2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何 9.2 空間圖形的基本關(guān)系與公理練習(xí) 理 北師大版

9.2 空間圖形的根本關(guān)系與公理核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面的根本性質(zhì) 1. 以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A.三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C.四邊形是平面圖形D.兩條相交直線可以確定一個(gè)平面2.,是平面,a,b,c是直線,=a,=b,=c,假設(shè)ab=P,那么()A.PcB.PcC.ca=D.c=3.在三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F,G,H四點(diǎn),如果EFHG=P,那么點(diǎn)P()A.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上4.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),這四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是()A.B.C.D.【解析】1.選D.A錯(cuò)誤,不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.B錯(cuò)誤,一條直線和直線外一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.C錯(cuò)誤,四邊形不一定是平面圖形.D正確,兩條相交直線可以確定一個(gè)平面.2.選A.如圖,因?yàn)閍b=P,所以Pa,Pb,因?yàn)?a,=b,所以P,P,而=c,所以Pc.3.選B.如下列圖,因?yàn)镋F 平面ABC,HG 平面ACD,EFHG=P,所以P平面ABC,P平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC平面ACD=AC,所以PAC.4.選D.在圖中分別連接PS,QR,易證PSQR,所以P,Q,R,S四點(diǎn)共面;在圖中分別連接PQ,RS,易證PQRS,所以P,Q,R,S共面.在圖中過(guò)點(diǎn)P,Q,R,S可作一正六邊形,故四點(diǎn)共面;在圖中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面.共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明共面的方法:先確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);證兩平面重合.(2)證明共線的方法:先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).【秒殺絕招】排除法解T4,在圖中PS與QR為異面直線,所以四點(diǎn)不共面,可排除A,B,C,直接選D.考點(diǎn)二異面直線所成的角 【典例】1.(2021·全國(guó)卷II)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),那么異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.B.C.D.2.直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,那么異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 ()A.B.C.D.【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1畫(huà)出圖形,由ABCD,聯(lián)想到AE與CD所成角為EAB,解直角三角形.2畫(huà)出圖形,圖中沒(méi)有與AB1,BC1平行的直線,聯(lián)想到作輔助線.【解析】1.選C.因?yàn)镃DAB,所以EAB即為異面直線AE與CD所成角,連接BE,在直角三角形ABE中,設(shè)AB=a,那么BE=a,所以tanEAB=.2.選C.如圖,取AB,BB1,B1C1的中點(diǎn)M,N,P,連接MN,NP,PM,可知AB1與BC1所成的角等于MN與NP所成的角.由題意可知BC1=,AB1=,那么MN=AB1=,NP=BC1=.取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,QM,那么可知PQM為直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosABC=4+1-2×2×1×=7,即AC=.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=AC=.在MQP中,可知MP=.在PMN中,cosPNM=-,又異面直線所成角的范圍為,故所求角的余弦值為.【一題多解】選C.把三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖,連接C1D,BD,那么AB1與BC1所成的角為BC1D(或其補(bǔ)角).由題意可知BC1=,BD=,C1D=AB1=.可知B+BD2=C1D2,所以cosBC1D=.求異面直線所成的角的三個(gè)步驟(1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,假設(shè)BAC=90°,AB=AC=AA1,那么異面直線BA1與AC1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】選C.如圖,可補(bǔ)成一個(gè)正方體,所以AC1BD1.所以BA1與AC1所成的角為A1BD1.又易知A1BD1為正三角形,所以A1BD1=60°.即BA1與AC1成60°的角.2.如圖,圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為. 【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),所以ADBC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D垂直于圓柱下底面,所以C1DAD.因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.答案:考點(diǎn)三空間兩條直線的位置關(guān)系 命題精解讀1.考什么:(1)考查異面直線的判斷,直線平行、垂直的判斷等問(wèn)題.(2)考查直觀想象的核心素養(yǎng).2.怎么考:以柱、錐、臺(tái)、球及組合體為載體,考查直線位置關(guān)系的判斷.3.新趨勢(shì):以異面直線、平行直線為載體考查點(diǎn)的不共面與共面問(wèn)題.學(xué)霸好方法1.直線位置關(guān)系的判斷方法:異面直線可采用直接法或反證法;平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;垂直關(guān)系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來(lái)解決.2.交匯問(wèn)題:與線面、面面平行與垂直相結(jié)合命題.兩條異面直線的判定【典例】在圖中,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),那么表示直線GH、MN是異面直線的圖形有.(填上所有正確答案的序號(hào))【解析】圖中,直線GHMN;圖中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M面GHN,因此直線GH與MN異面;圖中,連接MG,GMHN,因此GH與MN共面;圖中,G,M,N三點(diǎn)共面,但H面GMN,因此GH與MN異面,所以圖中GH與MN異面.答案:兩直線平行或相交的判定【典例】空間四邊形ABCD中,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊BC,CD的中點(diǎn).求證:EG與FH相交.【證明】如圖,連接AC,BD,那么EFAC,HGAC,因此EFHG;同理EHFG,那么EFGH為平行四邊形.又EG,FH是EFGH的對(duì)角線,所以EG與HF相交.1.假設(shè)兩條直線是異面直線,那么稱為一對(duì)異面直線,那么從正方體的12條棱中任取兩條,共有對(duì)異面直線() A.48B.36C.24D.12【解析】選C.每一條棱所在的直線與其余的棱所在的直線成異面直線的有4對(duì),所以共有4×12=48對(duì),但是這48對(duì)中每一種都重復(fù)了一對(duì),所以所求的異面直線共有24對(duì).2.如下列圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:直線AM與CC1是相交直線;直線AM與BN是平行直線;直線BN與MB1是異面直線;直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為.(注:把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上) 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A在平面CDD1C1外,點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi),直線CC1在平面CDD1C1內(nèi),CC1不過(guò)點(diǎn)M,所以AM與CC1是異面直線,故錯(cuò);取DD1中點(diǎn)E,連接AE,那么BNAE,但AE與AM相交,故錯(cuò);因?yàn)辄c(diǎn)B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi),點(diǎn)M在平面BCC1B1外,BN不過(guò)點(diǎn)B1,所以BN與MB1是異面直線,故正確;同理正確,故填.答案:1.假設(shè)直線l1和l2是異面直線,l1在平面內(nèi),l2在平面內(nèi),l是平面與平面的交線,那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交【解析】選D.由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.2.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中點(diǎn),那么以下表達(dá)正確的選項(xiàng)是()A.CC1與B1E是異面直線B.C1C與AE共面C.AE與B1C1是異面直線D.AE與B1C1所成的角為60°【解析】選C.由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi),故C1C與B1E是共面的,所以A錯(cuò)誤;由于C1C在平面C1B1BC內(nèi),而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn),點(diǎn)E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線,B錯(cuò)誤;同理AE與B1C1是異面直線,C正確;而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角,E為BC中點(diǎn),ABC為正三角形,所以AEBC,D錯(cuò)誤. 可修改 歡迎下載 精品 Word