數(shù)學總第四章 圖形的認識 4.4 多邊形與平行四邊形（試卷部分）

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1、第四章第四章 圖形的認識圖形的認識4.44.4多邊形與平行四邊形多邊形與平行四邊形中考數(shù)學中考數(shù)學 (浙江專用浙江專用)1.(2016嘉興,6,4分)已知一個正多邊形的內(nèi)角是140,則這個正多邊形的邊數(shù)是()A.6B.7C.8D.9考點一考點一 多邊形多邊形A A組組 2014-20182014-2018年年浙江浙江中考題組中考題組五年中考答案答案 D設該正多邊形有n條邊,則(n-2)180=140n,解這個方程,得n=9,故選D.2.(2015麗水,5,3分)一個多邊形的每個內(nèi)角均為120,則這個多邊形是()A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形答案答案 C解法一:多邊形的每個內(nèi)角均為12

2、0,每個外角的度數(shù)是180-120=60.多邊形的外角和是360,這個多邊形的邊數(shù)是36060=6.故選C.解法二:設該多邊形為n邊形,則(n-2)180=120n,解得n=6.3.(2017湖州,11,4分)已知一個多邊形的每一個外角都等于72,則這個多邊形的邊數(shù)是.答案答案5解析解析一個多邊形的每一個外角都等于72,此多邊形為正多邊形,多邊形的外角和為360,所求多邊形的邊數(shù)為36072=5.4.(2016金華,16,4分)由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF,相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動.已知各鋼管的長度為AB=DE=1米,BC=CD=EF=FA=2米.(鉸接點長度忽略不計)(1)轉(zhuǎn)動

3、鋼管得到三角形鋼架,如圖1,則點A,E之間的距離是米;(2)轉(zhuǎn)動鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架,有A=B=C=D=120,現(xiàn)用三根鋼條連接頂點,使該鋼架不能活動,則所用三根鋼條總長度的最小值是米.圖1圖2答案答案(1)(2)3837解析解析(1)如圖,連接AE.由題意可得FB=DF=3,又已知FA=FE=2,=,又F=F,FAEFBD,=,又BD=4,AE=,則點A,E之間的距離是米.(2)如圖,由題意可知,BAC DEC(SAS),BAC=DEC,AC=EC,又AF=FE,FC=FC,ACF ECF(SSS),CAF=CEF,BAC+CAF=DEC+CEF,即BAF=DEF=120.AFE=

4、(6-2)180-1205=120.FAFBFEFD23AEBDFEFD238383在以上條件下,通過判定三角形全等,可得到六邊形中三組相等的對角線:AC=BF=DF=EC,BD=AE,BE=AD(六邊形的對角線CF與其他對角線都不相等).作BNFA交FA的延長線于N,延長AB、DC交于點M.以下求BF、AE、BE、CF的長:FAB=120,BAN=60.在RtBAN中,BNA=90,AB=1,BAN=60,AN=AB=,BN=.在RtBFN中,FN=AN+AF=+2=,BN=,BF=.在等腰AFE中,AF=EF=2,AFE=120,可求得AE=2.易知BAE=90,在RtABE中,由AB=1

5、,AE=2,可求得BE=.MBC=MCB=60,M=60,MBC為等邊三角形.M+MAF=180,AFMC,又MC=BC=AF,四邊形AMCF是平行四邊形.CF=AM=3.121222112321252327331332,要用三根鋼條連接頂點,使該鋼架不能活動,且使三根鋼條之和最短,只需三根鋼條位于AC、BF、CE、DF中的任意三條線段處即可,所用三根鋼條總長度的最小值為3.73137關鍵提示關鍵提示本題難度較大,綜合性強,主要考查三角形的穩(wěn)定性、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等,解決本題的關鍵是作出輔助線,求出各對角線的長度.5.(2015臺州,16,5分)如圖,正

6、方形ABCD的邊長為1,中心為點O,有一邊長大小不定的正六邊形EFGHIJ繞點O可任意旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,這個正六邊形始終在正方形ABCD內(nèi)(包括正方形的邊),當這個六邊形的邊長最大時,AE的最小值為.答案答案212解析解析連接AC,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得,AC=,則AO=,當正六邊形的邊長最大時,正六邊形的大小如圖所示,連接FI、AE、OE,易得FI=1,正六邊形邊長為,OE=,在旋轉(zhuǎn)過程中,當O、A、E三點共線時,AE的長度最小,則AE的最小值為OA-OE=-=.22212122212212思路分析思路分析 當正六邊形EFGHIJ的邊長最大時,對角線最長,分析知對角線最長為正方形邊長,此時要

