2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 11.3 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)練習(xí) 理 北師大版

11.3 相關(guān)性、最小二乘估計(jì)、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷 1.變量x和y近似滿(mǎn)足關(guān)系式y(tǒng)=-0.1x+1,變量y與z正相關(guān).以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是()A.x與y正相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān),x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān),x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān),x與z正相關(guān)2.對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),獲得如下圖的散點(diǎn)圖,關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比擬,正確的選項(xiàng)是()A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3【解析】1.選C.由y=-0.1x+1,知x與y負(fù)相關(guān),即y隨x的增大而減小,又y與z正相關(guān),所以z隨y的增大而增大,隨y的減小而減小,所以z隨x的增大而減小,x與z負(fù)相關(guān).2.選A.由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義可知r2<r4<0<r3<r1.1.散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.假設(shè)點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域,那么正相關(guān).2.線性回歸直線方程中:b>0時(shí),正相關(guān);b<0時(shí),負(fù)相關(guān).考點(diǎn)二獨(dú)立性檢驗(yàn) 【典例】(2021·全國(guó)卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱,測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下圖:(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg,估計(jì)A的概率.(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精確到0.01).2=【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)以頻率代替概率,相互獨(dú)立時(shí)交事件概率等于兩事件概率的積(2)填入數(shù)據(jù),代入2公式計(jì)算,與臨界值比擬(3)中位數(shù)把頻率分布直方圖分為面積相等的兩局部【解析】(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計(jì)值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計(jì)值為0.66.因此,事件A的概率估計(jì)值為0.62×0.66=0.409 2.(2)箱產(chǎn)量<50 kg箱產(chǎn)量50 kg舊養(yǎng)殖法6238新養(yǎng)殖法3466由表中數(shù)據(jù)及2的計(jì)算公式得,2=15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為50+52.35(kg).1.在2×2列聯(lián)表中,|ad-bc|越小,說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題,一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表.(2)根據(jù)公式2=計(jì)算.(3)比擬2與臨界值的大小關(guān)系,作統(tǒng)計(jì)推斷.(2021·合肥模擬)某校在高一年級(jí)學(xué)生中,對(duì)自然科學(xué)類(lèi)、社會(huì)科學(xué)類(lèi)校本選修課程的選課意向進(jìn)行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生,其中男生105名;在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)的男生、女生均為45名.(1)試問(wèn):從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為多少?(2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果,完成下面的2×2列聯(lián)表.并判斷能否有95%的把握認(rèn)為科學(xué)類(lèi)的選擇與性別有關(guān)?選擇自然科學(xué)類(lèi)選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)合計(jì)男生女生合計(jì)附:2=,其中n=a+b+c+d.【解析】(1)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,抽到男生的概率約為=.(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表如表:選擇自然科學(xué)類(lèi)選擇社會(huì)科學(xué)類(lèi)合計(jì)男生6045105女生304575合計(jì)9090180那么2=5.142 9>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為科學(xué)類(lèi)的選擇與性別有關(guān).考點(diǎn)三回歸分析 命題精解讀1.考什么:(1)考查線性回歸方程的求法及運(yùn)用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).(2)考查散點(diǎn)圖、相關(guān)系數(shù)等判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)的方法.(3)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合等思想方法.2.怎么考:與頻率分布表、頻率分布直方圖、折線圖等結(jié)合考查回歸分析的方法.3.新趨勢(shì):以回歸分析為載體,與頻率分布、概率等交匯命題.學(xué)霸好方法1.回歸分析方法:(1)利用公式,求出回歸系數(shù).(2)利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè).(3)確定模型是否適宜,及時(shí)修正.2.交匯問(wèn)題: 與頻率分布直方圖、折線圖等交匯時(shí),分析圖形提供的數(shù)據(jù)信息,獲得計(jì)算相關(guān)系數(shù)、回歸系數(shù)等需要的數(shù)據(jù),最后計(jì)算比擬.線性回歸方程及其應(yīng)用【典例】現(xiàn)代社會(huì),“鼠標(biāo)手已成為常見(jiàn)病,一次實(shí)驗(yàn)中,10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象進(jìn)行160分鐘的連續(xù)鼠標(biāo)點(diǎn)擊游戲,每位實(shí)驗(yàn)對(duì)象完成的游戲關(guān)卡一樣,鼠標(biāo)點(diǎn)擊頻率平均為180次/分鐘,實(shí)驗(yàn)研究人員測(cè)試了實(shí)驗(yàn)對(duì)象使用鼠標(biāo)前后的握力變化,前臂外表肌電頻率等指標(biāo).(1)10 名實(shí)驗(yàn)對(duì)象實(shí)驗(yàn)前、后握力(單位:N)測(cè)試結(jié)果如下:實(shí)驗(yàn)前:346,357,358,360,362,362,364,372,373,376實(shí)驗(yàn)后:313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成莖葉圖,并計(jì)算實(shí)驗(yàn)后握力平均值比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降了多少N?(2)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)得時(shí)間t(分)與10名實(shí)驗(yàn)對(duì)象前臂外表肌電頻率的中值頻率y(Hz)的九組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(t,y)為(0,87),(20,84),(40,86),(60,79),(80,78),(100,78),(120,76),(140,77),(160,75).建立y關(guān)于時(shí)間t的線性回歸方程;(3)假設(shè)肌肉肌電水平顯著下降,提示肌肉明顯進(jìn)入疲勞狀態(tài),根據(jù)(2)中9組數(shù)據(jù)分析,使用鼠標(biāo)多少分鐘就該進(jìn)行休息了?參考數(shù)據(jù):(ti-)(yi-)=-1 800;參考公式:回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:b=,a=-b.