無盡的多，可以組成無窮無盡個(gè)各不相同的三角形，要想逐一證明這些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么辦？正難反做！【解答】 假定ABC為正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均為整點(diǎn)，不妨設(shè)x2x1, kAB=, 直線AB的方程為：即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 點(diǎn)C (x3, y3)到AB的距離.但是|AB|=SABC = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).即SABC為有理數(shù).另一方面，SABC = |AB|0, SABC為無理數(shù). 與矛盾，故不存在三個(gè)頂點(diǎn)都是整數(shù)點(diǎn)的正三角形.【例3】 設(shè)f (x)=x2+a1x+a2為實(shí)系數(shù)二次函數(shù),證明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一個(gè)不小于【分析】 三數(shù)中至少有一個(gè)不小于的情況有七種，而三數(shù)中“都小于”的情況只有一種，可見“正面”繁雜，“反面”簡(jiǎn)明，也應(yīng)走“正難反收”的道路.【解答】 假定同時(shí)有：| f (1)|<、| f (2)|<、| f (3)|<, 那么：+: -11<4a1+2a2<-9 2: -9<4a1+2a2<-7 與矛盾，從而結(jié)論成立.【小結(jié)】 “正難反收”中的“難”有兩種含義，一是頭緒繁多，所以難于處理.因?yàn)椤胺薄保浴半y”，處理不當(dāng)即陷入“剪不斷，理還亂”的困境；二是試題的正面設(shè)置，使人感到無法可求，無章可循，從而找不到破解的頭緒，從而無從下手.遇到以上這兩種情況，考生即應(yīng)懂得“迷途知返”，走“正難反收”的道路.一般地說，與排列組合、概率有關(guān)的試題，往往應(yīng)走“正繁則反”的道路，而一切否定式的命題，則應(yīng)首選反證法.因?yàn)樵}與其逆否命題一定等價(jià)，只要推倒了命題結(jié)論的反面，正面自然順理成章地成立.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.k為何值時(shí)，直線y-1=k (x-1)不能垂直平分拋物線y