《常微分方程》答案-習(xí)題1.2

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習(xí)題1.2 1．=2xy,并滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：=2xdx 兩邊積分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0時(shí)，y=0 原方程的通解為y= cex,x=0 y=1時(shí) c=1 特解為y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx 兩邊積分: -=-ln|x+1|+ln|c| y= 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1時(shí) c=e 特解：y= 3．= 解：原方程為：= dy=dx 兩邊積分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程為： dy=-dx 兩邊積分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程為： =- 令=u 則=u+x 代入有： -du=dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg. 6. x-y+=0 解：原方程為： =+- 則令=u =u+ x du=sgnx dx arcsin=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程為：= 兩邊積分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny== 另外y=0也是原方程的解，而c=0時(shí)，y=0. 所以原方程的通解為sinycosx=c. 8 +=0 解：原方程為：=e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程為：=ln 令=u ,則=u+ x u+ x=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln=cy. 10. =e 解：原方程為：=ee e=ce 11 =(x+y) 解：令x+y=u,則=-1 -1=u du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. = 解：令x+y=u,則=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13. = 解: 原方程為：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c 14: = 解：原方程為：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c. 15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程為：=（x+4y）+3 令x+4y=u 則=- -=u+3 =4 u+13 u=tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=(x+4y+1). 16:證明方程=f(xy),經(jīng)變換xy=u可化為變量分離方程，并由此求下列方程： 1） y(1+xy)dx=xdy 2） = 證明： 令xy=u,則x+y= 則=-，有： =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化為變量分離方程。 1） 令xy=u 則=- (1) 原方程可化為：=[1+（xy）] (2) 將1代入2式有：-=(1+u) u=+cx 17.求一曲線，使它的切線坐標(biāo)軸間的部分初切點(diǎn)分成相等的部分。 解：設(shè)（x +y ）為所求曲線上任意一點(diǎn)，則切線方程為：y=y’(x- x )+ y 則與x軸，y軸交點(diǎn)分別為： x= x - y= y - x y’ 則 x=2 x = x - 所以 xy=c 18.求曲線上任意一點(diǎn)切線與該點(diǎn)的向徑夾角為0的曲線方程，其中 = 。 解：由題意得：y’= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 則y=tgx 所以 c=1 y=x. 19.證明曲線上的切線的斜率與切點(diǎn)的橫坐標(biāo)成正比的曲線是拋物線。 證明：設(shè)(x,y)為所求曲線上的任意一點(diǎn)，則y’=kx 則：y=kx +c 即為所求。