2021版高考數(shù)學一輪復習 第八章 數(shù)列 8.3 等比數(shù)列練習 理 北師大版

8.3 等比數(shù)列核心考點·精準研析考點一等比數(shù)列根本量的運算 1.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項和為Sn,且S3=14,a3=8,那么a6等于 ()A.16B.32C.64D.1282.(2021·贛州模擬)Sn是等比數(shù)列an的前n項和,假設S4,S3,S5成等差數(shù)列,那么an的公比q的值為()A.B.-2C.1D.-2 或13.等比數(shù)列an滿足a1=3,a1+a3+a5=21,那么a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.(2021·全國卷)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項的和為15,且a5=3a3+4a1,那么a3=()A.16B.8C.4D.25.Sn是等比數(shù)列an的前n項和,假設存在mN*,滿足=9,=,那么數(shù)列an的公比為()A.-2B.2C.-3D.3【解析】1.選C.因為S3=14,a3=8,所以q1,所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),所以a6=a1q5=2×32=64.2.選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列知等比數(shù)列an的公比q1,因此得2S3=S5+S4,即=+,化簡整理得q3(q+2)(q-1)=0,所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.3.選B.設數(shù)列an的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.4.選C.設該等比數(shù)列的首項為a1,公比為q,由得,a1q4=3a1q2+4a1,因為a1>0且q>0,那么可解得q=2,又因為a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,那么a3=a1q2=4.5.選B.設公比為q,假設q=1,那么=2,與題中條件矛盾,故q1.因為=qm+1=9,所以qm=8.所以=qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.把T1條件“S3=14,a3=8改為“a3=9,S3=27其他條件不變,那么公比q的值為()A.1B.-C.1或-D.-1或 - 【解析】選C.當公比q=1時,a1=a2=a3=9,所以S3=3×9=27.符合題意.當q1時,S3=,所以27=,所以a1=27-18q,因為a3=a1q2,所以(27-18q)·q2=9,所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.綜上q=1或q=-.解決等比數(shù)列有關問題的常用思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二,通過列方程(組)求出關鍵量a1和q,問題便可迎刃而解.(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,將q分為q=1和q1兩種情況進行討論.【秒殺絕招】1.應用轉化法解T2選B.由S4,S3,S5成等差數(shù)列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.應選B.2.應用等比數(shù)列性質解T3:選B.設數(shù)列an的公比為q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42,所以a3+a5+a7=42.考點二等比數(shù)列的判斷與證明 【典例】1.數(shù)列an中,a1=1,假設an=2an-1+1(n2),那么a5的值是_. 【解題導思】序號聯(lián)想解題(1)由an=2an-1+1(n2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5(2)由an=2an-1+1(n2)聯(lián)想到轉化法求通項公式【解析】因為an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以an+1是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,即an+1=2×2n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31【一題多解】由an=2an-1+1(n2)及a1=1,聯(lián)想到數(shù)列的遞推公式求a5,當n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.答案:312.數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),假設bn=an+1-2an,求證:bn是等比數(shù)列.【解題導思】序號題目拆解(1)Sn+1=4an+2(nN*)出現(xiàn)Sn+2=4an+1+2(nN*)(2)bn=an+1-2an證明bn是等比數(shù)列把n換為n+1左式和式子相減an+2=4an+1-4an,把n換為n+1得出bn+1轉化為證明為常數(shù)【證明】因為an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以=2.因為S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以數(shù)列bn是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.假設本例2中的條件不變,試求an的通項公式.【解析】由題知bn=an+1-2an=3·2n-1,所以-=,故是首項為,公差為的等差數(shù)列.所以=+(n-1)·=,所以an=(3n-1)·2n-2.【繼續(xù)探究】假設將本例中“Sn+1=4an+2改為“Sn+1=2Sn+(n+1),其他不變,求數(shù)列an的通項公式.【解析】由得n2時,Sn=2Sn-1+n. 所以Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,所以an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),n2,(*) 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1), 所以當n=1時(*)式也成立, 故an+1是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列, 所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1.1.