高考數(shù)學選擇試題分類匯編-圓錐曲線.doc

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2010 年高考數(shù)學選擇試題分類匯編 圓錐曲線 2010 湖南文數(shù) 5 設拋物線 上一點 P 到 y 軸的距離是 4 則點 P 到該拋物線焦28yx 點的距離是 A 4 B 6 C 8 D 12 2010 浙江理數(shù) 8 設 分別為雙曲線 的左 右焦點 若1F221 0 xyab 在雙曲線右支上存在點 滿足 且 到直線 的距離等于雙曲線的實軸P21 2F1P 長 則該雙曲線的漸近線方程為 A B C D 340 xy 350 xy 430 xy 540 xy 解析 利用題設條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關系 得出 a 與 b 之間的等量關系 可知答案選 C 本題主要考察三角與雙曲線的相關知識點 突出了對計算能力和綜合運用 知識能力的考察 屬中檔題 2010 全國卷 2 理數(shù) 12 已知橢圓 2 1 0 xyCab 的離心率為 32 過右焦 點 F且斜率為 0 k 的直線與 相交于 AB 兩點 若 3FB 則 k A 1 B 2 C D 2 答案 B 命題意圖 本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義 解析 設直線 l 為橢圓的有準線 e 為離心率 過 A B 分別作 AA1 BB 1 垂直于 l A 1 B 為垂足 過 B 作 BE 垂直于 AA1 與 E 由第二定義得 由 得 即 k 故選 B 2010 陜西文數(shù) 9 已知拋物線 y2 2 px p 0 的準線與圓 x 3 2 y2 16 相切 則 p 的值為 C A B 1 C 2 D 412 解析 本題考查拋物線的相關幾何性質(zhì)及直線與圓的位置關系 法一 拋物線 y2 2 px p 0 的準線方程為 因為拋物線 y2 2 px p 0 的準線px 與圓 x 3 2 y2 16 相切 所以 2 43 法二 作圖可知 拋物線 y2 2 px p 0 的準線與圓 x 3 2 y2 16 相切與點 1 0 所以 1 p 2010 遼寧文數(shù) 9 設雙曲線的一個焦點為 虛軸的一個端點為 如果直線 與FBF 該雙曲線的一條漸近線垂直 那么此雙曲線的離心率為 A B C D 23312 512 解析 選 D 不妨設雙曲線的焦點在 軸上 設其方程為 x 0 xyab 則一個焦點為 0 Fcb 一條漸近線斜率為 直線 的斜率為 aFBbc 1ac 2bac 解得 20ca 512ce 2010 遼寧文數(shù) 7 設拋物線 的焦點為 準線為 為拋物線上一點 28yxFlP 為垂足 如果直線 斜率為 那么PAl A3 A B 8 C D 1643 解析 選 B 利用拋物線定義 易證 為正三角形 則PF 4 8sin30PF 2010 遼寧理數(shù) 9 設雙曲線的 個焦點為 F 虛軸的 個端點為 B 如果直線 FB 與 該雙曲線的一條漸 近線垂直 那么此雙曲線的離心率為 A B C D 2312 512 答案 D 命題立意 本題考查了雙曲線的焦點 虛軸 漸近線 離心率 考查了兩條直線垂 直的條件 考查了方程思想 解析 設雙曲線方程為 則 F c 0 B 0 b 21 0 xyab 直線 FB bx cy bc 0 與漸近線 y 垂直 所以 即 b2 ac1ca A 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以 或 舍去 152e e 2010 遼寧理數(shù) 7 設拋物線 y2 8x 的焦點為 F 準線為 l P 為拋物線上一點 PA l A 為 垂足 如果直線 AF 的斜率為 那么 PF 3 A B 8 C D 16438 答案 B 命題立意 本題考查了拋物線的定義 拋物線的焦點與準線 直線與拋物線的位置關系 考查了等價轉(zhuǎn)化的思想 解析 拋物線的焦點 F 2 0 直線 AF 的方程為 所以點3 2 yx 從而 PF 6 2 8 2 43 A 6 P 2010 全國卷 2 文數(shù) 12 已知橢圓 C a b 0 的離心率為 過右焦 21xyab 32 點 F 且斜率為 k k 0 的直線于 C 相交于 A B 兩點 若 則 k 3FB A 1 B C D 223 解析 B 設12 xyF 123y 32e 直線 AB 方程為 代入消去2 3atct bt 240 xyt xsyt x 22 4 syst 212123 44st 解得 2223 44sttyys 21s 2k 2010 浙江文數(shù) 10 設 O 為坐標原點 是雙曲線 a 0 b 0 的1F22xy1 焦點 若在雙曲線上存在點 P 滿足 P 60 OP 則該雙曲線的漸近線方127 程為 A x y 0 B x y 033 C x 0 D y 02y2 解析 選 D 本題將解析幾何與三角知識相結(jié)合 主要考察了雙曲線的定義 標準方程 幾何圖形 幾何性質(zhì) 漸近線方程 以及斜三角形的解法 屬中檔題 2010 重慶理數(shù) 10 到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點 在過其中一條直線且 平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 A 直線 B 橢圓 C 拋物線 D 雙曲線 解析 排除法 軌跡是軸對稱圖形 排除 A C 軌跡與已知直線不能有交點 排除 B 2010 山東文數(shù) 9 已知拋物線 過其焦點且斜率為 1 的直線交拋物2 0 ypx 線與 兩點 若線段 的中點的縱坐標為 2 則該拋物線的準線方程為ABB A B 1x 1 C D 2 答案 B 2010 四川理數(shù) 9 橢圓 的右焦點 其右準線與 軸的交點 21 xyab Fx 為 A 在橢圓上存在點 P 滿足線段 AP 的垂直平分線過點 則橢圓離心率的取值范圍是 w w w k s 5 u c o m A B C D 20 10 2 21 1 2 解析 由題意 橢圓上存在點 P 使得線段 AP 的垂直平分線過點 F 即 F 點到 P 點與 A 點的距離相等w w w k s5 u c o m 而 FA w w w k s 5 u c o m 22abc PF a c a c 于是 a c a c 2b 即 ac c 2 b 2 ac c 2 22a w w w k s 5 u c o m 12ca 或 又 e 0 1 故 e 2 答案 D 2010 天津理數(shù) 5 已知雙曲線 的一條漸近線方程是 y 21 0 xyab 3x 它的一個焦點在拋物線 的準線上 則雙曲線的方程為24y A B 213608x 2197xy C D 2y 2 答案 B 解析 本題主要考查雙曲線與拋物線的幾何性質(zhì)與標準方程 屬于容易題 依題意知 所以雙曲線的方程為22 369 7bacab 2197xy 溫馨提示 選擇 填空中的圓錐曲線問題通?？