7、使AE最小,只需六邊形對角線EH與正方形對角線AC重合,由此即可解決問題.方法總結(jié)方法總結(jié) 解決此類題時,需理解題意,畫出圖形,化動為靜.評析評析本題考查的知識點有正方形、正六邊形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),最值問題,本題對學生的平面幾何的想象能力要求較高,難度較大.6.(2017寧波,26,14分)有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.(1)如圖1,在半對角四邊形ABCD中,B=D,C=A,求B與C的度數(shù)之和.(2)如圖2,銳角ABC內(nèi)接于O,若邊AB上存在一點D,使得BD=BO.OBA的平分線交OA于點E,連接DE并延長交AC于點F,AFE=2EAF.求證:四邊形DBCF是半對角

8、四邊形.(3)如圖3,在(2)的條件下,過點D作DGOB于點H,交BC于點G.當DH=BG時,求BGH與ABC的面積之比.1212解析解析(1)在半對角四邊形ABCD中,B=D,C=A.A+B+C+D=360,3B+3C=360,B+C=120,即B與C的度數(shù)之和為120.(2)在BED和BEO中,BED BEO(SAS).BDE=BOE.1212,BDBOEBDEBOBEBE 又BCF=BOE,BCF=BDE.如圖,連接OC.設EAF=,則AFE=2EAF=2.1212EFC=180-AFE=180-2.OA=OC,OAC=OCA=,AOC=180-OAC-OCA=180-2.ABC=AOC

9、=EFC.四邊形DBCF是半對角四邊形.(3)如圖,連接OC,作OMBC于點M.四邊形DBCF是半對角四邊形,ABC+ACB=120,BAC=60.BOC=2BAC=120.OB=OC,1212OBC=OCB=30.BC=2BM=BO=BD,DGOB,HGB=BAC=60,DBG=CBA,33DBGCBA,=.DH=BG,BG=2HG,DG=3HG.2BDBC13評析評析 該新定義題實現(xiàn)了特殊四邊形與圓的完美融合,立意深刻,新穎脫俗.試題通過分層設問,逐步遞進,將四邊形的內(nèi)角和、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、圓的基本性質(zhì)、含30角的直角三角形的三邊關系等核心知識與方程思想、轉(zhuǎn)化思想等融合

10、一體,該題綜合考查了學生的閱讀理解能力、觀察分析能力、直觀感知能力.7.(2015溫州,20,8分)各頂點都在方格紙格點(橫豎格子線的交錯點)上的多邊形稱為格點多邊形.如何計算它的面積?奧地利數(shù)學家皮克(G.Pick,18591942年)證明了格點多邊形的面積公式:S=a+b-1(方格紙上小方格的面積為1),其中a表示多邊形內(nèi)部的格點數(shù),b表示多邊形邊界上的格點數(shù),S表示多邊形的面積.如圖1,a=4,b=6,S=4+6-1=6.(1)請在圖2中畫一個格點正方形,使它的內(nèi)部只含有4個格點,并寫出它的面積;(2)請在圖3中畫一個格點三角形,使它的面積為,且每條邊上除頂點外無其他格點.圖1圖2圖31

11、21272解析解析(1)畫法不唯一,如圖或圖,圖中的格點正方形的面積分別為9,5.(2)畫法不唯一,如圖,圖.1.(2017麗水,7,3分)如圖,在 ABCD中,連接AC,ABC=CAD=45,AB=2,則BC的長是()A.B.2C.2D.422考點考點二二 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)答案答案 C四邊形ABCD是平行四邊形,CD=AB=2,BC=AD,D=ABC=CAD=45,AC=CD=2,ACD=90,即ACD是等腰直角三角形,BC=AD=2.故選C.222222.(2016麗水,7,3分)如圖, ABCD的對角線AC,BD交于點O,已知AD=8,BD=12,AC=6,則OBC的周長

12、為()A.13B.17C.20D.26答案答案B四邊形ABCD是平行四邊形,AC=6,BD=12,OA=OC=3,OB=OD=6.又BC=AD=8,OBC的周長=OB+OC+BC=3+6+8=17.故選B.3.(2016衢州,5,3分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,M是BC延長線上的一點.若A=135,則MCD的度數(shù)是()A.45B.55C.65D.75答案答案A四邊形ABCD是平行四邊形,BCD=A=135,MCD=180-BCD=180-135=45.故選A.4.(2015衢州,4,3分)如圖,在 ABCD中,已知AD=12cm,AB=8cm,AE平分BAD交BC邊于點E,則CE的長等

13、于()A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm答案C四邊形ABCD是平行四邊形,BC=AD=12cm,ADBC,DAE=BEA,AE平分BAD,BAE=DAE,BEA=BAE,BE=AB=8cm,CE=BC-BE=4cm,故選C.解題關鍵解題關鍵利用角平分線和平行四邊形的性質(zhì)得出BEA=BAE是解題的關鍵.1.(2016紹興,7,4分)小敏不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖的四塊,為了能在商店配到一塊與原來相同的平行四邊形玻璃,他帶了兩塊碎玻璃,其編號應該是()A.B.C.D.考點考點三三 平行四邊形的判定平行四邊形的判定答案答案D帶不能確定平行四邊形任一邊長;帶或只能確定平行四邊形一對對邊邊

