初中數(shù)學(xué)新人教版八上期考?jí)狠S題匯編
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初中數(shù)學(xué)新人教版八上期考?jí)狠S題匯編(三角形部分) 一、動(dòng)點(diǎn)問題: 例1(1)如圖10,在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90,M為AB中點(diǎn),AF=CE,請(qǐng)判斷△MEF的形狀. ?。?)已知:如圖11在Rt△ABC中, AC=BC, ∠C=90,點(diǎn)D為AB上任一點(diǎn),DF⊥AC于F, DE⊥BC于E,M為BC的中點(diǎn). ?、?判斷△MEF是什么形狀的三角形并證明你的結(jié)論. ?、?當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形FMEC的面積是否會(huì)改變,并證明你的結(jié)論. ?、?當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖12,①中的結(jié)論還成立嗎? 思路點(diǎn)撥:在等腰三角形中,M為底邊AB的中點(diǎn),連結(jié)CM是常用的輔助線. 解析:(1)△MEF是等腰直角三角形. ?。?)①△MEF是等腰直角三角形.理由如下: 連結(jié)CM,如圖13 ∵DF⊥AC于F, DE⊥BC于E,∠ACB=90 ∴四邊形CEDF為長(zhǎng)方形,∴DF=CE ∵在Rt△ABC中,AB=AC,∠ACB=90, M為AB中點(diǎn), ∴∠A=∠1=45,CM⊥AB,AM=BM=CM. 圖 13 ∵在Rt△ADF中,∠A=45 ∴AF=DF,∴AF=CE ∵在△AMF和△CME中 ∴△AMF≌△CME(SAS) ∴MF=ME,∠2=∠3 ∵∠2+∠CMF=90,∴∠3+∠CMF=90,即∠EMF=90 ∴△MEF是等腰直角三角形. ②當(dāng)點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形FMEC的面積不會(huì)改變,證明如下: 由①可知,△AMF≌△CME,∴S△AMF=S△CME. ∵S△ACM=S△BCM,∴S△CMF=S△BME, ∴S四邊形FMEC=S△CMF+ S△CME=S△ABC. ∴四邊形FMEC的面積不會(huì)改變. ③成立,理由如下:連結(jié)CM,如圖14 ∵DF⊥AC于F, DE⊥BC于E,∠ACB=90 ∴四邊形CEDF為長(zhǎng)方形,∴DF=CE ∵在Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90,M為AB中點(diǎn), ∴∠BAC=∠1=45,CM⊥AB,AM=BM=CM. ∴∠MAF=∠MCE=135. ∵在Rt△ADF中,∠DAF=∠BAC=45 ∴AF=DF,∴AF=CE ∵在△AMF和△CME中 ∴△AMF≌△CME(SAS) ∴MF=ME,∠AMF=∠CME ∵∠CME+∠AME=90,∴∠AMF+∠AME=90,即∠EMF=90 ∴△MEF是等腰直角三角形. 總結(jié)升華:對(duì)比(2)中的①與③,都是先證明四邊形CEDF是長(zhǎng)方形,從而得到AF=CE,接著證△AMF≌△CME,得到MF=ME,且∠EMF=90,可以看出這兩問的證明思路大體上是相同的.也就是說,在這類問題中,可以通過第一問的解決來推測(cè)下面問題的推理方法,從而達(dá)到解題的目的. 舉一反三 【變式1】已知四邊形中,,,,,,繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長(zhǎng)線)于.當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖15),易證.當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí),在圖16和圖17這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,線段,又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,不需證明. 【答案】 圖16,延長(zhǎng)EA到O,使得OA=CF,連結(jié)OB,易證△ABO≌△CBF,OB=BF,進(jìn)而證明△BEF≌△BEO,即可得到EF=AE+CF. 圖17中,在AE中取一點(diǎn)O,使得OA=CF,連結(jié)OB,易證△ABO≌△CBF ,OB=BF,進(jìn)而證明△BEF≌△BEO,即可得到EF=AE-CF. 【變式2】已知:正方形中,,繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn).當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖18),易證. (1)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)(如圖19),線段和之間有怎樣的數(shù)量 關(guān)系?寫出猜想,并加以證明. ?。?)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖20的位置時(shí),線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想. 【答案】此題與第1題方法相同. (1)BM+DN=MN;(2)DN-BM=MN. 21.如圖1,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),設(shè)∠AOB=,∠BOC= (1)將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得△ADC,連結(jié)OD,如圖2所示. 求證:OD=OC。 (2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得△EAC,連結(jié)DE,如圖3所示. 