疾閳A錐曲線的定義與基本性質(zhì) 這部 分內(nèi)容也是高考的熱點內(nèi)容之一 在每年的天津卷中三種軟件曲線都會在題目中出現(xiàn) 2010 廣東文數(shù) 7 若一個橢圓長軸的長度 短軸的長度和焦距成等差數(shù)列 則該橢圓的 離心率是 A 54 B 53 C 52 D 51 2010 福建文數(shù) 11 若點 O 和點 F 分別為橢圓 的中心和左焦點 點 P 為橢 2143xy 圓上的任意一點 則 的最大值為P A A 2 B 3 C 6 D 8 答案 C 解析 由題意 F 1 0 設點 P 則有 解得 0 xy 20143xy 22003 1 4xy 因為 所以0 1 Pxy 0 Oxy 200 OFxy 此二次函數(shù)對應的拋物線的對稱軸為0OF 234 03 因為 所以當 時 取得最大值 選02x 0 x 0 x PF 2364 C 命題意圖 本題考查橢圓的方程 幾何性質(zhì) 平面向量的數(shù)量積的坐標運算 二次函數(shù) 的單調(diào)性與最值等 考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力 運算 能力 2010 全國卷 1 文數(shù) 8 已知 為雙曲線 C 的左 右焦點 點 P 在 C1F221xy 上 則FP2061 A A 2 B 4 C 6 D 8 8 B 命題意圖 本小題主要考查雙曲線定義 幾何性質(zhì) 余弦定理 考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想 通過本題可以有效地考查考生的綜合運用能力及運算能力 解析 1 由余弦定理得 cos P F2222111 FP 22221211210cos6 PFF 412 PFA 解析 2 由焦點三角形面積公式得 12 02 012126 3cot1t3sin6FPSbPFPF 4 A 2010 全國卷 1 理數(shù) 9 已知 為雙曲線 C 的左 右焦點 點 P 在 C1F221xy 上 P 則 P 到 x 軸的距離為F206 A B C D 336 2010 四川文數(shù) 10 橢圓 的右焦點為 F 其右準線與 軸 210 xyab x 的交點為 在橢圓上存在點 P 滿足線段 AP 的垂直平分線過點 F 則橢圓離心率的取值A 范圍是 A 0 B 0 C 1 D 1 2122 2 解析 由題意 橢圓上存在點 P 使得線段 AP 的垂直平分線過點 w w w k s5 u c o mF 即 F 點到 P 點與 A 點的距離相等 而 FA 22abc PF a c a c 于是 a c a c 2b 即 ac c 2 b 2 ac c 2 22a 12ca 或 又 e 0 1 故 e 2 答案 D 2010 四川文數(shù) 3 拋物線 的焦點到準線的距離是28yx A 1 B 2 C 4 D 8 解析 由 y2 2px 8x 知 p 4w w w k s5 u c o m 又交點到準線的距離就是 p 答案 C 2010 湖北文數(shù) 9 若直線 與曲線 有公共點 則 b 的取值范圍yxb 234yx 是 A B 3 12 12 C 1 D 3 2010 山東理數(shù) 7 由曲線 y y 圍成的封閉圖形面積為 來源 W 2x3 A B C D 121413712 答案 A 解析 由題意得 所求封閉圖形的面積為 故選 A 1230 x d 4 命題意圖 本題考查定積分的基礎知識 由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積 2010 安徽理數(shù) 5 雙曲線方程為 則它的右焦點坐標為21xy A B C D 2 0 5 0 6 02 3 0 5 C 解析 雙曲線的 所以右焦點為 21 ab 23c 66 02 誤區(qū)警示 本題考查雙曲線的交點 把雙曲線方程先轉(zhuǎn)化為標準方程 然后利用 求出 c 即可得出交點坐標 但因方程不是標準形式 很多學生會誤認為22cab 或 從而得出錯誤結(jié)論 1 2010 湖北理數(shù) 9 若直線 y x b 與曲線 有公共點 則 b 的取值范圍是234yx A 2 B 1 C 3 D 2 9 答案 C 解析 曲線方程可化簡為 即表示圓心為 2 3 半徑22 3 4 1 xyy 為 2 的半圓 依據(jù)數(shù)形結(jié)合 當直線 與此半圓相切時須滿足圓心xb 2 3 到直線 y x b 距離等于 2 解得 因為是下半1212 或 圓故可得 舍 當直線過 0 3 時 解得 b 3 故12b 所以 C 正確 123 2010 福建理數(shù) A B C D 答案 C 解析 經(jīng)分析容易得出 正確 故選 C 命題意圖 本題屬新題型 考查函數(shù)的相關知識 2010 福建理數(shù) 7 若點 O 和點 分別是雙曲線 的中心和左焦 2 0 F 21 a 0 xy 點 點 P 為雙曲線右支上的任意一點 則 的取值范圍為 P A B C D 3 2 32 7 4 7 4 答案 B 解析 因為 是已知雙曲線的左焦點 所以 即 所以雙曲線 0 F 21a 23a 方程為 設點 P 則有 解得 213xy 0 xy200 3xyx 因為 所以 20 0 F 0 OP 此二次函數(shù)對應的拋200 OPFxy 0 x2013x 2041x 物線的對稱軸為 因為 所以當 時 取得最小值034 0 03 PF 故 的取值范圍是 選 B 4321 OPF 2 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程 