14、長;帶可以確定平行四邊形玻璃的原貌,故選D.2.(2017溫州,21,10分)如圖,在ABC中,AC=BC,ACB=90,O(圓心O在ABC內(nèi)部)經(jīng)過B、C兩點,交AB于點E,過點E作O的切線交AC于點F,延長CO交AB于點G,作EDAC交CG于點D.(1)求證:四邊形CDEF是平行四邊形;(2)若BC=3,tanDEF=2,求BG的值.解析解析(1)證明:連接OE.AC=BC,ACB=90,B=45,COE=90.EF與O相切,FEO=90,COE+FEO=180,EFCO.DECF,四邊形CDEF是平行四邊形.(2)過點G作GHCB于點H.ACB=90,ACGH,FCD=CGH.在 CDE

15、F中,DEF=FCD,DEF=CGH,tanCGH=tanDEF=2,=2.B=45,GH=BH,CH=2BH.BC=3,BH=GH=1,BG=.CHGH2思路分析思路分析(1)連接EO,通過切線證明EFCO,結(jié)合DECF證得四邊形CDEF是平行四邊形.(2)過G作GHBC,由(1)可證明CGH=DEF,結(jié)合tanDEF=2,B=45,BC=3求出BH,GH的長,從而求BG.3.(2017嘉興、舟山,23,10分)如圖,AM是ABC的中線,D是線段AM上一點(不與點A重合).DEAB交AC于點F,CEAM,連接AE.(1)如圖1,當點D與M重合時,求證:四邊形ABDE是平行四邊形;(2)如圖2

16、,當點D不與M重合時,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由;(3)如圖3,延長BD交AC于點H,若BHAC,且BH=AM.當FH=,DM=4時,求DH的長.3解析解析(1)證明:DEAB,EDC=ABD.CEAM,ECD=AMB.又AM是ABC的中線,且D與M重合,BD=DC,ABD EDC,AB=ED,又ABED,四邊形ABDE為平行四邊形.(2)結(jié)論成立,理由如下:過點M作MGDE交EC于點G.CEAM,四邊形DMGE為平行四邊形,ED=GM且EDGM,由(1)可得AB=GM且ABGM,AB=ED且ABED.四邊形ABDE為平行四邊形.(3)取線段HC的中點I,連接MI,MI是BHC的中位線

17、,MIBH,MI=BH.又BHAC,且BH=AM,MI=AM,MIAC,CAM=30.設DH=x,則AH=x,AD=2x,AM=4+2x,BH=4+2x,由(2)已證四邊形ABDE是平行四邊形,FDAB,=,即=,解得x=1+或x=1-(不合題意,舍去).DH=1+.12123HFHAHDHB33x42xx555關鍵提示關鍵提示本題是平行四邊形的綜合題,考查平行四邊形的判定和性質(zhì),用到了三角形全等的知識.對于第(3)問,關鍵是構(gòu)造三角形中位線,利用邊的關系得出含特殊角的直角三角形.4.(2016溫州,20,8分)如圖,在方格紙中,點A,B,P都在格點上.請按要求畫出以AB為邊的格點四邊形,使P

18、在四邊形內(nèi)部(不包括邊界),且P到四邊形的兩個頂點的距離相等.(1)在圖甲中畫出一個 ABCD;(2)在圖乙中畫出一個四邊形ABCD,使D=90,且A90.解析解析(1)畫法不唯一,如圖,等.(2)畫法不唯一,如圖,等.5.(2016嘉興,22,12分)如圖1,已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,根據(jù)以下思路可以證明四邊形EFGH是平行四邊形.EH FG四邊形EFGH是平行四邊形(1)如圖2,將圖1中的點C移動至與點E重合的位置,F、G、H仍是BC、CD、DA的中點,求證:四邊形CFGH是平行四邊形;(2)如圖3,在邊長為1的小正方形組成的55網(wǎng)格中,點A

19、、C、B都在格點上,在格點上找一點D,使以點C與BC、CD、DA的中點F、G、H為頂點的四邊形CFGH是正方形,畫出點D,并求正方形CFGH的邊長.解析解析(1)連接BD,C,H是AB,AD的中點,CH為ABD的中位線,CHBD且CH=BD,同理,FGBD且FG=BD,CHFG且CH=FG.四邊形CFGH為平行四邊形.(2)點D的位置如圖所示.連接BD,則FG是CBD的中位線,BD=,12125FG=BD=,正方形CFGH的邊長為.125252方法指導方法指導(1)連接BD,利用三角形中位線的性質(zhì)進行證明.(2)聯(lián)想(1)中圖形,D點需滿足BDAB,進而利用勾股定理和三角形中位線性質(zhì)求解.1.

