2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 平面解析幾何 10.1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程練習(xí) 理 北師大版

10.1 直線的傾斜角與斜率、直線的方程核心考點·精準(zhǔn)研析考點一直線的傾斜角與斜率 1.直線x+y+1=0的傾斜角是()A.B.C.D.2.(2021·石家莊模擬)直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是()A.B.C.D.3.如下圖,直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,那么()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k1<k3<k2D.k3<k2<k14.假設(shè)點A(4,3),B(5,a),C(6,5)三點共線,那么a的值為_. 【解析】1.選D.由直線的方程得直線的斜率為k=-,設(shè)傾斜角為,那么tan =-,又0<,所以=.2.選B.由直線方程可得該直線的斜率為-,又-1-<0,所以傾斜角的取值范圍是.3.選C.由圖可知k1<0,k2>k3>0,所以k2>k3>k1,應(yīng)選C.4.因為kAC=1,kAB=a-3.由于A,B,C三點共線,所以a-3=1,即a=4.答案:41.傾斜角與斜率k的關(guān)系:(1)當(dāng)時,k0,+),且傾斜角越大,斜率越大.(2)當(dāng)=時,斜率k不存在.(3)當(dāng)時,k(-,0),且傾斜角越大,斜率越大.2.斜率的兩種求法:(1)定義法:假設(shè)直線的傾斜角或的某種三角函數(shù)值,一般根據(jù)k=tan 求斜率.(2)公式法:假設(shè)直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式k=(x1x2)求斜率.【秒殺絕招】第2題可以用檢驗答案的方法求解,假設(shè)傾斜角=,那么斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不對,所以選B.考點二求直線的方程 【典例】1.求過點A(1,3),傾斜角是直線y=-x的傾斜角的的直線方程.2.經(jīng)過圓C:(x+5)2+(y-2)2=1的圓心,且在x軸上截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.3.求過A(2,1),B(m,3)兩點的直線l的方程. 【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1看到點與斜率想到直線方程的點斜式2看到截距想到直線方程的截距式3看到字母想到對斜率是否存在的討論【解析】1.因為y=-x的斜率為k=-,其傾斜角為120°,所以所求直線的傾斜角為60°,其斜率為,所以直線方程為y-3=(x-1),即直線方程為x-y+3-=0.2.因為圓C的圓心為(-5,2),當(dāng)直線不過原點時,設(shè)所求直線方程為+=1,將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0;當(dāng)直線過原點時,設(shè)直線方程為y=kx,那么-5k=2,解得k=-,所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.3.當(dāng)m=2時,直線l的方程為x=2;當(dāng)m2時,直線l的方程為=,即2x-(m-2)y+m-6=0.因為m=2時,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即為x=2,所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.1.在求直線方程時,應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.2.對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用:假設(shè)采用點斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;假設(shè)采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零.3.截距是數(shù),不是距離.它是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo),在x軸上的截距是直線與x軸交點的橫坐標(biāo),在y軸上的截距是直線與y軸交點的縱坐標(biāo).截距可正、可負(fù)、可為0,因此在解與截距有關(guān)的問題時,一定要注意“截距為0的情況,以防漏解.(2021·邯鄲模擬)經(jīng)過點(2,1),且傾斜角比直線y=-x-1的傾斜角小的直線方程是()A.x=2B.y=1C.x=1D.y=2【解析】選A.因為直線y=-x-1的斜率為-1,那么傾斜角為.由,所求直線的傾斜角為-=,斜率不存在,所以過點(2,1)的直線方程為x=2.考點三直線方程的綜合應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)與直線方程有關(guān)的最值問題.(2)數(shù)形結(jié)合思想.(3)根本不等式.(4)函數(shù)的單調(diào)性.2.怎么考:以選擇題或填空題形式出現(xiàn)3.新趨勢:數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的應(yīng)用學(xué)霸好方法1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題根本不等式或函數(shù)法求最值.2.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程,別離參數(shù)法求出定點.3.交匯問題: (1)三角形和四邊形的面積.(2)根本不等式.(3)函數(shù)的單調(diào)性.與不等式相結(jié)合的最值問題【典例】當(dāng)k>0時,兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形面積的最大值為_. 【解析】直線2x+ky-2=0與x軸交于點(1,0).由解得y=,所以兩直線kx-y=0,2x+ky-2=0與x軸圍成的三角形的面積為×1×=,又k+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)k=時取等號,故三角形面積的最大值為.答案:如何用直線方程求出三角形的邊長?提示:根據(jù)直線方程求出交點坐標(biāo)進(jìn)而求得三角形的邊長.與函數(shù)結(jié)合的最值問題【典例】直線x+2y=2分別與x軸、y軸相交于A,B兩點,假設(shè)動點P(a,b)在線段AB上,那么ab的最大值為_.【解析】由題得A(2,0),B(0,1),由動點P(a,b)在線段AB上,可知0b1,且a+2b=2,從而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0b1,故當(dāng)b=時,ab取得最大值.答案:如何找到a,b的關(guān)系進(jìn)行消元?提示:P(a,b)在直線x+2y=2上,將a,b代入直線方程,得到a與b的關(guān)系.由直線方程求參數(shù)的范圍【典例】直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時,實數(shù)a=_.【解析】由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=×2(2-a)+×2(a2+2)=a2-a+4=+.又0<a<2,所以當(dāng)a=時面積最小.答案:四邊形的面積如何轉(zhuǎn)化成三角形的面積?提示:設(shè)題中l(wèi)1與y軸交點為A(0,2-a),l2與x軸交點為B(a2+2,0),那么四邊形OAPB的面積為三角形OAP和三角形OBP的面積之和.1.點P(x,y)在直線x+y-4=0上,那么x2+y2的最小值是()A.8B.2C.D.16【解析】選A.因為點P(x,y)在直線x+y-4=0上,所以y=4-x,所以x2+y2=x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,當(dāng)x=2時,x2+y2取得最小值8.2.過點P(2,1)作直線l,與x軸和y軸的正半軸分別交于A,B兩點,求:(1)AOB面積的最小值及此時直線l的方程.(2) 求|PA|·|PB|的最小值及此時直線l的方程.【解析】(1)設(shè)所求直線l的方程為+=1(a>0,b>0),那么+=1.又因為+2ab4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4,b=2時,AOB面積S=ab有最小值為4.此時,直線l的方程是+=1,即x+2y-4=0.(2)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)為k(k<0),那么直線l的方程為y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),那么A,B(0,1-2k).所以|PA|·|PB|=·=·2=2=22=4.當(dāng)且僅當(dāng)=k2,即k=-1時,等號成立,所以|PA|·|PB|的最小值為4,此時直線l的方程為x+y-3=0.直線l過點M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.求:(1)當(dāng)|OA|+|OB|取得最小值時,直線l的方程.(2)當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時,直線l的方程.【解析】(1)設(shè)直線l的方程為+=1,那么+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2+2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b=2時取等號,此時直線l的方程為x+y-2=0.(2)設(shè)直線l的斜率為k,那么k<0,直線l的方程為y-1=k(x-1),那么A,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)k2=,即k=-1時取等號,此時直線l的方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.- 8 -