考查平面向量的數(shù)量積的坐標運算 二 次函數(shù)的單調(diào)性與最值等 考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力 運算能力 2010 福建理數(shù) 2 以拋物線 的焦點為圓心 且過坐標原點的圓的方程為 24yx A B C D x y 0 02x y 02x y 0 答案 D 解析 因為已知拋物線的焦點坐標為 1 0 即所求圓的圓心 又圓過原點 所以 圓的半徑為 故所求圓的方程為 即 選 D r 2x 1 2 命題意圖 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法 屬基礎題 2010 上海文數(shù) 8 動點 到點 的距離與它到直線 的距離相等 則 的P 2 0 F20 x P 軌跡方程為 y2 8x 解析 考查拋物線定義及標準方程 定義知 的軌跡是以 為焦點的拋物線 p 2 所以其方程為 y2 8xP 2010 浙江理數(shù) 13 設拋物線 的焦點為 點2 0 ypx F 若線段 的中點 在拋物線上 則 到該拋物線準線的距離為 0 2 AFBB 解析 利用拋物線的定義結(jié)合題設條件可得出 p 的值為 B 點坐標為 所2142 以點 B 到拋物線準線的距離為 本題主要考察拋物線的定義及幾何性質(zhì) 屬容易324 題 2010 全國卷 2 理數(shù) 15 已知拋物線 2 0 Cypx 的準線為 l 過 1 0 M且斜 率為 3的直線與 l相交于點 A 與 的一個交點為 B 若 A 則 p 答案 2 命題意圖 本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì) 解析 過 B 作 BE 垂直于準線 l于 E M M 為中點 1BA2 又 斜率為 3 0BAE3 1AB2 ME M 為拋物線的焦點 p 2 2010 全國卷 2 文數(shù) 15 已知拋物線 C y 2 2px p 0 的準線 l 過 M 1 0 且斜率為 的直線與 l 相交于 A 與 C 的一個交點為 B 若 則 p 解析 2 本題考查了拋物線的幾何性質(zhì) 設直線 AB 代入 得 又 3yx 2ypx 23 6 30px 解得 解得 舍去 AMB 1p 2410P2 6 2010 江西理數(shù) 15 點 在雙曲線 的右支上 若點 A 到右焦點的距0 Axy 243xy 離等于 則 02x 答案 2 解析 考查圓錐曲線的基本概念和第二定義的轉(zhuǎn)化 讀取 a 2 c 6 red 3d 20023 axxc 2010 安徽文數(shù) 12 拋物線 的焦點坐標是 28yx 答案 2 0 解析 拋物線 所以 所以焦點 2yx 4p 2 0 誤區(qū)警示 本題考查拋物線的交點 部分學生因不會求 或求出 后 誤認為焦點p 還有沒有弄清楚焦點位置 從而得出錯誤結(jié)論 0 p 2010 重慶文數(shù) 13 已知過拋物線 的焦點 的直線交該拋物線于 兩24yx FAB 點 則 2AF B 解析 由拋物線的定義可知 12AFK 故 2ABx 軸 F B 2010 重慶理數(shù) 14 已知以 F 為焦點的拋物線 上的兩點 A B 滿足 24yx 3FB 則弦 AB 的中點到準線的距離為 解析 設 BF m 由拋物線的定義知 mBA 11 3 中 AC 2m AB 4m C 3 ABk 直線 AB 方程為 1 3 xy 與拋物線方程聯(lián)立消 y 得 02 所以 AB 中點到準線距離為 381521 x 2010 北京文數(shù) 13 已知雙曲線 的離心率為 2 焦點與橢圓 2yab 的焦點相同 那么雙曲線的焦點坐標為 漸近線方程為 2159xy 答案 4 0 30 xy 2010 北京理數(shù) 13 已知雙曲線 的離心率為 2 焦點與橢圓 21xyab 的焦點相同 那么雙曲線的焦點坐標為 漸近線方程為 2159 答案 0 4 30 xy 2010 天津文數(shù) 13 已知雙曲線 的一條漸近線方程是 21 0 xyab 它的一個焦點與拋物線 的焦點相同 則雙曲線的方程為 3yx 26 答案 214xy 解析 本題主要考查了雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)及雙曲線的標準方程 屬于容易題 由漸近線方程可知 3ba 因為拋物線的焦點為 4 0 所以 c 4 又 22c 聯(lián)立 解得 所以雙曲線的方程為24 1ab 214xy 溫馨提示 求圓錐曲線的標準方程通常利用待定洗漱法求解 注意雙曲線中 c 最大 2010 福建文數(shù) 13 若雙曲線 1 b 0 的漸近線方程式為 y 則 等于 2x4yb1x2 答案 1 解析 由題意知 解得 b 1 12b 命題意圖 本小題考查雙曲線的幾何性質(zhì) 待定系數(shù)法 屬基礎題 2010 全國卷 1 文數(shù) 16 已知 是橢圓 的一個焦點 是短軸的一個端點 線段FCB 的延長線交 于點 且 則 的離心率為 BFCDB2 ur 16 命題意圖 本小題主要考查橢圓的方程3 與幾何性質(zhì) 第二定義 平面向量知識 考查了數(shù) 形結(jié)合思想 方程思想 本題凸顯解析幾何的特點 數(shù)研究形 形助數(shù) 利用幾何性質(zhì)可尋求到簡化 問題的捷徑 解析 1 如圖 2 BFbca 作 軸于點 D1 則由 得y ur 所以 1 23O 13 2OFc xOyBF1D 即 由橢圓的第二定義得32Dcx 223 acFDea 又由 得 BF23 ca 解析 2 設橢圓方程為第一標準形式 設 F 分 BD 所成的比為 21xyab 2 Dxy 2 代入22 303 0 1 2cc cc bx b 294bae 2010 全國卷 1 理數(shù) 2010 湖北文數(shù) 15 已知橢圓 的兩焦點為 點 滿足 2 1xcy 12F0 Pxy 則 的取值范圍為 直線 與橢圓 C 的公 201xy 1PF2 01 共點個數(shù) 答案 2 0 解析 依題意知 點 P 在橢圓內(nèi)部 畫出圖形 由數(shù)形結(jié)合可得 當 P 在原點處時12max PF 當 P 在橢圓頂點處時 取到 12max PF 為 