求證:OA=DE (3)在(2)的基礎(chǔ)上, 當(dāng)、滿足什么關(guān)系時(shí),點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上。并直接寫出AO+BO+CO的最小值。 27.已知:如圖,中,,于,平分,且于,與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn),連結(jié)與相交于點(diǎn). (1)求證:; (2)求證:; (3)與的大小關(guān)系如何?試證明你的結(jié)論. 21、(8分) 已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn). (1)直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖①),求證:AE=CG; (2)直線AH垂直于直線CE,垂足為點(diǎn) H,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M(如圖②),找出圖中與BE相等的線段,并證明. 25.(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE. (2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由. (3) 拓展與應(yīng)用:如圖(3),D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF 的形狀并說明理由。 21.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分別以AB,CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF,連接AF,DE. (1)求證:AF=DE; (2)若∠BAD=45,AB=a,△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積,求BC的長(zhǎng). 考點(diǎn): 等腰梯形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì)。 專題: 探究型。 分析: (1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可; (2)如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長(zhǎng). 解答: (1)證明:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD, ∴∠BAD=∠CDA, 而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中, AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60, ∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA, ∴△AED≌△DFA(SAS), ∴AF=DE; (2)解:如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,則有BC=HK, ∵∠BAD=45, ∴∠HAB=∠KDC=45, ∴AB=BH=AH, 同理:CD=CK=KD, ∵S梯形ABCD=,AB=a, ∴S梯形ABCD==, 而S△ABE=S△DCF=a2, ∴=2a2, ∴BC=a. 點(diǎn)評(píng): 本題綜合性的考查了等腰梯形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)以及等于直角三角形的性質(zhì)和梯形、三角形的面積公式,屬于中檔題目. 15.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=50.∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O,點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合,則∠CEF的度數(shù)是 50?。? 考點(diǎn): 翻折變換(折疊問題);線段垂直平分線的性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì)。 分析: 利用全等三角形的判定以及垂直平分線的性質(zhì)得出∠OBC=40,以及∠OBC=∠OCB=40,再利用翻折變換的性質(zhì)得出EO=EC,∠CEF=∠FEO,進(jìn)而求出即可. 解答: 解:連接BO, ∵∠BAC=50,∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O, ∴∠OAB=∠ABO=25, ∵等腰△ABC中, AB=AC,∠BAC=50, ∴∠ABC=∠ACB=65, ∴∠OBC=65-25=40, ∵, ∴△ABO≌△ACO, ∴BO=CO, ∴∠OBC=∠OCB=40, ∵點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合, ∴EO=EC,∠CEF=∠FEO, ∴∠CEF=∠FEO==50, 故答案為:50. 點(diǎn)評(píng): 此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),利用翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵. 【9. 2012泰安】 26.如圖,在△ABC中,∠ABC=45,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D,E,F(xiàn)為BC中點(diǎn),BE與DF,DC分別交于點(diǎn)G,H,∠ABE=∠CBE. (1)線段BH與AC相等嗎?若相等給予證明,若不相等請(qǐng)說明理由; (2)求證:BG2﹣GE2=EA2. 考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì);勾股定理。 