2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.7 拋物線練習(xí) 理 北師大版

10.7 拋物線核心考點·精準(zhǔn)研析考點一拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 1.拋物線y2=4x的焦點為F,定點P(4,-2),在拋物線上找一點M,使得|PM|+|MF|最小,那么點M的坐標(biāo)為()A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.直線l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.B.2C.D.33.(2021·保定模擬)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|=5.假設(shè)以MF為直徑的圓過點A(0,2),那么C的方程為()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個動點,F為焦點,假設(shè)B(3,2),那么|PB|+|PF|的最小值為_. 5.拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點,對稱軸為坐標(biāo)軸,直線l過拋物線C的焦點F,且與拋物線的對稱軸垂直,l與C交于A,B兩點,且|AB|=8,M為拋物線C準(zhǔn)線上一點,那么ABM的面積為_. 【解析】1.選C.過P作PM垂直于拋物線的準(zhǔn)線,交拋物線于點M,交準(zhǔn)線于點N,那么|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此時|PM|+|MF|最小,點M縱坐標(biāo)為-2,故橫坐標(biāo)為1,所以點M的坐標(biāo)為(1,-2).2.選B.由題可知l2:x=-1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線,設(shè)拋物線的焦點(1,0)為F,那么動點P到l2的距離等于|PF|,那么動點P到直線l1 和直線l2的距離之和的最小值,即焦點F到直線l1:4x-3y+6=0的距離,所以最小值是=2.3.選C.由得拋物線的焦點F,設(shè)點M(x0,y0),那么=,=.由得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得 =5.又p>0,解得p=2或p=8.故C的方程為y2=4x或y2=16x.4.如圖,過點B作BQ垂直準(zhǔn)線于點Q,交拋物線于點P1,那么|P1Q|=|P1F|,那么有|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值為4.答案:45.不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),那么焦點F,A,B,將A代入拋物線方程,可得2p×=42,得p=4,那么準(zhǔn)線方程為x=-2,設(shè)M(-2,t),那么SABM=|AB|×p=4×4=16.答案:161.拋物線定義的應(yīng)用利用拋物線的定義解決問題時,應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點到焦點距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價轉(zhuǎn)化.“看到準(zhǔn)線應(yīng)該想到焦點,看到焦點應(yīng)該想到準(zhǔn)線,這是解決有關(guān)拋物線距離問題的有效途徑.2.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法根據(jù)拋物線的定義,確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準(zhǔn)線的距離),再結(jié)合焦點位置,求出拋物線方程.標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,要注意選擇.(2)待定系數(shù)法根據(jù)拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程,解出p,從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)焦點位置不確定時,有兩種方法解決:方法一分情況討論,注意要對四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論,對于焦點在x軸上的拋物線,為防止開口方向不確定可分為y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)兩種情況求解方法二設(shè)成y2=mx(m0),假設(shè)m>0,開口向右;假設(shè)m<0,開口向左;假設(shè)m有兩個解,那么拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個.同理,焦點在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2=my(m0).如果不確定焦點所在的坐標(biāo)軸,應(yīng)考慮上述兩種情況設(shè)方程考點二直線與拋物線的綜合問題 【典例】1.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F的直線l交拋物線于A,B兩點(點A在第一象限),假設(shè)直線l的傾斜角為,那么=()A.B.C.D.2.(2021·濮陽模擬)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l交拋物線C于A、B兩點,弦AB的中點M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,那么直線l的斜率k為 ()A.±B.±1C.± D.±3.(2021·全國卷)拋物線C:y2=3x的焦點為F,斜率為的直線l與C的交點為A,B,與x軸的交點為P.(1)假設(shè)|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)假設(shè)=3,求|AB|.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1一看到拋物線上的點到焦點或到準(zhǔn)線的距離問題,即聯(lián)想到利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化2當(dāng)條件中出現(xiàn)弦的中點(即中點弦問題)時,應(yīng)立即考慮到設(shè)而不求(點差)法3當(dāng)條件中出現(xiàn)過拋物線焦點的直線時,應(yīng)立即考慮到拋物線焦點弦的有關(guān)結(jié)論【解析】1.選A.過A、B分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M,N,作AEBN,垂足為E,設(shè)|AF|=m,|BF|=n,那么由拋物線的定義得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,因為ABN=60°,于是=,解得n=3m,那么=.2.選C.拋物線C:y2=4x的焦點F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點M(x0,y0),那么x0=,y0=,由弦AB的中點M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為5,即x0+=5,那么x0=4,由兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),那么=,即k=,那么=,即y0=±,所以直線l的斜率k=±.3.設(shè)直線l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由題設(shè)得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由題設(shè)可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,那么x1+x2=-.