21 2 故范圍為 2 因為 0 xy在橢圓 21xy 的內(nèi)部 則直 線 00 xy 上的點 x y 均在橢圓外 故此直線與橢圓不可能有交點 故交點數(shù)為 0 個 3 2010 江蘇卷 6 在平面直角坐標系 xOy 中 雙曲線 上一點 M 點 M 的124 yx 橫坐標是 3 則 M 到雙曲線右焦點的距離是 解析 考查雙曲線的定義 為點 M 到右準線 的距離 42Fed dx 2 MF 4 d 2010 年高考數(shù)學試題分類匯編 圓錐曲線 2010 上海文數(shù) 23 本題滿分 18 分 本題共有 3 個小題 第 1 小題滿分 4 分 第 2 小 題滿分 6 分 第 3 小題滿分 8 分 已知橢圓 的方程為 和 為 的三個頂 21 0 xyab Ab 0 B 0 Qa 點 1 若點 滿足 求點 的坐標 M 2AQB M 2 設直線 交橢圓 于 兩點 交直線 于點 若1 lykxp CD2 lykx E 證明 為 的中點 21bka E 3 設點 在橢圓 內(nèi)且不在 軸上 如何構(gòu)作過 中點 的直線 使得 與橢圓P xPQFll 的兩個交點 滿足 令 點 的 1212P 12 10a5b P 坐標是 8 1 若橢圓 上的點 滿足 求點 的坐標 2 解析 1 2abM 2 由方程組 消 y 得方程 12ykxpab 222211 0akbxakpb 因為直線 交橢圓 于 兩點 1 lykxp CD 所以 0 即 220ab 設 C x1 y1 D x 2 y2 CD 中點坐標為 x0 y0 則 10211kpabykx 由方程組 消 y 得方程 k 2 k1 x p 2pykx 又因為 所以 21bka 210212akkbpyxy 故 E 為 CD 的中點 3 因為點 P 在橢圓 內(nèi)且不在 x 軸上 所以點 F 在橢圓 內(nèi) 可以求得直線 OF 的斜率 k2 由 知 F 為 P1P2 的中點 根據(jù) 2 可得直線 l 的斜率 從而得直12Q 21bka 線 l 的方程 直線 OF 的斜率 直線 l 的斜率 F 2k 21bka 解方程組 消 y x 2 2x 48 0 解得 P1 6 4 P 2 8 3 2 105yx 2010 湖南文數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊在某冰川山上相距 8Km 的 A B 兩點各建一個考察 基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點的直線為 x 軸 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸建 立平面直角坐標系 圖 4 考察范圍到 A B 兩點的距離之和不超過 10Km 的區(qū)域 I 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 II 如圖 4 所示 設線段 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界 當冰川融12P 化時 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動 第一年移動 0 2km 以 后每年移動的距離為前一年的 2 倍 問 經(jīng)過多長時間 點 A 恰好在冰川邊界 線上 2010 浙江理數(shù) 21 本題滿分 15 分 已知 m 1 直線 橢圓 2 0mlxy 分別為橢圓 的左 右焦點 2 1xCym 2FC 當直線 過右焦點 時 求直線 的方程 l2l 設直線 與橢圓 交于 兩點 AB12FV 的重心分別為 若原點 在以線段 為直徑的圓12BFV GHOGH 內(nèi) 求實數(shù) 的取值范圍 m 解析 本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì) 直線與橢圓 點與圓的位置關系等基礎知識 同時 考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力 解 因為直線 經(jīng)過 所以 l 20mxy 2 1 0 F 221m 得 2m 又因為 所以 1 2 故直線 的方程為 l 0 xy 解 設 12 AB 由 消去 得21 mxy x2204y 則由 知 228 1 80m 28m 且有 2121 yy A 由于 12 0 Fc 故 為 的中點 O 由 AGBHO 可知 121 33xyh221219y 設 是 的中點 則 MGH1212 6xy 由題意可知 2 MOGH 即 2221111 4 69xyxy 即 120 而 221211 mxyyy 22 8 所以 2108m 即 24 又因為 且1 0 所以 m 所以 的取值范圍是 2 2010 全國卷 2 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 己知斜率為 1 的直線 l 與雙曲線 C 210 xyabb 相交于 B D 兩點 且 BD 的中點為 3M 求 C 的離心率 設 C 的右頂點為 A 右焦點為 F 17DB A 證明 過 A B D 三點的圓 與 x 軸相切 命題意圖 本題主要考查雙曲線的方程及性質(zhì) 考查直線與圓的關系 既考查考生的基 礎知識掌握情況 又可以考查綜合推理的能力 參考答案 點評 高考中的解析幾何問題一般為綜合性較強的題目 命題者將好多考點以圓錐曲線 為背景來考查 如向量問題 三角形問題 函數(shù)問題等等 試題的難度相對比較穩(wěn)定 2010 陜西文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 求橢圓 C 的方程 設 n 為過原點的直線 l 是與 n 垂直相交與點 P 與橢圓相交 于 A B 兩點的直線 立 若存在 求出直線 l 的方程 并說出 若不存在 請說明理由 2010 遼寧文數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設 分別為橢圓 的左 右焦點 過 的直線 與橢1F22 1xyCab 0 2Fl 圓 相交于 兩點 直線 的傾斜角為 到直線 的距離為 CABl6 1Fl3 求橢圓 的焦距 如果 求橢圓 的方程 2F 解 設焦距為 