等比數(shù)列的四種常用判定方法(1)定義法:假設=q(q為非零常數(shù),nN*)或=q(q為非零常數(shù)且n2,nN*),那么an是等比數(shù)列.(2)等比中項法:假設數(shù)列an中,an0且=an·an+2(nN*),那么an是等比數(shù)列.(3)通項公式法:假設數(shù)列an的通項公式可寫成an=c·qn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN*),那么an是等比數(shù)列.(4)前n項和公式法:假設數(shù)列an的前n項和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k0,q0,1),那么an是等比數(shù)列.2.證明某數(shù)列不是等比數(shù)列假設證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,那么只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.(2021·全國卷改編)數(shù)列an滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設bn=.(1)求b1,b2,b3.(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并說明理由.(3)求bn的前10項和S10.【解析】(1)由條件可得an+1=an.將n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.將n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.從而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.理由:由條件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首項為1,公比為2的等比數(shù)列.(3)由(2)可得Sn=2n-1,所以S10=210-1=1 023.考點三等比數(shù)列的性質及其應用 命題精解讀1.考什么:等比數(shù)列通項公式、前n項和公式、性質和最值問題2.怎么考:等比數(shù)列性質、等比數(shù)列前n項和的性質作為考查等比數(shù)列運算知識的最正確載體,試題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在解答題中3.新趨勢:以數(shù)列為載體與函數(shù)、不等式知識結合等問題.解題過程中常常滲透數(shù)學運算核心素養(yǎng).學霸好方法1.與等比數(shù)列性質有關的運算問題解題思路在等比數(shù)列中但凡涉及兩項的乘積問題,首先考慮其項數(shù)和是否相等,假設相等那么利用等比數(shù)列的性質進行運算2.交匯問題以數(shù)列為載體與函數(shù)性質、不等式等知識結合考查,注意分類討論思想的應用等比數(shù)列項的性質應用【典例】等比數(shù)列an中,a4+a8=-2,那么a6(a2+2a6+a10)的值為()A.4B.6C.8D.-9【解析】選A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因為a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.1.等比數(shù)列性質的應用可以分為哪些變形?提示:通項公式的變形、等比中項的變形、前n項和公式的變形.2.在解決等比數(shù)列項的性質的有關問題時,如何迅速挖掘隱含條件利用性質解題?提示:在等比數(shù)列中但凡涉及兩項的乘積問題,首先考慮其項數(shù)和是否相等,假設項數(shù)和相等,那么利用等比數(shù)列的性質進行運算.提醒:根據(jù)題目條件,認真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.等比數(shù)列中的最值與范圍問題【典例】設等比數(shù)列an滿足a1+a3=10,a2+a4=5,那么a1a2an的最大值為_.【思路探究】利用等比數(shù)列通項公式求出首項a1與公比q,再將a1a2an的最值問題利用指數(shù)冪的運算法那么轉化為二次函數(shù)最值問題.【解析】設等比數(shù)列an的公比為q,那么由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.故a1a2an=23n·=.記t=-+=-(n2-7n),結合nN*可知n=3或4時,t有最大值6.又y=2t為增函數(shù),從而a1a2an的最大值為26=64.答案:64求等比數(shù)列中的最值與范圍問題有哪些方法?提示:求解此類問題的常用思路是根據(jù)題目所給條件建立關于變量n的函數(shù)關系進行求解.有時也應用根本不等式.1.等比數(shù)列an滿足a1=,a3a5=4(a4-1),那么a2=()A.2B.1C.D.【解析】選C.設公比為q,因為a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因為q3=8,所以q=2,所以a2=a1q=×2=.2.正數(shù)組成的等比數(shù)列an,假設a1·a20=100,那么a7+a14的最小值為()A.20B.25 C.50D.不存在【解析】選A.(a7+a14)2=+2a7·a144a7a14=4a1a20=400(當且僅當a7=a14時取等號).所以a7+a1420.1.數(shù)列an滿足log2an+1=1+log2an(nN*),且a1+a2+a3+a10=1,那么log2(a101+a102+a110)=_. 【解析】因為log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以數(shù)列an是以a1為首項,2為公比的等比數(shù)列,又a1+a2+a10=1,所以a101+a102+a110=(a1+a2+a10)×2100=2100,所以log2(a101+a102+a110)=log22100=100.答案:1002.設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和Sn>0(n=1,2,3,),求q的取值范圍.【解析】因為數(shù)列an為等比數(shù)列,Sn>0,所以a1=S1>0,q0.當q=1時,Sn=na1>0;當q0且q1時,Sn=>0,即>0,所以或所以-1<q<0或0<q<1或q>1.綜上,q的取值范圍為(-1,0)(0,+). 可修改 歡迎下載 精品 Word