20、(2017河北,16,2分)已知正方形MNOK和正六邊形ABCDEF邊長均為1,把正方形放在正六邊形中,使OK邊與AB邊重合,如圖所示,按下列步驟操作:將正方形在正六邊形中繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使KM邊與BC邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn);再繞點C順時針旋轉(zhuǎn),使MN邊與CD邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);在這樣連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中,點B,M間的距離可能是()A.1.4B.1.1C.0.8D.0.5B B組組 2014-20182014-2018年全國中考題組年全國中考題組考點一考點一 多邊形多邊形答案答案C在第一次旋轉(zhuǎn)過程中,BM=1;在第二次旋轉(zhuǎn)過程中,點M位置不變,BM=1;在第三次旋轉(zhuǎn)過程中,BM的長由1逐

21、漸變小為-1;在第四次旋轉(zhuǎn)過程中,點M在以點E為圓心,為半徑的圓弧上,BM的長由-1逐漸變小為2-,然后逐漸變大為-1;在第五次旋轉(zhuǎn)過程中,BM的長由-1逐漸變大為1;在第六次旋轉(zhuǎn)過程中,點M位置不變,BM=1.顯然連續(xù)6次旋轉(zhuǎn)的過程中,點B,M間的距離可能是0.8,故選C.323233解題關鍵解題關鍵解決本題的關鍵是求出每個旋轉(zhuǎn)過程中BM長的變化范圍.2.(2015江蘇鎮(zhèn)江,23,6分)圖1是我們常見的地磚上的圖案,其中包含了一種特殊的平面圖形正八邊形.(1)如圖2,AE是O的直徑,用直尺和圓規(guī)作O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)在(1)的情形下,連接OD.已

22、知OA=5,若扇形OAD(AODAB,E、F是AB邊上的點,且EF=AB;G、H是BC邊上的點,且GH=BC.若S1,S2分別表示EOF和GOH的面積,則S1與S2之間的等量關系是.1213答案答案2S1=3S212213223SSSS或均正確解析解析如圖,連接AC,BD,交點為O,四邊形ABCD為平行四邊形,AO=OC,SABO=SOBC,EF=AB,S1=SABO,GH=BC,S2=SOBC,所以2S1=3S2.121213134.(2016北京,19,5分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,AE平分BAD,交DC的延長線于點E.求證:DA=DE.證明證明四邊形ABCD為平行四邊形,ABC

23、D.BAE=E.AE平分BAD,BAE=DAE.E=DAE,DA=DE.1.(2018安徽,9,4分) ABCD中,E,F是對角線BD上不同的兩點.下列條件中,不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是()A.BE=DFB.AE=CFC.AFCED.BAE=DCF考點考點三三 平行四邊形的判定平行四邊形的判定答案答案B當BE=DF時,如圖1,易證AFD CEB,ABE CDF,從而AF=CE,AE=CF,所以四邊形AECF一定是平行四邊形,故A不符合題意;當AFCE時,如圖1,則AFE=CEF,從而AFD=CEB,又因為ADF=CBE,AD=BC,所以AFD CEB,則AF=CE,所以四邊形A

24、ECF一定是平行四邊形,故C不符合題意;當BAE=DCF時,如圖1,易證ABE CDF,可得AEB=CFD,AE=CF,所以AEF=CFE,所以AECF,則四邊形AECF一定是平行四邊形,故D不符合題意;如圖2,其中AE=CF,但顯然四邊形AECF不是平行四邊形.故B符合題意.圖1圖2思路分析思路分析 依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進行判斷.2.(2015江蘇連云港,5,3分)已知四邊形ABCD,下列說法正確的是()A.當AD=BC,ABDC時,四邊形ABCD是平行四邊形B.當AD=BC,AB=DC時,四邊形ABCD是平行四邊形C.當AC=BD,AC平分BD時,四邊形ABCD是矩形D.當AC=

25、BD,ACBD時,四邊形ABCD是正方形答案答案 B判斷四個說法的對錯時,可畫出圖形,根據(jù)圖形作出判斷.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,選項B正確,故選B.3.(2015河北,22,10分)嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規(guī)作出了如圖的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=.求證:四邊形ABCD是四邊形.(1)在方框中填空,以補全已知和求證;(2)按嘉淇的想法寫出證明;證明:(3)用文字敘述所證命題的逆命題為.解析解析(1)CD.(1分)平行.(2分)(2)證明:連接BD.(3分)在A

26、BD和CDB中,AB=CD,AD=CB,BD=DB,ABD CDB.(5分)1=2,3=4,ABCD,ADCB.(7分)四邊形ABCD是平行四邊形.(8分)(3)平行四邊形的對邊相等.(10分)1.(2014廣東,5,3分)一個多邊形的內(nèi)角和是900,這個多邊形的邊數(shù)是()A.10B.9C.8D.7C組 教師專用題組考點一考點一 多邊形多邊形答案答案 D設這個多邊形的邊數(shù)為x,則180(x-2)=900,解得x=7,故選D.2.(2014安徽,23,14分)如圖1,正六邊形ABCDEF的邊長為a,P是BC邊上一動點,過P作PMAB交AF于M,作PNCD交DE于N.(1)MPN=;求證:PM+P