由已知可得 到直線 l 的距離c1F32 c 故 所以橢圓 的焦距為 4 C 設 直線 的方程為1212 0 AxyBy 由 題 意 知 l3 2 yx 聯(lián)立 22242 3 3 abbab 得 解得 22123 3ayyb 因為 212 AFB 所 以 即 223 3baba 得 2 4 5 而 所 以 故橢圓 的方程為C1 9xy 2010 遼寧理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 設橢圓 C 的左焦點為 F 過點 F 的直線與橢圓 C 相交于 2 0 xyab A B 兩點 直線 l 的傾斜角為 60o 2AB I 求橢圓 C 的離心率 II 如果 AB 求橢圓 C 的方程 154 解 設 由題意知 0 0 12 AxyB1y2 直線 l 的方程為 其中 3 xc 2ab 聯(lián)立 得2 3 1yxcab 2224 30aby 解得 22123 3 ccayb 因為 所以 AFB 12y 即 223 3 bcacab 得離心率 6 分e 因為 所以 213ABy 24315ab 由 得 所以 得 a 3 23ca5ba54 橢圓 C 的方程為 12 分 219xy 2010 全國卷 2 文數(shù) 22 本小題滿分 12 分 已知斜率為 1 的直線 1 與雙曲線 C 相交于 B D 兩點 且 BD 的 21 0 xyab 中點為 M 1 3 求 C 的離心率 設 C 的右頂點為 A 右焦點為 F DF BF 17 證明 過 A B D 三點的圓 與 x 軸相切 解析 本題考查了圓錐曲線 直線與圓的知識 考查學生運用所學知識解決問題的能力 1 由直線過點 1 3 及斜率可得直線方程 直線與雙曲線交于 BD 兩點的中點為 1 3 可利用直線與雙曲線消元后根據(jù)中點坐標公式找出 A B 的關系式即求得離心率 2 利用離心率將條件 FA FB 17 用含 A 的代數(shù)式表示 即可求得 A 則 A 點坐標可 得 1 0 由于 A 在 X 軸上所以 只要證明 2AM BD 即證得 2010 江西理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 設橢圓 21 0 xyCab 拋物線 22 Cxby 1 若 經(jīng)過 的兩個焦點 求 的離心率 211 2 設 A 0 b 又 M N 為 與 不在 y 軸上的兩個交點 若 AMN534Q 12 的垂心為 且 QMN 的重心在 上 求橢圓 和拋物線 的方程 B 2C12C 解析 考查橢圓和拋物線的定義 基本量 通過交點三角形來確認方程 1 由已知橢圓焦點 c 0 在拋物線上 可得 由2cb 22212 cabcea 有 2 由題設可知 M N 關于 y 軸對稱 設 由 的垂心為 B 有11 0 xyx A 2113 04BAb 由點 在拋物線上 解得 1 Nxy22xy11 4by 或 舍 去 故 得 重心坐標 155 244bbbM QMN 3 由重心在拋物線上得 又因為 23 2 所 以 1 5 2 M N 在橢圓上得 橢圓方程為 拋物線方程為 216a1634xy4xy 2010 安徽文數(shù) 17 本小題滿分 12 分 橢圓 E經(jīng)過點 2 3A 對稱軸為坐標軸 焦點 1 F在 x軸上 離心率 12e 求橢圓 E的方程 求 12FA 的角平分線所在直線的方程 17 命題意圖 本題考查橢圓的定義及標準方程 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 直線的點斜式方 程與一般方程 點到直線的距離公式等基礎知識 考查解析幾何的基本思想 綜合運算能 力 解題指導 1 設橢圓方程為 把點 代入橢圓方程 把離心率 21xyab 2 3A 用 表示 再根據(jù) 求出 得橢圓方程 2 可以設直線 l 上2e ac22c 任一點坐標為 根據(jù)角平分線上的點到角兩邊距離相等得 xy 46 2 5xyx 解 設橢圓 E 的方程為2 222121121 3 1 4 6 3 0 434 xyabcxyeaccAExyFAxxAF 由 得將 3 代 入 有 解 得 橢 圓 的 方 程 為由 知 所 以 直 線 的 方 程 為 y 即 直 線 的 方 程 為 由 橢 圓 的 圖 形 知 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 斜 率 為 正12 12 65650 80 yA xxyyF 數(shù) 設 P 為 的 角 平 分 線 所 在 直 線 上 任 一 點 則 有若 得 其 斜 率 為 負 不 合 題 意 舍 去 于 是 即 所 以 的 角 平 分 線 所 在 直 線 的 方 程 為 2x y 規(guī)律總結(jié) 對于橢圓解答題 一般都是設橢圓方程為 根據(jù)題目滿足的條件 21xyab 求出 得橢圓方程 這一問通常比較簡單 2 對于角平分線問題 利用角平分線 ab 的幾何意義 即角平分線上的點到角兩邊距離相等得方程 2010 重慶文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 小問 5 分 小問 7 分 已知以原點 為中心 為右焦點的雙曲線 的離心率 O 5 0 FC52e 求雙曲線 的標準方程及其漸近線方程 C 如題 21 圖 已知過點 的直線 與過點1 Mxy1l14xy 其中 的直線 的交點 在雙曲線 上 直線2 Nxy21x 2l24 E 與雙曲線的兩條漸近線分別交于 兩點 求 的值 MNGHO A 2010 浙江文數(shù) 22 本題滿分 15 分 已知 m 是非零實數(shù) 拋物線 p 0 2 Cyps 的焦點 F 在直線 上 2 0mlxy I 若 m 2 求拋物線 C 的方程 II 設直線 與拋物線 C 交于 A B Al 的重心分別為 G H2A1B 求證 對任意非零實數(shù) m 拋物線 C 的準線與 x 軸的焦點在以線段 GH 為直徑的圓外 2010 重慶理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 I 小問 5 分 II 小問 7 分 已知以原點 O 為中心 為右焦點 5 0F 的雙曲線 C 的離心率 2e I 求雙曲線 C 的標準方程及其漸近線方程 II 如題 20 圖 