2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)及其應(yīng)用 2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性練習(xí) 理 北師大版

2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性核心考點·精準(zhǔn)研析考點一函數(shù)奇偶性的判斷 1.以下函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.f(x)= B.f(x)=exC.f(x)=cos xD.f(x)=ex-e-x2.函數(shù)f(x)=3x-,那么f(x)()A.是奇函數(shù),且在R上是增加的B.是偶函數(shù),且在R上是增加的C.是奇函數(shù),且在R上是減少的D.是偶函數(shù),且在R上是減少的3.假設(shè)函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(xR)是偶函數(shù),那么()A.函數(shù)f(g(x)是奇函數(shù)B.函數(shù)g(f(x)是奇函數(shù)C.函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù)4.定義在R上的函數(shù)f(x),對任意的x1,x2R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,那么以下命題正確的選項是()A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)是偶函數(shù)C.f(x)+5是奇函數(shù)D.f(x)+5是偶函數(shù)【解析】1.選D.對于A,定義域不關(guān)于原點對稱,故不是奇函數(shù);對于B, f(-x)=e-x=-f(x),故不是奇函數(shù);對于C,f(-x)=cos(-x)=cos x-f(x),故不是奇函數(shù);對于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函數(shù).2.選A.因為函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因為函數(shù)y=在R上是減少的,所以函數(shù)y=-在R上是增加的.又因為y=3x在R上是增加的,所以函數(shù)f(x)=3x-在R上是增加的.3.選C.令h(x)=f(x)·g(x),因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函數(shù).4.選C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,那么fx+(-x)-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-f(x)+5,所以函數(shù)f(x)+5是奇函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法:利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式:=±1(f(x)0)判斷函數(shù)的奇偶性.(2)圖像法:利用函數(shù)圖像的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性.(3)驗證法:即判斷f(x)±f(-x)是否為0.(4)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考點二函數(shù)的周期性及應(yīng)用 【典例】1.(2021·南昌模擬)函數(shù)f(x)=如果對任意的nN*,定義fn(x)=,那么f2 019(2)的值為()A.0B.1C.2D.32.函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),假設(shè)對于x0,都有f(x+2)=-,且當(dāng)x0,2)時,f(x)=log2(x+1),那么f(-2 017)+f(2 019)的值為()A.0B.-4 C.-2 D.23.(2021·重慶模擬)奇函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,當(dāng)x0,3時,f(x)=-x,那么f(-16)=_.【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由想到周期函數(shù)2由f(x+2)=-,想到周期函數(shù)3由f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,想到f(x)=f(6-x)【解析】1.選C.因為f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,所以fn(2)的值具有周期性,且周期為3,所以f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2.2.選A.當(dāng)x0時,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x0)的一個周期.所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,f(2 019)=f(3)=-=-1,所以f(-2 017)+f(2 019)=0.3.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=3對稱,那么有f(x)=f(6-x),又由函數(shù)為奇函數(shù),那么f(-x)=-f(x),那么有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),那么f(x)的最小正周期是12,故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.答案:21.抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(x-b),那么T=|a+b|.(5)如果f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于x=b對稱,那么T=4|a-b|.(6)如果f(x)的圖像關(guān)于(a,0)對稱,且關(guān)于(b,0)對稱,那么T=2|a-b|.2.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b-x)說明的是函數(shù)圖像的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(ab)說明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.1.(2021·菏澤模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為,且是奇函數(shù),f=1,那么f的值為()A.1B.-1C.0D.2【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的周期為,所以f=f=f,因為f(x)為奇函數(shù),所以f=-f=-1.2.(2021·長春模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為6,且f(x)=那么f(-7)+f(8)=()A.11B.C.7D.【解析】選A.根據(jù)f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.3.f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).假設(shè)當(dāng)x-3,0時,f(x)=6-x,那么f(919)=_. 【解析】因為f(x+4)=f(x-2),所以f(x+2)+4=f(x+2)-2即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期為6的周期函數(shù),所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:6考點三函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 命題精解讀1.考什么:(1)求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值,奇偶性與單調(diào)性、奇偶性與周期性交匯等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對稱性(奇偶性質(zhì)的擴(kuò)展)等知識單獨(dú)或交匯考查.學(xué)霸好方法奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值【典例】1.(2021·全國卷)f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=-eax.假設(shè)f(ln 2)=8,那么a=_. 2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=2x2-x,那么當(dāng)x>0時,f(x)= ()A.2x2-xB.2x2+xC.-2x2-xD.-2x2+x【解析】1.因為ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函數(shù),所以f(-ln 2)=-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.答案:-32.選C.當(dāng)x>0時,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.1.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的解析式?提示:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的函數(shù)值?提示:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的函數(shù)值求解.奇偶性與單調(diào)性交匯問題【典例】函數(shù)f(x)在(-,+)上是減少的,且為奇函數(shù).假設(shè)f(1)=-1,那么滿足-1f(x-2)1的x的取值范圍是 ()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3【解析】選D.由,得f(-1)=1,使-1f(x)1成立的x滿足-1x1,所以由-1x-21得1x3,即使-1f(x-2)1成立的x滿足1x3.解決與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式問題的關(guān)鍵是什么?提示:利用題設(shè)條件,想方法去掉“f符號即可解決.奇偶性與周期性交匯問題【典例】(2021·全國卷)f(x)是定義域為(-,+)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).假設(shè)f(1)=2,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(50)= ()A.-50B.0C.2D.50【解析】選C.f(x)是定義域為(-,+)的奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,滿足f(1-x)=f(1+x),那么f(x+4)=f(1-(x+3)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1)=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期為4的函數(shù).又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解項數(shù)較多的式子的值?提示:因為多項式個數(shù)較多,可能與函數(shù)的周期性有關(guān),可依據(jù)題設(shè)條件,先探索函數(shù)的周期性,再去求解.1.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= 那么g(-8)= ()A.-2B.-3C.2 D.3【解析】選A.方法一:當(dāng)x<0時,-x>0,且f(x)為奇函數(shù),那么f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.方法二:由題意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.2.(2021·石家莊模擬)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),假設(shè)f(1)<1,f(5)=,那么實數(shù)a的取值范圍為()A.(-1,4)B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0)【解析】選A.因為函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化簡得(a-4)(a+1)<0,解得-1<a<4. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),那么a=_. 【解析】因為f(x)=為奇函數(shù),所以f(1)+f(-1)=0,即+=0,所以a=-1.答案:-11.(2021·滁州模擬)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),那么f(2 017)+f(2 019)的值為_. 【解析】由題意得,g(-x)=f(-x-1),因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),所以f(x-1)=-f(x+1),即f(x-1)+f(x+1)=0.所以f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0.答案:02.(2021·榆林模擬)f(x)=2x+為奇函數(shù),g(x)=bx-log2(4x+1)為偶函數(shù),那么f(ab)=()A.B.C.-D.-【解析】選D.根據(jù)題意,f(x)=2x+為奇函數(shù),那么f(-x)+f(x)=0,即+=0,解得a=-1.g(x)=bx-log2(4x+1)為偶函數(shù),那么g(x)=g(-x),即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1),解得b=1,那么ab=-1,所以f(ab)=f(-1)=2-1-=-. 可修改 歡迎下載 精品 Word