27、N=3a;(2)如圖2,點O是AD的中點,連接OM、ON.求證:OM=ON;(3)如圖3,點O是AD的中點,OG平分MON,判斷四邊形OMGN是不是特殊四邊形,并說明理由.圖1圖2圖3解析解析(1)60.(2分)證明:如圖1,連接BE交MP于H點.在正六邊形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF.又PMAB,所以四邊形AMHB、四邊形HENP為平行四邊形,BPH為等邊三角形.所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a.(5分)圖1(2)證明:如圖2,連接BE,由(1)知AM=EN.又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAO NEO.所以OM=O

28、N.(9分)圖2(3)四邊形OMGN是菱形.理由如下:如圖3,連接OE、OF,由(2)知MOA=NOE.因為AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120.(11分)由于OG平分MON,所以MOG=60,又FOA=60,所以MOA=GOF.又AO=FO,MAO=GFO=60,所以MAO GFO.所以MO=GO.又MOG=60,所以MGO為等邊三角形.同理可證NGO為等邊三角形,所以四邊形OMGN為菱形.(14分)圖3關鍵提示關鍵提示 本題是一道綜合題,解題的關鍵是恰當?shù)刈鞒鲚o助線,根據(jù)三角形全等找出相等的線段.1.(2014福建福州,14,4分)如圖,在 ABCD中,DE平分ADC

29、,AD=6,BE=2,則 ABCD的周長是.考點考點二二 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)答案答案20解析解析四邊形ABCD是平行四邊形,AD=6,BC=AD=6,又BE=2,EC=4.又DE平分ADC,ADE=EDC.ADBC,ADE=DEC,DEC=EDC.CD=EC=4. ABCD的周長是2(6+4)=20.評析評析 本題考查平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定,屬中等難度題.2.(2014嘉興,20,8分)已知:如圖,在 ABCD中,O為對角線BD的中點,過點O的直線EF分別交AD,BC于E,F兩點,連接BE,DF.(1)求證:DOE BOF;(2)當DOE等于多少度時,四邊形BFDE為

30、菱形?請說明理由.解析解析(1)證明:在 ABCD中,O為對角線BD的中點,BO=DO,EDO=FBO,在EOD和FOB中,DOE BOF(ASA).(2)當DOE=90時,四邊形BFDE為菱形.理由:DOE BOF,BF=DE,又BFDE,四邊形BFDE是平行四邊形,BO=DO,當DOE=90時,EB=DE,當DOE=90時,四邊形BFDE為菱形.,EDOFBODOBOEODFOB 評析評析 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識.3.(2015上海,23,12分)已知:如圖,平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,點E在邊BC的延長線上,且OE=OB,連接

31、DE.(1)求證:DEBE;(2)如果OECD,求證:BDCE=CDDE.證明證明(1)OE=OB,OBE=OEB.平行四邊形ABCD的對角線相交于點O,OB=OD.OE=OD.ODE=OED.在BDE中,OBE+OEB+OED+ODE=180,BED=90,即DEBE.(2)OECD,CDE+DEO=90.又CEO+DEO=90,CDE=CEO.OBE=OEB,OBE=CDE.BED=DEC,DBECDE.=.BDCE=CDDE.BDCDDECE4.(2014山東青島,21,8分)已知:如圖, ABCD中,O是CD的中點,連接AO并延長,交BC的延長線于點E.(1)求證:AOD EOC;(2

32、)連接AC,DE,當B=AEB=時,四邊形ACED是正方形?請說明理由.解析解析(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC.D=OCE,DAO=E.又OC=OD,AOD EOC.(4分)(2)當B=AEB=45時,四邊形ACED是正方形.AOD EOC,OA=OE.又OC=OD,四邊形ACED是平行四邊形.B=AEB=45,AB=AE,BAE=90.四邊形ABCD是平行四邊形,ABCD,AB=CD.COE=BAE=90. ACED是菱形.AB=AE,AB=CD,AE=CD.菱形ACED是正方形.(8分)1.(2015黑龍江哈爾濱,24,8分)如圖1, ABCD中,點O是對角線AC的中點,

33、EF過點O,與AD,BC分別相交于點E,F,GH過點O,與AB,CD分別相交于點G,H,連接EG,FG,FH,EH.(1)求證:四邊形EGFH是平行四邊形;(2)如圖2,若EFAB,GHBC,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形(四邊形AGHD除外).考點考點三三 平行四邊形的判定平行四邊形的判定解析解析(1)證明:四邊形ABCD為平行四邊形,ADBC,EAO=FCO.(1分)OA=OC,AOE=COF,OAE OCF,OE=OF,(2分)同理,OG=OH.(3分)四邊形EGFH是平行四邊形.(4分)(2) GBCH, ABFE, EFCD, E

