2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.6 利用空間向量討論平行與垂直練習(xí) 理 北師大版

9.6 利用空間向量討論平行與垂直核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一利用空間向量證明空間的平行問(wèn)題 1.以下四組向量是平面, 的法向量,那么能判斷,平行的是()a=(1,2,1),b=(1,-2,3)a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)a=(0,1,-1),b=(0,-3,3)a=(18,19,20),b=(1,-2,1)A.B.C.D.2.如下列圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長(zhǎng)為a,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=,那么MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能確定3.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,那么M點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,1,1) B.,1C.,1 D.,14.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,那么x+y=_. 【解析】1.選B.因?yàn)樵谥衋=2b,所以ab,所以,-3a=b,所以,而a不平行于b,所以不平行于,所以只有能判斷,平行.2.選B.分別以C1B1,C1D1,C1C所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)锳1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以·=0.所以.因?yàn)槭瞧矫鍮B1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.3.選C.建系如圖,那么A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),設(shè)M(a,a,1),那么=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一個(gè)法向量n=(1,1,),因?yàn)锳M平面BDE,所以·n=0,可得a=,M的坐標(biāo)為,1.4.因?yàn)?所以vu,所以=,所以所以x+y=.答案:1.證明線面平行的常用方法:(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量共面.(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個(gè)向量平行.(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.2.證明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法證明平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都平行于另一個(gè)平面.(2)證明兩個(gè)平面的法向量平行.(3)證明一個(gè)平面的法向量也是另一個(gè)平面的法向量.秒殺絕招結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理解T3:設(shè)AC與BD相交于O點(diǎn),連接OE,因?yàn)锳M平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,所以AMEO,又O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),所以M為線段EF的中點(diǎn).在空間直角坐標(biāo)系中,E(0,0,1),F(,1).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,知點(diǎn)M的坐標(biāo)為,1.考點(diǎn)二利用空間向量證明空間的垂直問(wèn)題 命題精解讀1.考什么:(1)考查利用空間向量證明線面、面面垂直問(wèn)題.(2)考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).2.怎么考:與空間圖形中與垂直有關(guān)的定理結(jié)合考查利用空間向量證明空間的垂直問(wèn)題.3.新趨勢(shì):以柱、錐、臺(tái)體為載體,與證明空間角綜合命題.學(xué)霸好方法1.證明線面平行和垂直問(wèn)題,可以用幾何法,也可以用向量法.用向量法的關(guān)鍵在于構(gòu)造向量,再用共線向量定理或共面向量定理及兩向量垂直的判定定理.假設(shè)能建立空間直角坐標(biāo)系,其證法較為靈活方便.2.交匯問(wèn)題: 一般先證明線面、面面垂直,再求線面角或二面角.證明線面垂直【典例】如下列圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn). 證明:(1)AECD.(2)PD平面ABE.【證明】AB,AD,AP兩兩垂直,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)PA=AB=BC=1,那么P(0,0,1).(1)因?yàn)锳BC=60°,所以ABC為正三角形,所以C,0,E,.設(shè)D(0,y,0),由ACCD,得· =0,即y=,那么D0,0,所以=-,0.又 =,所以· =-×+×+0=0,所以,即AECD.(2)方法一:因?yàn)镻(0,0,1),所以=0,-1.又· =0+×+×(-1)=0,所以,即PDAE.因?yàn)?(1,0,0),所以· =0.所以PDAB,又ABAE=A,所以PD平面AEB.方法二:=(1,0,0),=,設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),那么令y=2,那么z=-,所以n=(0,2,-).因?yàn)?0,-1,顯然=n.因?yàn)閚,所以平面ABE,即PD平面ABE.向量法證明線面垂直的常見(jiàn)思路有哪些?提示:(1)將線面垂直的判定定理用向量表示.(2)證明直線的方向向量與平面的法向量共線.證明面面垂直【典例】如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點(diǎn),PO平面ABC,垂足O落在線段AD上.BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)證明:APBC.(2)假設(shè)點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn),且AM=3.試證明平面AMC平面BMC.【證明】(1)如下列圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OP為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.那么O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是=(0,3,4),=(-8,0,0),所以·=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以,即APBC.(2)由(1)知AP=5,又AM=3,且點(diǎn)M在線段AP上,所以=0,又=(-8,0,0),=(-4,5,0),=(-4,-5,0),所以=+=-4,-,那么·=(0,3,4)·-4,-,=0,所以,即APBM,又根據(jù)(1)的結(jié)論知APBC,且BMBC=B,所以AP平面BMC,于是AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.向量法證明面面垂直的常見(jiàn)思路有哪些?提示:(1)利用面面垂直的判定定理,證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量.(2)證明兩平面的法向量互相垂直.