已知過點 的直線 與過點 1 Mxy11 4lxy 其中 的直線 的交點 E 在雙曲線 C 上 2 Nxy2 22 l 直線 MN 與兩條漸近線分別交與 G H 兩點 求 的面積 O 2010 山東文數(shù) 22 本小題滿分 14 分 如圖 已知橢圓 過點 21 0 xyab 離心率為 左 右焦點分別為 1 221F 點 為直線 上且不在 軸上的任意FP lxy x 一點 直線 和 與橢圓的交點分別為 12FAB 和 為坐標原點 CDO I 求橢圓的標準方程 II 設直線 的斜線分別為 1P21k2 i 證明 123k ii 問直線 上是否存在點 使得直線 的斜率 lPOABCDOAk 滿足 若存在 求出所有滿足條件的點 的坐OBkCODk0AOBCDk P 標 若不存在 說明理由 2010 北京文數(shù) 19 本小題共 14 分 已知橢圓 C 的左 右焦點坐標分別是 離心率是 直線 y t 橢 2 0 63 圓 C 交與不同的兩點 M N 以線段為直徑作圓 P 圓心為 P 求橢圓 C 的方程 若圓 P 與 x 軸相切 求圓心 P 的坐標 設 Q x y 是圓 P 上的動點 當 t 變化時 求 y 的最大值 解 因為 且 所以63ca 2c23 1abc 所以橢圓 C 的方程為 21xy 由題意知 0 pt 由 得213 ytx 23 1 xt 所以圓 P 的半徑為 2 t 解得 所以點 P 的坐標是 0 2t 32 由 知 圓 P 的方程 因為點 在圓 P 上 所以22 1 xytt Qxy23 1 31yttxt 設 則cos 0 t 23 1 cos3in2si 6tt 當 即 且 取最大值 2 312txy 2010 北京理數(shù) 19 本小題共 14 分 www ks 在平面直角坐標系 xOy 中 點 B 與點 A 1 1 關于原點 O 對稱 P 是動點 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 13 求動點 P 的軌跡方程 設直線 AP 和 BP 分別與直線 x 3 交于點 M N 問 是否存在點 P 使得 PAB 與 PMN 的 面積相等 若存在 求出點 P 的坐標 若不存在 說明理由 I 解 因為點 B 與 A 關于原點 對稱 所以點 得坐標為 1 OB 1 設點 的坐標為 xy 由題意得 13 化簡得 24 1 xyx 故動點 的軌跡方程為P24 1 yx II 解法一 設點 的坐標為 點 得坐標分別為 0 MN 3 MyN 則直線 的方程為 直線 的方程為A01 1yx BP01 yx 令 得 30431My 0231Nyx 于是 得面積PNA 2002 3 2MNxyxSy 又直線 的方程為 Bx AB 點 到直線 的距離 PA0 2yd 于是 的面積PAB 01 2Sdxy A 當 時 得PABMN 2002 3 1x 又 0 xy 所以 解得 2 3 0 1 x05 3x 因為 所以204y 09y 故存在點 使得 與 的面積相等 此時點 的坐標為 PABPMNP53 9 解法二 若存在點 使得 與 的面積相等 設點 的坐標為A0 xy 則 11 sin sin22MN A 因為 siPBN 所以 M 所以 00 1 3 xx 即 解得20 053 因為 所以2034xy 09y 故存在點 S 使得 與 的面積相等 此時點 的坐標為PABPMNP 53 9 2010 四川理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知定點 A 1 0 F 2 0 定直線 l x 不在 x 軸上的動點 P 與點 F 的距離是12 它到直線 l 的距離的 2 倍 設點 P 的軌跡為 E 過點 F 的直線交 E 于 B C 兩點 直線 AB AC 分別交 l 于點 M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點 F 并說明理由 w w w k s5 u c o m 本小題主要考察直線 軌跡方程 雙曲線等基礎知識 考察平面機襲擊和的思想方法及推 理運算能力 解 1 設 P x y 則 21 2yx 化簡得 x2 1 y 0 4 分3 2 當直線 BC 與 x 軸不垂直時 設 BC 的方程為 y k x 2 k 0 與雙曲線 x2 1 聯(lián)立消去 y 得w w w k s5 u c o m 3 k 2x2 4k 2x 4k 2 3 0 由題意知 3 k 2 0 且 0 設 B x1 y1 C x2 y2 則 2143kx y1y2 k 2 x1 2 x 2 2 k 2 x1x2 2 x 1 x 2 4 k 2 4 83 w w w k s5 u c o m 29 因為 x1 x 2 1 所以直線 AB 的方程為 y x 1 因此 M 點的坐標為 13 2 同理可得 w w w k s5 u c o m 13 yFx 23 1yFNx 因此 2129 yNx A 284349 1 k 0 當直線 BC 與 x 軸垂直時 起方程為 x 2 則 B 2 3 C 2 3 AB 的方程為 y x 1 因此 M 點的坐標為 1 FM 同理可得 3 2FN 因此 0w w w k s5 u c o m A 綜上 0 即 FM FN 故以線段 MN 為直徑的圓經(jīng)過點 F 12 分 2010 天津文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知橢圓 a b 0 的離心率 e 連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積 21xyab 32 為 4 求橢圓的方程 設直線 l 與橢圓相交于不同的兩點 A B 已知點 A 的坐標為 a 0 i 若 求直線 l 的傾斜角 42AB5 ii 若點 Q 在線段 AB 的垂直平分線上 且 求 的值 y0 QB 4 Ay0 解析 本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 直線的方程 兩點間的距離公 式 直線的傾斜角 平面向量等基礎知識 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù) 形結(jié)合的思想 考查綜合分析與運算能力 滿分 14 分 解 由 e 得 再由 解得 a 2b 32ca 