34、GFH.(8分)2.(2014溫州,24,14分)如圖,在平面直角坐標系中,點A,B的坐標分別為(-3,0),(0,6).動點P從點O出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個單位的速度運動,同時動點C從點B出發(fā),沿射線BO方向以每秒2個單位的速度運動.以CP,CO為鄰邊構(gòu)造 PCOD,在線段OP延長線上取點E,使PE=AO.設點P運動的時間為t秒.(1)當點C運動到線段OB的中點時,求t的值及點E的坐標;(2)當點C在線段OB上時,求證:四邊形ADEC為平行四邊形;(3)在線段PE上取點F,使PF=1,過點F作MNPE,截取FM=2,FN=1,且點M、N分別在第一、四象限.在運動過程中,設 PCOD的面積

35、為S.當點M,N中有一點落在四邊形ADEC的邊上時,求出所有滿足條件的t的值;若點M,N中恰好只有一個點落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時,直接寫出S的取值范圍.解析解析(1)OB=6,C是OB的中點,BC=OB=3,2t=3,即t=,OE=+3=,E.123232929,02(2)證明:如圖,連接CD交OP于點G,在平行四邊形PCOD中,CG=DG,OG=PG,AO=PE,AG=EG,四邊形ADEC為平行四邊形.(3)(i)當點C在BO上時,第一種情況:如圖,當點M在CE邊上時,MFOC,EMFECO,=,即=,t=1.MFCOEFEO262t23t第二種情況:如圖,當點N在DE邊上時

36、,NFPD,EFNEPD,=,即=,FNPDEFEP162t23t=.94(ii)當點C在BO的延長線上時,第一種情況:如圖,當點M在DE邊上時,MFPD,EMFEDP.=,即=,t=.MFDPEFEP226t 2392第二種情況:如圖,當點N在CE邊上時,NFOC,EFNEOC,=,即=,FNOCEFEO126t 23tt=5.S或S20.提示:當1t時,S=t(6-2t)=-2+,t=在1t范圍內(nèi),S.當t5時,S=t(2t-6)=2-,S20.2789227294232t9232942789292232t92272關鍵提示關鍵提示本題主要考查了平行四邊形的知識,解題的關鍵是分幾種不同的情

37、況討論.1.(2018杭州濱口二模)下列多邊形中,內(nèi)角和是外角和的兩倍的是()A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形三年模擬A A組組 2016 201620182018年模擬年模擬基礎題組基礎題組考點一考點一 多邊形多邊形答案答案C多邊形的外角和為360,該多邊形的內(nèi)角和為720,180(n-2)=720,解得n=6.2.(2018麗水一模)如圖,在四邊形ABCD中,BAD=120,E、F分別是AD、BC的中點,且EFAD,AB=AD=4,點P是EF上任意一點,連接PA、PB,則PA+PB的最小值為()A.4B.4C.8D.82323答案答案B如圖,連接BD,與EF交于點P,連接AP,過A

38、作AHBD,E是AD的中點,且EFAD,AP=DP,AP+BP=DP+BP=BD,此時PA+PB最小,AB=AD=4,BAD=120,BAH=60,BH=ABsin60=4=2,BD=22=4,AP+BP的最小值為4.323333評析評析求PA+PB的最小值,通過對稱,轉(zhuǎn)化線段,從而找到最小值求解.3.(2017寧波慈溪模擬,5)若一個多邊形的每個外角都等于45,則它的內(nèi)角和等于()A.720B.1040C.1080D.540答案答案C多邊形的每個外角都等于45,多邊形的邊數(shù)為36045=8,這個多邊形的內(nèi)角和=180(8-2)=1080.故選C.4.(2017杭州上城一模,7)一個多邊形剪去

39、一個角后(剪痕不過任何一個頂點),內(nèi)角和為1980,則原多邊形的邊數(shù)為()A.11B.12C.13D.11或12答案答案B由題意,新多邊形比原多邊形的邊數(shù)多1.設新多邊形為n邊形,則(n-2)180=1980,解得n=13,n-1=12,故選B.5.(2018杭州下城二模)如圖,已知正五邊形ABCDE,AFCD交DB的延長線于點F,則F=度.答案答案36解析解析五邊形ABCDE為正五邊形,C=108,CD=CB,CDB=CBD=36.AFCD,F=CDB=36.(52) 1805評析評析分析題意,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得CD=CB,即CDB為等腰三角形,你有思路了嗎?由正五邊形的內(nèi)角和公式求得C

40、的度數(shù),然后根據(jù)三角形內(nèi)角和公式得到CDB的度數(shù),根據(jù)平行線的性質(zhì)可得F=CDB.6.(2016杭州上城一模,13)如圖,過正五邊形ABCDE的頂點A作直線lCD,則1的度數(shù)為.答案答案36解析解析正五邊形的每個內(nèi)角是(5-2)1805=108.連接BE,則lCDBE,BED+D=180,BED=72,AEB=36,1=AEB=36.7.(2018臺州一模)奇奇和佳佳在學習完多邊形的相關知識后,對多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)展開了以下討論:(1)奇奇說存在一個多邊形的對角線條數(shù)為15,他的說法對嗎,為什么?(2)設多邊形的邊數(shù)為x(x4,且x為整數(shù)),若多邊形的邊數(shù)增加5,則其對角線條數(shù)增加y,