如圖,在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),PA=AB=1,BC=2.求證:(1)EF平面PAB.(2)平面PAD平面PDC.【證明】以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系,那么A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E,F,=,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).(1)因?yàn)?-,所以,即EFAB,又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因?yàn)?#183;=(0,0,1)·(1,0,0)=0,·=(0,2,0)·(1,0,0)=0,所以,即APDC,ADDC.又APAD=A,所以DC平面PAD.因?yàn)镈C平面PDC,所以平面PAD平面PDC.1.如下列圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1的中點(diǎn).求證:AB1平面A1BD.【證明】方法一:設(shè)平面A1BD內(nèi)的任意一條直線的方向向量為m.由共面向量定理,那么存在實(shí)數(shù),使m=+.令=a,=b,=c,顯然它們不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它們?yōu)榭臻g的一個(gè)基底,那么=a+c,=a+b,=a-c,m=+=+a+b+c,·m=(a-c)·+a+b+c=4+-2-4=0,故m,所以AB1平面A1BD.方法二:如下列圖,取BC的中點(diǎn)O,連接AO.因?yàn)锳BC為正三角形,所以AOBC.因?yàn)樵谡庵鵄BC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中點(diǎn)O1,以O(shè)為原點(diǎn),以,所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).因?yàn)閚,n,故令x=1,那么y=2,z=-,故n=(1,2,-)為平面A1BD的一個(gè)法向量,而=(1,2,-),所以=n,所以n,故AB1平面A1BD.2.如圖,AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB.求證:平面BCE平面CDE.【證明】設(shè)AD=DE=2AB=2a,以A為原點(diǎn),分別以AC,AB所在直線為x軸,z軸,以過(guò)點(diǎn)A垂直于AC的直線為y軸,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系,那么A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).所以=(a,a,a),=(2a,0,-a),=(-a,a,0),=(0,0,-2a).設(shè)平面BCE的法向量為n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0可得即令z1=2,可得n1=(1,-,2).設(shè)平面CDE的法向量為n2=(x2,y2,z2),由n2·=0,n2·=0可得即令y2=1,可得n2=(,1,0).因?yàn)閚1·n2=1×+1×(-)+2×0=0.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.考點(diǎn)三利用空間向量解決平行與垂直的探索性問(wèn)題 【典例】如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動(dòng),且DP=BQ=(0<<2).(1)當(dāng)=1時(shí),證明:直線BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角?假設(shè)存在,求出的值;假設(shè)不存在,說(shuō)明理由.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題(1)由=1,即P,Q為中點(diǎn),想到FPB且FP=BC1 ,可利用向量共線解決,也可以直接用線面平行的判定定理.(2)由平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,想到假設(shè)存在,會(huì)有平面EFPQ與平面PQMN垂直,求出兩平面的法向量,利用向量垂直可求值.【解析】以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正半軸,建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系.由得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,),M(2,1,2),N(1,0,2),=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-2).(1)當(dāng)=1時(shí),=(-1,0,1),因?yàn)?(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)設(shè)平面EFPQ的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),那么由可得于是可取n=(,-,1).同理可得平面PQMN的一個(gè)法向量為m=(-2,2-,1).假設(shè)存在,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角,那么m·n=(-2,2-,1)·(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1±.故存在=1±,使平面EFPQ與平面PQMN所成的二面角為直二面角.對(duì)于“是否存在型問(wèn)題的探索方式有兩種:一種是根據(jù)條件作出判斷,再進(jìn)一步論證;另一種是利用空間向量,先設(shè)出假設(shè)存在點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)條件求該點(diǎn)的坐標(biāo),即找到“存在點(diǎn),假設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)不能求出,或有矛盾,那么判定“不存在.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,PB與底面的夾角為45°,底面ABCD為直角梯形,ABC=BAD=90°,PA=BC=AD=1.(1)求證:平面PAC平面PCD.(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使CE平面PAB?假設(shè)存在,請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)镻A平面ABCD,PB與平面ABCD所成的角為PBA=45°,所以AB=1,由ABC=BAD=90°,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得ACCD.又因?yàn)镻ACD,PAAC=A,所以CD平面PAC,CD平面PCD,所以平面PAC平面PCD.(2)分別以AB,AD,AP所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.那么P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),設(shè)E(0,y,z),那么=(0,y,z-1),=(0,2,-1),因?yàn)榕c共線,所以y·(-1)-2(z-1)=0,因?yàn)?(0,2,0)是平面PAB的法向量,又=(-1,y-1,z),CE平面PAB.所以(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0,所以y=1.將y=1代入,得z=.所以E是PD的中點(diǎn),所以存在E點(diǎn)使CE平面PAB,此時(shí)E為PD的中點(diǎn). 可修改 歡迎下載 精品 Word