從而-=,得t=-.所以l的方程為y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直線與拋物線交點問題的解題思路(1)求交點問題,通常解直線方程與拋物線方程組成的方程組.(2)與交點相關(guān)的問題通常借助根與系數(shù)的關(guān)系或用向量法解決.2.解決拋物線的弦及弦中點問題的常用方法(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點,假設(shè)過拋物線的焦點,可直接使用焦點弦公式,假設(shè)不過焦點,那么必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求“整體代入等解法.提醒:涉及弦的中點、斜率時,一般用“點差法求解.1.F為拋物線C:y2=4x的焦點,E為其準(zhǔn)線與x軸的交點,過F的直線交拋物線C于A,B兩點,M為線段AB的中點,且|ME|=,那么|AB|=()A.6B.3C.8D.9【解析】選A.由y2=4x得焦點F(1,0),E(-1,0),設(shè)直線AB的方程為x=ty+1并代入拋物線y2=4x得:y2-4ty-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4×+2+2=6.2.F是拋物線y2=x的焦點,A,B是該拋物線上的兩點,假設(shè)|AF|+|BF|=5,那么線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為_. 【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么由拋物線定義得|AF|+|BF|=5,即x1+x2+=5,那么x1+x2=,所以線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為=.答案:3.(2021·銅川模擬)拋物線C1:y2=2px(p>0)的焦點為F,且F到準(zhǔn)線l的距離為2,過點的直線l與拋物線交于A,B兩點,與準(zhǔn)線l交于點R,假設(shè)=3,那么=_. 【解析】依題意得:C1:y2=4x,焦點F,不妨設(shè)點B在x軸的下方,=xB+1=3,所以xB=2,yB=-2.那么過點的直線l:y=,與y2=4x聯(lián)立消去x得:y2-y-4=0,所以yAyB=-4,yA=,xA=,=.答案:考點三拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)考查拋物線的定義、頂點及直線與拋物線中的最值范圍問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)及數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.2.怎么考:借助距離考查拋物線的定義;結(jié)合函數(shù)單調(diào)性或根本不等式考查最值問題.3.新趨勢:拋物線離心率的求解仍是考查的重點.學(xué)霸好方法1.定義的應(yīng)用:當(dāng)題目中出現(xiàn)到焦點的距離或到準(zhǔn)線(或到與對稱軸垂直直線)的距離時,應(yīng)立即考慮到利用定義轉(zhuǎn)化.2.交匯問題:與函數(shù)、不等式結(jié)合考查范圍最值,要注意定義域問題.與拋物線有關(guān)的最值問題【典例】(2021·沈陽模擬)拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點到準(zhǔn)線的距離為2,直線l與拋物線C交于A,B兩點,過A,B分別作拋物線C的切線l1,l2,且l1與l2交于點M.(1)求p的值.(2)假設(shè)l1l2,求MAB面積的最小值.【解析】(1)由題意知,拋物線焦點為,準(zhǔn)線方程為y=-,焦點到準(zhǔn)線的距離為2,即p=2.(2)拋物線的方程為x2=4y,即y=x2,所以y=x,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1l2,所以·=-1,即x1x2=-4.設(shè)直線l方程為y=kx+m,與拋物線方程聯(lián)立,得 所以x2-4kx-4m=0,=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.聯(lián)立方程得: 即M(2k,-1).M點到直線l的距離d=,|AB|=4(1+k2),所以S=×4(1+k2)×=4(1+k24,當(dāng)k=0時,MAB的面積取得最小值4.拋物線與向量的綜合問題 【典例】過拋物線y2=2px(p>0)的焦點,斜率為2的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點,且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程.(2)O為坐標(biāo)原點,C為拋物線上一點,假設(shè)=+,求的值.【解析】(1)直線AB的方程是y=2x-,與y2=2px聯(lián)立,得4x2-5px+p2=0,由,方程必有兩個不等實根,所以x1+x2=,由拋物線定義知|AB|=x1+x2+p=+p=9,解得p=4,所以拋物線方程為y2=8x.(2)由(1)知,x2-5x+4=0,所以x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,所以A(1,-2),B(4,4).設(shè)C(x3,y3),那么=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2),又=8x3,即2(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.1.(2021·九江模擬)?九章算術(shù)?是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,第九章“勾股,講述了“勾股定理及一些應(yīng)用,還提出了一元二次方程的解法問題直角三角形的三條邊長分別稱“勾“股“弦.設(shè)點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,l是該拋物線的準(zhǔn)線,過拋物線上一點A作準(zhǔn)線的垂線AB,垂足為B,射線AF交準(zhǔn)線l于點C,假設(shè)RtABC的“勾=3、“股=3,那么拋物線方程為()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】選B.由題意可知,拋物線的圖像如圖:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|=6,所以CAB=60°,ABF是正三角形,并且F是AC的中點,又|AB|=3,那么p=,所以拋物線方程為y2=3x.2.M是拋物線x2=4y上一點,F為其焦點,點A在圓C:(x+1)2+(y-5)2=1上,那么|MA|+|MF|的最小值是_. 【解析】由,由點M向拋物線x2=4y的準(zhǔn)線l:y=-1引垂線,垂足為M1,那么有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,結(jié)合圖形知|MA|+|MM1|的最小值等于圓心C(-1,5)到y(tǒng)=-1的距離再減去圓C的半徑,即等于6-1=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5.答案:5點P(x,y)是拋物線y2=4x上任意一點,Q是圓C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一點,那么|PQ|+x的最小值為()A.5B.4C.3D.2【解析】選C.由題意,拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,圓C:(x+2)2+(y-4)2=1的圓心C(-2,4),半徑r=1,P到直線l:x=-1的距離d=|PF|,根據(jù)拋物線的定義,可得點P到y(tǒng)軸的距離為x=d-1,結(jié)合圖像(如下圖)可得當(dāng)C,P,F三點共線時,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.- 11 -