【解析】(1)根據(jù)題意得到莖葉圖如下圖:由圖中數(shù)據(jù)可得=×(346+357+358+360+362+362+364+372+373+376)=363,=×(313+321+322+324+330+332+334+343+350+361)=333,所以-=363-333=30(N),所以實(shí)驗(yàn)后比實(shí)驗(yàn)前握力的平均值下降30N.(2)由題意得=(0+20+40+60+80+100+120+140+160)=80,=(87+84+86+79+78+78+76+77+75)=80,(ti-)2=(0-80)2+(20-80)2+(40-80)2+(60-80)2+(80-80)2+(100-80)2+(120-80)2+(140-80)2+(160-80)2=24 000,又(ti-)(yi-)=-1 800,所以b=-0.075,所以a=-b=80-(-0.075)×80=86,所以y關(guān)于時(shí)間t的線性回歸方程為y=-0.075t+86.(3)九組數(shù)據(jù)中40分鐘到60分鐘y的下降幅度最大,提示60分鐘時(shí)肌肉已經(jīng)進(jìn)入疲勞狀態(tài),故使用鼠標(biāo)60分鐘就該休息了.相關(guān)系數(shù)及其應(yīng)用【典例】科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù),如表:x(年齡/歲)26273941495356586061y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得到如圖的散點(diǎn)圖.(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖.(i)求;(ii)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度.(2)假設(shè)y關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.56+bx,求b的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量.附:參考數(shù)據(jù):=27,xiyi=13 527.8,=23 638,=7 759.6,6.56,54.18,參考公式:相關(guān)系數(shù)r=回歸方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為b=,a=-b.【解析】(1)根據(jù)表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖:()=47.()r=.因?yàn)?.56,54.18,所以r0.98.由樣本相關(guān)系數(shù)r0.98,可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng).(2)因?yàn)榛貧w方程為y=1.56+bx,即a=1.56.所以b=0.54.【或利用b=0.54】所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.54x+1.56.將x=50代入線性回歸方程得y=0.54×50+1.56=28.56.所以根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量為28.56%.非線性回歸分析【典例】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到如圖散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. (xi-)2(wi-)2(xi-)·(yi-)(wi-)·(yi-)46.65636.8289.81.61.469108.8表中wi=,=wi.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)?(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果答復(fù)以下問(wèn)題:年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?【解析】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型.(2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由d=68.得c=-d=563-68×6.8=100.6.所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為y=100.6+68.(3)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值y=100.6+68=576.6,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=576.6×0.2-49=66.32.根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12.所以當(dāng)=6.8,即x=46.24時(shí),z取得最大值.故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.1.兩個(gè)隨機(jī)變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示:x-4-2124y-5-3-1-0.51根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為y=bx+a,那么大致可以判斷()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0【解析】選C.作出散點(diǎn)圖,畫(huà)出回歸直線直觀判定b>0,a<0.2.為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線方程為y=bx+a,xi=225,yi=1 600,b=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為()A.160B.163C.166D.170【解析】選C.由題意可知y=4x+a,又=22.5,=160,因此160=22.5×4+a,解得a=70所以y=4x+70.當(dāng)x=24時(shí),y=4×24+70=166.3.某市春節(jié)期間7家超市廣告費(fèi)支出xi(萬(wàn)元)和銷(xiāo)售額yi(萬(wàn)元)數(shù)據(jù)如表:超市ABCDEFG廣告費(fèi)支出xi1246111319銷(xiāo)售額yi19324044525354(1)假設(shè)用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,求y與x的線性回歸方程.(2)假設(shè)用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系,可得回歸方程:y=-0.17x2+5x+20,經(jīng)計(jì)算,二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.93和0.75,請(qǐng)用R2說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更適宜,并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額.參考數(shù)據(jù):=8,=42,xiyi=2 794,=708.參考公式:b=,a=-b.【解析】(1)b=1.7.所以a=-b=42-1.7×8=28.4,故y關(guān)于x的線性回歸方程是y=1.7x+28.4.(2)因?yàn)?.75<0.93,所以二次函數(shù)回歸模型更適宜.當(dāng)x=3時(shí),y=33.47.應(yīng)選擇二次函數(shù)回歸模型更適宜,并且用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬(wàn)元時(shí)的銷(xiāo)售額為33.47萬(wàn)元.近期,某公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車(chē)活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付,某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,用x表示活動(dòng)推出的天數(shù),y表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),繪制了如下圖的散點(diǎn)圖:(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷在推廣期內(nèi),y=a+bx與y=c·dx(c,d為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次.參考數(shù)據(jù):xiyixivi100.544621.542 53550.121403.47其中vi=lg yi,=vi【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=c·dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類(lèi)型.(2)因?yàn)閥=c·dx,兩邊取常用對(duì)數(shù)得:lg y=lg=lg c+lg d·x,設(shè)lg y=v,所以v=lg c+lg d·x因?yàn)?4,=1.54,=140,所以lg d=0.25,把樣本點(diǎn)的中心(4,1.54)代入v=lg c+lg d·x得:lg c=0.54,所以v=0.54+0.25x,那么lg y=0.54+0.25x所以y關(guān)于x的回歸方程為y=100.54+0.25x,把x=8代入上式得:y=100.54+0.25×8347,故活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次約為3 470.- 13 -