41、求y和x之間滿足的函數(shù)關系式.解析解析(1)奇奇的說法不對.理由:設多邊形的邊數(shù)為n(n3,且n為整數(shù)),其對角線的條數(shù)為d,則d=,當=15時,整理得n2-3n-30=0,解得n1=,n2=.不存在整數(shù)n(n3)使得方程n2-3n-30=0成立,即不存在對角線條數(shù)為15的多邊形.(2)當多邊形的邊數(shù)為x時,其對角線條數(shù)為,若多邊形邊數(shù)增加5,則其對角線條數(shù)為,則y=-.化簡整理得y=5x+5.(3)2n n(3)2n n 3129231292(3)2x x(5)(53)2xx(5)(53)2xx(3)2x x 故y和x之間滿足的函數(shù)關系式為y=5x+5(x4,且x為整數(shù)).評析評析 可根據(jù)多

42、邊形過同一個頂點的對角線的條數(shù)與分成的三角形的個數(shù)的關系列方程求解.多邊形有n條邊,則經(jīng)過多邊形的同一個頂點的所有對角線有(n-3)條,經(jīng)過多邊形同一個頂點的所有對角線把多邊形分成(n-2)個三角形.8.(2018杭州西湖二模)有一組鄰邊相等,且另外兩邊也相等的四邊形叫做箏形,如圖1,四邊形ABCD中,AD=DC,AB=BC,那么四邊形ABCD叫做箏形.(1)如圖1,如果箏形ABCD的周長是18,AD=CD=3,那么AB=;(2)在探索箏形的性質(zhì)時,發(fā)現(xiàn)箏形有一組對角相等,如圖1,箏形ABCD中,AD=DC,AB=BC,那么A=C,請證明這個結(jié)論;(3)如圖2,箏形ABCD中,若AD=DC=,

43、ADC=90,DAB=105,求箏形ABCD的面積.2解析解析(1)四邊形ABCD為箏形,AB=BC,箏形ABCD的周長是18,AD=CD=3,AB=6.(2分)(2)證明:如圖,連接AC,AD=DC,DAC=DCA,AB=BC,BAC=BCA,DAB=DAC+BAC,DCB=DCA+BCA,DAB=DCB,(4分)即DAC=DCB.(5分)182 32 (3)如圖,設AC交BD于點O,ADC=90,AD=CD=,AC=2,四邊形ABCD為箏形,DAB=DCB=105.ADC是等腰直角三角形,DAC=DCA=45,222ADCDBAC=BCA=60,ABC是等邊三角形,AD=CD,AB=BC,

44、BD在線段AC的垂直平分線上,BDAC,AO=CO=1,tanBAC=,BO=1tan60=,S箏形ABCD=SADC+SABC=ADCD+ACOB=+2=1+.故箏形ABCD的面積為1+.BOAO31212122212333評析評析(1)根據(jù)四邊形周長為四邊之和,可得AB的長.(2)連接AC,根據(jù)等邊對等角證明.(3)箏形ABCD的面積等于兩個三角形面積的和,并說明OB是AC邊上的高.1.(2018紹興一模)在平面直角坐標系中,已知點A的坐標為(1,2),將點A向右平移3個單位長度得到點B,點A關于原點的對稱點為C,若四邊形ABCD為平行四邊形,則點D的坐標為.考點考點二二 平行四邊形平行四

45、邊形答案答案(-4,-2)解析解析點A(1,2)向右平移3個單位長度得點B(4,2),點A關于原點的對稱點為C(-1,-2),根據(jù)平行四邊形的中心對稱性知,點D的坐標為(-4,-2)2.(2018濱江二模,16) ABCD中,CD=2,BC=4,BD=2,對角線AC,BD交于點O,將CDO繞點O順時針旋轉(zhuǎn),使點D落在AD上的D處,點C落在C處,CO交AD于點P,則OPD的面積是.3答案答案33解析解析過點P作PH垂直O(jiān)D于點H.設PH=x.在CDB中,CD=2,BC=4,BD=2,CD2+DB2=BC2,CDB=90,DBC=30,在 ABCD中,ADBC,BDA=DBC=30.又DO=OD,

46、OAD=ODA=30,PD=2x,易得PHOCDO,=,3PHC DOHOD即=,解得x=,SOPD=ODPH=.2x333x231212323333.(2018杭州五區(qū)聯(lián)考二模)在平行四邊形ABCD中,E為AB上的一點,連接CE,P為CE的中點,過P作直線MN分別交邊AD,BC于點M,N.若EA EB=5 4,則PM PN=.答案答案7 2解析解析如圖所示,過P作PHAB,過M作MFAB交BC于F,則MF=AB.P是EC的中點,H是BC的中點,PHBE.設AE=5a,則BE=4a,PH=2a.又PHABMF,=,即=,MP PN=7 2.12PHMFPNMNPHABPNMN254aaa291