解答:證明:(1)∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90,∠ABC=45, ∴∠BCD=45=∠ABC,∠A+∠DCA=90,∠A+∠ABE=90, ∴DB=DC,∠ABE=∠DCA, ∵在△DBH和△DCA中 ∵∠DBH=∠DCA,∠BDH=∠CDA,BD=CD, ∴△DBH≌△DCA, ∴BH=AC. (2)連接CG, ∵F為BC的中點(diǎn),DB=DC, ∴DF垂直平分BC, ∴BG=CG, ∵∠ABE=∠CBE,BE⊥AC, ∴∠AEB=∠CEB, 在△ABE和△CBE中 ∵∠AEB=∠CEB,BE=BE,∠CBE=∠ABE, ∴△ABE≌△CBE, ∴EC=EA, 在Rt△CGE中,由勾股定理得:BG2﹣GE2=EA2. 26.(12分)在?ABCD中,∠ADC的平分線交直線BC于點(diǎn)E、交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AC. (1)如圖1,若∠ADC=90,G是EF的中點(diǎn),連接AG、CG. ①求證:BE=BF. ②請(qǐng)判斷△AGC的形狀,并說明理由; (2)如圖2,若∠ADC=60,將線段FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至FG,連接AG、CG.那么△AGC又是怎樣的形狀.(直接寫出結(jié)論不必證明) 考點(diǎn): 平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等邊三角形的判定;等腰直角三角形. 專題: 壓軸題. 分析: (1)①先判定四邊形ABCD是矩形,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠ABC=90,AB∥DC,AD∥BC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF,再根據(jù)DF是∠ADC的平分線,利用角平分線的定義得到∠ADF=∠FDC,從而得到∠F=∠BEF,然后根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明; ②連接BG,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠F=∠BEF=45,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BG=FG,∠F=∠CBG=45,然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=CG,再求出∠GAC+∠ACG=90,然后求出∠AGC=90,然后根據(jù)等腰直角三角形的定義判斷即可; (2)連接BG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BFG是等邊三角形,再根據(jù)角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求出AF=AD,平行四邊形的對(duì)角相等求出∠ABC=∠ADC=60,然后求出∠CBG=60,從而得到∠AFG=∠CBG,然后利用“邊角邊”證明△AFG和△CBG全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=CG,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FAG=∠BCG,然后求出∠GAC+∠ACG=120,再求出∠AGC=60,然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判定即可. 解答: (1)證明:①∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ABC=90, ∴四邊形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90,AB∥DC,AD∥BC, ∴∠F=∠FDC,∠BEF=∠ADF, ∵DF是∠ADC的平分線, ∴∠ADF=∠FDC, ∴∠F=∠BEF, ∴BF=BE; ②△AGC是等腰直角三角形. 理由如下:連接BG, 由①知,BF=BE,∠FBC=90, ∴∠F=∠BEF=45, ∵G是EF的中點(diǎn), ∴BG=FG,∠F=∠CBG=45, ∵∠FAD=90, ∴AF=AD, 又∵AD=BC, ∴AF=BC, 在△AFG和△CBG中,, ∴△AFG≌△CBG(SAS), ∴AG=CG, ∴∠FAG=∠BCG, 又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90, ∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90, 即∠GAC+∠ACG=90, ∴∠AGC=90, ∴△AGC是等腰直角三角形; (2)連接BG,∵FB繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至FG, ∴△BFG是等邊三角形, ∴FG=BG,∠FBG=60, 又∵四邊形ABCD是平行四邊形,∠ADC=60, ∴∠ABC=∠ADC=60 ∴∠CBG=180﹣∠FBG﹣∠ABC=180﹣60﹣60=60, ∴∠AFG=∠CBG, ∵DF是∠ADC的平分線, ∴∠ADF=∠FDC, ∵AB∥DC, ∴∠AFD=∠FDC, ∴∠AFD=∠ADF, ∴AF=AD, 在△AFG和△CBG中,, ∴△AFG≌△CBG(SAS), ∴AG=CG,∠FAG=∠BCG, 在△ABC中,∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180﹣60=120, ∴∠AGC=180﹣(∠GAC+∠ACG)=180﹣120=60, ∴△AGC是等邊三角形. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),難度較大,作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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