《常微分方程》答案習(xí)題.doc

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習(xí)題3.3 1．Proof若（1）成立則及，，使當(dāng) 時(shí)，初值問(wèn)題 的解滿足對(duì)一切有, 由解關(guān)于初值的對(duì)稱(chēng)性，（3，1）的兩個(gè)解及都過(guò)點(diǎn)，由解的存在唯一性 ，當(dāng)時(shí) 故 若（2）成立，取定，則，，使當(dāng) 時(shí),對(duì)一切有 因初值問(wèn)題 的解為，由解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性， 對(duì)以上，，使當(dāng) 時(shí) 對(duì)一切有 而當(dāng)時(shí)，因 故 這樣證明了對(duì)一切有 2．Proof：因及都在G內(nèi)連續(xù)，從而在G內(nèi)關(guān)于滿足局部Lipschitz條件，因此解在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于是連續(xù)的。 設(shè)由初值和足夠小）所確定的方程解分別為 ， 即， 于是 因及、連續(xù)，因此 這里具有性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，；且當(dāng)時(shí)，因此對(duì)有 即 是初值問(wèn)題 的解，在這里看成參數(shù)0顯然，當(dāng)時(shí)，上述初值問(wèn)題仍然有解。根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數(shù)，從而存在 而是初值問(wèn)題 的解，不難求解 它顯然是的連續(xù)函數(shù)。 3．解：這里滿足解對(duì)初值的可微性定理?xiàng)l件 故： 滿足的解為 故 4．解：這是在（1，0）某領(lǐng)域內(nèi)滿足解對(duì)初值可微性定理?xiàng)l件，由公式 易見(jiàn)是原方程滿足初始條件的解 故