47、.(2018寧波一模)已知四邊形ABCD中,ABCD,則下列命題正確的是()A.若BC=AD,則四邊形ABCD是平行四邊形B.若ABC=90,且AC=BD,則四邊形ABCD是矩形C.若ACBD,則四邊形ABCD是菱形D.若AB=CD且ACBD,則四邊形ABCD是正方形考點考點三三 平行四邊形的判定平行四邊形的判定答案答案BA.若BC=AD,則四邊形ABCD可能為等腰梯形;B.正確;C.若ACBD,則四邊形ABCD可能為等腰梯形;D.若AB=CD且ACBD,則四邊形ABCD為菱形,不一定為正方形.2.(2017義烏模擬,12)如圖, ABCD的對角線BD上有兩點E、F,請你添加一個條件,使四邊形

48、AECF是平行四邊形,你添加的條件是.答案答案BE=DF(或AECF或AFEC)解析解析 可添加條件BE=DF或AECF或AFEC,以下只證明添加BE=DF的情況.證明:連接AC,交BD于點O,如圖所示.四邊形ABCD是平行四邊形,OA=OC,OB=OD,BE=DF,OB-BE=OD-DF,即OE=OF,OA=OC,四邊形AECF是平行四邊形.3.(2017杭州二模,18)已知:線段a,b,(如圖),用直尺和圓規(guī)作一個平行四邊形,使它的兩條對角線長分別等于線段a、b的長,且兩條對角線所成的一個角等于.解析解析按以下步驟作圖:(1)畫出線段a,b的中垂線;(2)畫出一個角等于已知角;(3)在所畫

49、角的兩邊上取線段,使長分別等于0.5a,0.5b;(4)利用對角線互相平分的性質(zhì)畫出平行四邊形.1.(2016杭州蕭山二模,5)已知一個正n邊形的一個內(nèi)角是它外角的5倍,則n等于()A.8B.10C.12D.14B B組組 2016201820162018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時間時間:30:30分鐘分值分鐘分值:40:40分分) )一、選擇題一、選擇題（共（共3 3分）分）答案答案C設這個正n邊形的一個外角為x,則其內(nèi)角為(180-x),此正n邊形的一個內(nèi)角是它的外角的5倍,180-x=5x,解得x=30,n=12.故選C.360302.(2016杭州錦繡中學一模,12)如圖,在

50、 ABCD中,AD=8,AB=6,DE平分ADC交BC于E,則BE=.二、填空題（共二、填空題（共3 3分）分）答案答案2解析解析DE平分ADC,ADE=CDE,在 ABCD中,ADBC,ADE=CED,CDE=CED,CE=CD,在 ABCD中,AB=6,AD=8,CD=AB=6,BC=AD=8,BE=BC-CE=8-6=2.3.(2017金華永康模擬,21)如圖所示,在 ABCD中,對角線AC與BD交于點O,過點O作一條直線分別交AB,CD于點E,F.(1)求證:OE=OF;(2)若AB=6,BC=5,OE=2,求四邊形BCFE的周長.三、解答題（共三、解答題（共3434分）分）解析解析(

51、1)證明:在 ABCD中,AC與BD交于點O,OA=OC,ABCD,OAE=OCF,在OAE和OCF中,OAE OCF(ASA),OE=OF.(2)OAE OCF,CF=AE,BE+CF=AB=6,又EF=2OE=4,四邊形BCFE的周長=BE+BC+CF+EF=6+4+5=15.,OAEOCFOAOCAOECOF 4.(2016杭州江干一模,18)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,將ABC沿AC折疊,使點B落在B處,AB和CD相交于點O.求證:OD=OB.證明證明ABC由ABC沿AC折疊得到,BAC=BAC,AB=AB.在平行四邊形ABCD中,ABCD,BAC=DCA,DCA=BAC,OA=

52、OC.又CD=AB,OD=CD-OC=AB-OA=AB-OA=OB.解題關鍵解題關鍵 證明OA=OC是解題的關鍵.5.(2017寧波海曙模擬,20)已知EFMN,直線AC交EF、MN于點A、C,作ACN的平分線交EF于點B,作CAE的平分線交MN于點D.(1)求證:四邊形ABCD為平行四邊形;(2)若四邊形ABCD為菱形,求ABC的度數(shù).解析解析(1)證明:EFMN,ACN=EAC,CB平分ACN,AD平分EAC,ACB=ACN,DAC=EAC,ACB=DAC,ADBC,又DCAB,四邊形ABCD是平行四邊形.(2)四邊形ABCD是菱形,DAC=CAB,EAD=DAC,DAC=EAD=CAB=180=60,ADBC,ABC=DAE=60.121213