24ac22ab 由題意可知 即 ab 2 1b 解方程組 得 a 2 b 1 2a 所以橢圓的方程為 214xy i 解 由 可知點 A 的坐標是 2 0 設點 B 的坐標為 直線1 xy l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點的坐標滿足方程組 消去 y 并整理 得2 1 4ykx 222 14 6 14 0kxk 由 得 從而 12 218x124ky 所以 2224 4kkABk 由 得 42 5 2145k 整理得 即 解得 k 423930k 22 1 3 0k 1 所以直線 l 的傾斜角為 或 4 ii 解 設線段 AB 的中點為 M 由 i 得到 M 的坐標為 228 14k 以下分兩種情況 1 當 k 0 時 點 B 的坐標是 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 由 得 002 2 QAyy 4QA y2 0 2 當 時 線段 AB 的垂直平分線方程為 k 22184kkx 令 解得 0 x 02614ky 由 2 QA 10 Bxy 21010 2228646411kkxy 42654k 整理得 故 所以 27k 17 02145y 綜上 或0y0245y 2010 天津理數(shù) 20 本小題滿分 12 分 已知橢圓 的離心率 連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面 21 0 xyab 32e 積為 4 1 求橢圓的方程 2 設直線 與橢圓相交于不同的兩點 已知點 的坐標為 點l AB 0a 在線段 的垂直平分線上 且 求 的值0 QyAB4Q y 解析 本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質(zhì) 直線的方程 平面向量等基礎知識 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想 考查運算和推理能力 滿分 12 分 1 解 由 得 再由 得3e2ca 24ac 22ab 由題意可知 1 b 即 解方程組 得 a 2 b 12a 所以橢圓的方程為 214xy 2 解 由 1 可知 A 2 0 設 B 點的坐標為 x 1 y1 直線 l 的斜率為 k 則直線 l 的方程為 y k x 2 于是 A B 兩點的坐標滿足方程組 2 14ykx 由方程組消去 Y 并整理 得 222 1 6 4 0kk 由 得 2164 kx 21128 kyk從 而 設線段 AB 是中點為 M 則 M 的坐標為 228 14k 以下分兩種情況 1 當 k 0 時 點 B 的坐標為 2 0 線段 AB 的垂直平分線為 y 軸 于是 000 2 y 2 2QAByQABy 由 4 得 2 當 K 時 線段 AB 的垂直平分線方程為 2218 44kkYx 令 x 0 解得 02614ky 由 010 QABxy 210 222 8 6462 411kkx 42 65 4k 整理得 2 012147 75y 故 所 以 綜上 0024 5yy或 2010 廣東理數(shù) 21 本小題滿分 14 分 設 A B 是平面直角坐標系 xOy 上的兩點 先定義由點 A 到點 B 的一種折1 xy2 線距離 p A B 為 121 PABxy 當且僅當 時等號成立 即 三點共線時1212 0 0 xyy ABC 等號成立 2 當點 C x y 同時滿足 P P P P P 時 點 AC B 是線段 的中點 即存在點 滿足條件 CAB1212xy 1212xyC 2010 廣東理數(shù) 20 本小題滿分為 14 分 一條雙曲線 的左 右頂點分別為 A1 A2 點 是雙曲線上 21xy 1 Pxy1 Qy 不同的兩個動點 1 求直線 A1P 與 A2Q 交點的軌跡 E 的方程式 2 若過點 H 0 h h 1 的兩條直線 l1 和 l2 與軌跡 E 都只有一個交點 且 求12l h 的值 故 即 221 yx 21xy 2 設 則由 知 1 lykh12l 1 lyxhk 將 代入 得1 lx 2y 即 22 kh22 1 40kxh 由 與 E 只有一個交點知 即 來源 高考資源網(wǎng) KS5U COM 1l 226 1 kh 2kh 同理 由 與 E 只有一個交點知 消去 得 即 從2l 2k 221k 1 而 來源 高考資源網(wǎng) KS5U COM 即 13kh 2010 廣東文數(shù) 21 本小題滿分 14 分 已知曲線 2 nxyC 點 nyP 0 nyx是曲線 nC上的點 21 2010 福建文數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知拋物線 C 過點 A 1 2 2 0 ypx I 求拋物線 C 的方程 并求其準線方程 II 是否存在平行于 OA O 為坐標原點 的直線 L 使得直線 L 與拋物線 C 有公共 點 且直線 OA 與 L 的距離等于 若存在 求直線 L 的方程 若不存在 說明理由 5 2010 全國卷 1 理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 已知拋物線 的焦點為 F 過點 的直線 與 相交于 兩點 2 4Cyx 1 0 K lCAB 點 A 關于 軸的對稱點為 D x 證明 點 F 在直線 BD 上 設 求 的內(nèi)切圓 M 的方程 89B D 2010 四川文數(shù) 21 本小題滿分 12 分 w w w k s5 u c o m 已知定點 A 1 0 F 2 0 定直線 l x 不在 x 軸上的動點 P 與點 F 的距離是12 它到直線 l 的距離的 2 倍 設點 P 的軌跡為 E 過點 F 的直線交 E 于 B C 兩點 直線 AB AC 分別交 l 于點 M N 求 E 的方程 試判斷以線段 MN 為直徑的圓是否過點 F 并說明理由 2010 湖北文數(shù) 20 本小題滿分 13 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上沒一點到點 F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差 