2021版高考數學一輪復習 選修4-4 坐標系與參數方程 2 參數方程練習 理 北師大版

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1、 2 參數方程 核心考點·精準研析 考點一　參數方程與普通方程的互化? 1.假設曲線C的參數方程為(θ為參數),求曲線C的方程. 2.在平面直角坐標系中,假設曲線C的參數方程為(t為參數),求曲線的普通方程. 3.將參數方程(t為參數)化為普通方程. 【解析】1.將曲線C的參數方程化為普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1). 2.依題意,消去參數可得x-2=y-1, 即x-y-1=0. 3.因為x=, y== =4-3×=4-3x. 又x= = =2-∈[0,2), 所以x∈[0,2), 所以所求的普通方程為3x+y-4=0(x∈[0,2))

2、. 　將參數方程化為普通方程的方法 (1)將參數方程化為普通方程,需要根據參數方程的特征,選取適當的消參方法.常見的消參方法有:代入法、加減法、平方法等,對于含三角函數的參數方程,常利用同角三角函數關系式消參. (2)將參數方程化為普通方程時,要注意原參數方程中自變量的取值范圍,不要增解. 考點二　參數方程的應用? 【典例】(2021·全國卷Ⅱ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為 (θ為參數),直線l的參數方程為 (t為參數). (1)求C和l的直角坐標方程. (2)假設曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2),求l的斜率. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題

3、(1)直線的參數方程化為普通方程時注意分類討論 (2)直線的參數方程性質的應用 【解析】(1)曲線C的直角坐標方程為+=1. 當cos α≠0時, l的直角坐標方程為y=tan α·x+2-tan α, 當cos α=0時, l的直角坐標方程為x=1. (2)將l的參數方程代入C的直角坐標方程, 整理得關于t的方程 (1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.① 因為曲線C截直線l所得線段的中點恰為(1,2), 所以①有兩個解, 設為t1,t2,那么t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-, 故2cos α+sin α=0, 于是直線l的斜

4、率k=tan α=-2. 1.直線的參數方程有多種形式,只有標準形式中的參數才具有幾何意義,即參數t的絕對值表示對應的點到定點的距離. 2.根據直線的參數方程的標準形式中t的幾何意義,有如下常用結論: (1)假設直線與圓錐曲線相交,交點對應的參數分別為t1,t2,那么弦長l=|t1-t2|. (2)假設定點M0(標準形式中的定點)是線段M1M2(點M1,M2對應的參數分別為t1,t2,下同)的中點,那么t1+t2=0.　 (3)設線段M1M2的中點為M,那么點M對應的參數為tM=. 設直線l的參數方程為(t為參數,α為傾斜角),圓C的參數方程為 (θ為參數). (1)假

5、設直線l經過圓C的圓心,求直線l的斜率. (2)假設直線l與圓C交于兩個不同的點,求直線l的斜率的取值范圍. 【解析】(1)由得直線l經過的定點是P(3,4),而圓C的圓心是C(1,-1), 所以,當直線l經過圓C的圓心時,直線l的斜率k==. (2)由圓C的參數方程(θ為參數),得圓C的圓心是C(1,-1),半徑為2. 由直線l的參數方程(t為參數,α為傾斜角),得直線l的普通方程為y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0. 當直線l與圓C交于兩個不同的點時,圓心到直線的距離小于圓的半徑,即<2,解得k>.　 即直線l的斜率的取值范圍為. 考點三　極坐標與參

6、數方程的綜合應用　? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)考查距離、弦長、位置關系、取值范圍等問題. (2)考查邏輯推理、數學運算等數學核心素養(yǎng)及數形結合、分類討論等數學思想方法. 2.怎么考:與直線、圓、橢圓、三角函數等數學知識結合考查求弦長、距離、討論位置關系等問題. 3.新趨勢:以參數方程為載體,與其他數學知識交匯考查. 學 霸 好 方 法 取值范圍問題的解題思路: (1)求最值問題:結合直線與圓的關系,求圓上的點到直線的距離的最值,用圓心到直線的距離加減半徑. (2)求取值范圍問題:根據極坐標與參數方程的關系,結合三角函數,根據三角函數的有界性求取值

7、范圍. 交點、距離、弦長問題 【典例】以平面直角坐標系的坐標原點O為極點,以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.直線l的參數方程為(t為參數),曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=4cos θ. (1)求曲線C的直角坐標方程. (2)設直線l與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|. 【解析】(1)由ρsin2θ=4cos θ,可得ρ2sin2θ=4ρcos θ, 所以曲線C的直角坐標方程為y2=4x. (2)將直線l的參數方程代入y2=4x, 整理得4t2+8t-7=0,所以t1+t2=-2,t1t2=-, 所以|AB|== = ==× =×=.　　 曲線的位置關系 【典

8、例】以極點為原點,以極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,曲線C1的極坐標方程為ρ=10,曲線C2的參數方程為(α為參數). (1)判斷兩曲線C1和C2的位置關系.　 (2)假設直線l與曲線C1和C2均相切,求直線l的極坐標方程. 【解析】(1)由ρ=10得曲線C1的直角坐標方程為x2+y2=100,由 得曲線C2的普通方程為(x-3)2+(y+4)2=25. 曲線C1表示以(0,0)為圓心,10為半徑的圓; 曲線C2表示以(3,-4)為圓心,5為半徑的圓. 因為兩圓心間的距離5等于兩圓半徑的差,所以圓C1和圓C2的位置關系是內切. (2)由(1)建立方程組 解得可知兩圓的切點

9、坐標為(6,-8),且公切線的斜率為,所以直線l的直角坐標方程為y+8=(x-6),即3x-4y-50=0, 所以極坐標方程為3ρcos θ-4ρsin θ-50=0. 取值范圍(最值)問題 【典例】(2021·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(t為參數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐標方程; (2)求C上的點到l距離的最小值. 【解析】(1)因為-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x≠-1). l的直角坐標方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設C的參數方程為 . C上的點到l的距離為 =. 當α=-時,4cos+11取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為. - 7 -