2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 4.2 三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式練習(xí) 理 北師大版

4.2 三角函數(shù)的同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式的應(yīng)用 1.(2021·西安模擬)假設(shè)sin =-,且為第四象限角,那么tan = ()A.B.-C.D.-【解析】選D.因?yàn)閟in =-,為第四象限角,所以cos =,所以tan =-.2.cos =k,kR,那么sin =()A.-B.C.±D.【解析】選B.因?yàn)?所以cos <0,sin >0,所以sin =.【巧思妙解】(排除法)選B.因?yàn)?所以sin >0,排除A,C,又-1<k<0,所以>1,故排除D.假設(shè)將題中的“cos =k,kR,換為“sin =k,kR,如何求cos 呢?【解析】因?yàn)?所以cos <0,由平方關(guān)系知cos =-=-.3.tan =,那么:(1)=_. (2)sin2+sin cos +2=_. 【解析】(1)=-.(2)sin2+sin cos +2=3sin2+sin cos +2cos2=.答案:(1)-(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用方法(1)利用sin2+cos2=1可實(shí)現(xiàn)的正弦、余弦的互化,利用=tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.(2)由一個(gè)角的任意一個(gè)三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值,因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系公式,需求平方根,會(huì)出現(xiàn)兩解,需根據(jù)角所在的象限判斷符號(hào),當(dāng)角所在的象限不明確時(shí),要進(jìn)行分類討論.(3)分式中分子與分母是關(guān)于sin ,cos 的齊次式,往往轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan 的式子求解. 【秒殺絕招】1.勾股數(shù)解T1,看到sin =-,想到勾股數(shù)5,12,13,所以cos =±,tan =±,因?yàn)闉榈谒南笙藿?所以tan <0,tan =-.2.轉(zhuǎn)化代入法解T3,(1)將tan =轉(zhuǎn)化為cos =2sin ,將cos =2sin 代入得=-.(2)同理可得.考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【典例】1.假設(shè)f(x)=sin+1,且f(2 020)=2,那么f(2 021)=_. 2.cos=a,那么cos+sin=_.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1看到形如2 020的數(shù)字,想到函數(shù)有周期性.三角函數(shù)可運(yùn)用誘導(dǎo)公式求解2看到三角函數(shù)給值求值問題.想到找出角與未知角的關(guān)系,+=,-=-【解析】1.因?yàn)閒(2 020)=sin+1=sin(1 010+)+1=sin +1=2,所以sin =1,cos =0.所以f(2 021)=sin+1=sin+1=cos +1=1.答案:12.cos=cos=-cos=-a,sin=sin=cos=a,所以cos+sin=-a+a=0.答案:01.利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟也就是:“負(fù)化正,大化小,化到銳角就好了.2.利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)的要求(1)化簡過程是恒等變形.(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡單,能求值的要求出值.1.(2021·淮南十校聯(lián)考)sin=,那么cos的值是()A.-B.C.D.-【解析】選A.因?yàn)閟in=,所以cos=cos=-sin=-.2.(2021·阜陽模擬)計(jì)算sin +cos 的值為()A.-1 B.1 C.0D.-【解析】選A.原式=sin+cos=-sin -cos =-=-1.考點(diǎn)三同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)同角關(guān)系整體代換,sin ±cos 與sin ·cos 之間的關(guān)系,同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用等.(2)考查邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想.2.怎么考:誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系結(jié)合考查求三角函數(shù)值,代數(shù)式的值等.3.新趨勢(shì):以考查同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的應(yīng)用技巧1.切弦互化:主要利用公式tan =化成正弦、余弦,或者利用公式=tan 化成正切2.“1的變換:1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=(sin ±cos )22sin cos =tan3.和積轉(zhuǎn)換:利用關(guān)系式(sin ±cos )2=1±2sin cos 進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化整體代換問題【典例】(2021·合肥模擬)tan =-,那么sin (sin -cos )= ()A.B.C.D.【解析】選A.sin (sin -cos )=sin2-sin cos = =,將tan =-代入得原式=.整體代換是如何實(shí)現(xiàn)的?提示:弦切互化法:主要利用公式tan x=進(jìn)行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等類型可進(jìn)行弦化切.sin ±cos 與sin ·cos 之間的關(guān)系【典例】(2021·蘇州模擬)sin +cos =,(0,),那么tan 的值為_.【解析】因?yàn)閟in +cos =,兩邊平方,得1+2sin cos =,所以2sin cos =-,又(0,),所以sin >0,cos <0,因?yàn)?sin -cos )2=1-2sin cos =,所以sin -cos =,由得sin =,cos =-,所以tan =-.答案:-一般求值問題的步驟如何?提示:(1)將條件或所求式子利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡.(2)從條件中結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系得出需要的結(jié)論.(3)代入化簡后的所求式子,得出最后的結(jié)論.同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用【典例】(2021·保定模擬)tan(3+)=3,那么= ()A.B.C.D.2【解析】選B.因?yàn)閠an(3+)=3,所以tan =3,所以=.運(yùn)用“切弦互化時(shí)有哪些考前須知?提示:(1)弦化切:把正弦、余弦化成切的結(jié)構(gòu)形式,統(tǒng)一為“切的表達(dá)式,進(jìn)行求值.常見的結(jié)構(gòu)有:sin ,cos 的二次齊次式(如asin2+bsin cos +ccos2)的問題常采用“切代換法求解;sin ,cos 的齊次分式的問題常采用分式的根本性質(zhì)進(jìn)行變形.(2)切化弦:一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切的時(shí)候,運(yùn)用公式tan =,把式子中的切化成弦.1.(2021·寶雞模擬)假設(shè)=,那么tan 的值為()A.1B.-1C.3D.-3【解析】選D.因?yàn)?,所以2(sin +cos )=sin -cos ,所以sin =-3cos ,所以tan =-3.2.(2021·唐山模擬)sin=,所以tan 的值為()A.-B.-C.±D.±【解析】選C.sin=sin=cos =,所以sin =±,tan =±.3.,tan(-)=-,那么sin +cos 的值是_. 【解析】tan(-)=tan =-,又,所以sin =,cos =-,所以sin +cos =-.答案:-1.(2021·南充模擬)設(shè)f(x)=asin(x+)+bcos(x+),其中a,b,都是非零實(shí)數(shù).假設(shè)f(2 019)=-1,那么f(2 020)=()A.1B.2C.0D.-1【解析】選A.因?yàn)閒(2 019)=asin(2 019+)+bcos(2 019+)=-asin -bcos =-1,所以asin +bcos =1,所以f(2 020)=asin(2 020+)+bcos(2 020+)=asin +bcos =1.2.(2021·淮安模擬)假設(shè)tan +=,那么的值為_. 【解析】因?yàn)閠an +=,所以tan =2或(舍去),所以=.答案:3.(2021·通州模擬)如圖是由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,假設(shè)直角三角形中較小的內(nèi)角為,大正方形的面積是1,小正方形的面積是,那么sin2-cos2的值是_. 【解析】由題圖知,每個(gè)直角三角形長直角邊為cos ,短直角邊為sin ,小正方形邊長為cos -sin ,因?yàn)樾≌叫蔚拿娣e是,所以(cos -sin )2=,又為直角三角形中較小的銳角,所以cos >sin ,cos -sin =,又(cos -sin )2=1-2sin cos =,所以2sin cos =,(cos +sin )2=1+2sin cos =,cos +sin =,所以sin2-cos2=(sin -cos )(cos +sin )=-×=-.答案:- 11 -