都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對于過點 M m 0 且與曲線 C 有兩個交點 A B 的任一直線 都有 0 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請說明理由 FA B 2010 山東理數(shù) 21 本小題滿分 12 分 如圖 已知橢圓 的離心率為 以該橢圓上的點和橢圓的左 右21 0 xyab 2 焦點 為頂點的三角形的周長為 一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點 設12 F4 1 為該雙曲線上異于頂點的任一點 直線 和 與橢圓的交點分別為 和 PPF2 BA CD 求橢圓和雙曲線的標準方程 設直線 的斜率分別為 證明 1PF21k212 k 是否存在常數(shù) 使得 恒成立 若存在 求 的值 若 ABCD 不存在 請說明理由 解析 由題意知 橢圓離心率為 得 又 ca2c2ac 4 21 所以可解得 所以 所以橢圓的標準方程為 2a c224b 8xy 所以橢圓的焦點坐標為 0 因為雙曲線為等軸雙曲線 且頂點是該橢圓的焦點 所 以該雙曲線的標準方程為 214xy 命題意圖 本題考查了橢圓的定義 離心率 橢圓與雙曲線的標準方程 直線與圓錐曲 線的位置關系 是一道綜合性的試題 考查了學生綜合運用知識解決問題的能力 其中問 題 3 是一個開放性問題 考查了同學們觀察 推理以及創(chuàng)造性地分析問題 解決問題的 能力 2010 湖南理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 為了考察冰川的融化狀況 一支科考隊在某冰川上相距 8km 的 A B 兩點各建一個考察基地 視冰川面為平面形 以過 A B 兩點的直線為 x 軸 線段 AB 的的垂直平分線為 y 軸建立平面 直角坐標系 圖 6 在直線 x 2 的右側(cè) 考察范圍為到點 B 的距離不超過 65 km 區(qū)域 在 直線 x 2 的左側(cè) 考察范圍為到 A B 兩點的距離之和不超過 45km 區(qū)域 求考察區(qū)域邊界曲線的方程 如圖 6 所示 設線段 P1P2 P2P3 是冰川的部分邊界線 不考慮其他邊界線 當冰川 融化時 邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動 第一年移動 0 2km 以后每年移動 的距離為前一年的 2 倍 求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最短時間 化 融 區(qū) 域283P 6 P3 8 6 已 冰 B 4 0 A 4 0 x 1 P 153 2010 湖北理數(shù) 19 本小題滿分 12 分 已知一條曲線 C 在 y 軸右邊 C 上每一點到點 F 1 0 的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1 求曲線 C 的方程 是否存在正數(shù) m 對于過點 M m 0 且與曲線 C 有兩個交點 A B 的任一直線 都 有 若存在 求出 m 的取值范圍 若不存在 請說明理由 0FAB 2010 安徽理數(shù) 19 本小題滿分 13 分 已知橢圓 經(jīng)過點 對稱軸為坐標軸 焦點E 2 3A 在 軸上 離心率 12 Fx1e 求橢圓 的方程 求 的角平分線所在直線 的方程 12A l 在橢圓 上是否存在關于直線 對稱的相異兩點 E 若存在 請找出 若不存在 說明理由 2010 江蘇卷 18 本小題滿分 16 分 在平面直角坐標系 中 如圖 已知橢圓 的左 右頂點為 A B 右焦點為xoy1592 yx F 設過點 T 的直線 TA TB 與橢圓分別交于點 M 其中mt 1x 2yxN m 0 021 y 1 設動點 P 滿足 求點 P 的軌跡 42 BF 2 設 求點 T 的坐標 31 21 x 3 設 求證 直線 MN 必過 x 軸上的一定點 其坐9t 標與 m 無關 解析 本小題主要考查求簡單曲線的方程 考查方直線與橢圓的方程等基礎知識 考查運 算求解能力和探究問題的能力 滿分 16 分 1 設點 P x y 則 F 2 0 B 3 0 A 3 0 由 得 化簡得 42 B22 4 xyxy 92x 故所求點 P 的軌跡為直線 9 2 將 分別代入橢圓方程 以及 得 M 2 N 31 21 x 0 21 y531 09 直線 MTA 方程為 即 0523yx 3yx 直線 NTB 方程為 即 109562 聯(lián)立方程組 解得 73xy 所以點 T 的坐標為 10 3 點 T 的坐標為 9m 直線 MTA 方程為 即 30yx 3 12myx 直線 NTB 方程為 即 96 分別與橢圓 聯(lián)立方程組 同時考慮到 1592 yx 123 x 解得 223 80 4 mM 223 0 mN 方法一 當 時 直線 MN 方程為 12x 2222203 0 4808yxmm 令 解得 此時必過點 D 1 0 0y1x 當 時 直線 MN 方程為 與 x 軸交點為 D 1 0 12x 所以直線 MN 必過 x 軸上的一定點 D 1 0 方法二 若 則由 及 得 12 224368m 210m 此時直線 MN 的方程為 過點 D 1 0 x 若 則 直線 MD 的斜率 12x 10m2240183MDmk 直線 ND 的斜率 得 所以直線 MN 過 D 點 22103640NDkm MDNk 因此 直線 MN 必過 軸上的點 1 0 x 2010 福建理數(shù) 17 本小題滿分 13 分 已知中心在坐標原點 O 的橢圓 C 經(jīng)過點 A 2 3 且點 F 2 0 為其右焦點 1 求橢圓 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直線 使得直線 與橢圓 C 有公共點 且直線 OA 與 的距離等ll l 于 4 若存在 求出直線 的方程 若不存在 請說明理由 命題意圖 本小題主要考查直線 橢圓等基礎知識 考查運算求解能力 推理論證能力 考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 解析 1 依題意 可設橢圓 C 的方程為 且可知左焦點為 21 a 0 b xy