高等數學(同濟第六版)上冊期末復習重點

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第一章：1、極限（夾逼準則） 2、連續(xù)（學會用定義證明一個函數連續(xù)，判斷間斷點類型） 第二章：1、導數（學會用定義證明一個函數是否可導） 注：連續(xù)不一定可導，可導一定連續(xù) 2、求導法則（背） 3、求導公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并靈活運用--第一節(jié)） 2、洛必達法則 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲線凹凸性、極值（高中學過，不需要過多復習） 5、曲率公式 曲率半徑 第四章、第五章：積分 不定積分：1、兩類換元法 2、分部積分法 （注意加C ） 定積分： 1、定義 2、反常積分 第六章：定積分的應用 主要有幾類：極坐標、求做功、求面積、求體積、求弧長 第七章：向量問題不會有很難 1、方向余弦 2、向量積 3、空間直線（兩直線的夾角、線面夾角、求直線方程） 3、空間平面 4、空間旋轉面（柱面） 第一章函數與極限 　　1、函數的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數f(x)在定義域上有下界，K1 為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。 　　2、數 列的極限定理(極限的唯一性)數列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。 　　定理(收斂數列的有界性)如果數列{xn}收斂，那么數列 {xn}一定有界。 　　如果數列{xn}無界，那么數列{xn}一定發(fā)散；但如果數列{xn}有界，卻不能斷定數列{xn}一定收斂，例如數列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數列有界但是發(fā)散，所以數列有界是數列收斂的必要條件而不是充分條件。 　　定理(收斂數列與其子數列的 關系)如果數列{xn}收斂于a，那么它的任一子數列也收斂于a.如果數列{xn}有兩個子數列收斂于不同的極限，那么數列{xn}是發(fā)散的，如數列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數列的子數列也有可能 是收斂的。 　　3、函數的極限函數極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒 有定義無關。 　　定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點那么x0的 某一去心鄰域，當x在該鄰域內時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 　　函數f(x)當x→x0時極限存在的充分必 要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。 　　一般的說，如果 lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數 y=f(x)圖形的鉛直漸近線。 　　4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮??；有界函數與無窮小的乘積是無窮??；常數與無窮小的乘積是 無窮??；有限個無窮小的乘積也是無窮??；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 　　 5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數列 {xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。 　 　單調有界數列必有極限。 　　6、函數的連續(xù)性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等 于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續(xù)。 　　不連續(xù)情形：1、在 點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但 lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續(xù)或間斷。 　　如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱 x0為函數f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點 和震蕩間斷點)。 　　定理有限個在某點連續(xù)的函數的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數。 　　定理如果函數f(x)在區(qū)間 Ix上單調增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數在他們的 定義域內都是連續(xù)的。 　　定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區(qū)間內連續(xù)或函數在閉區(qū) 間上有間斷點，那么函數在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。 　　定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界，即 m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)f(b)<0)，那么在開區(qū) 間(a，b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ函數在該點處連續(xù)；函數f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數在某點連續(xù)是函數在該點可導的必要條件而不是充分條件。 　 　3、原函數可導則反函數也可導，且反函數的導數是原函數導數的倒數。 　　4、函數f(x)在點x0處可微=>函數在該點處可導；函數 f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數在該點處可導。 　　第三章中值定理與導數的應用 　 　1、定理(羅爾定理)如果函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且在區(qū)間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在 開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ0，那么函數f(x)在[a，b]上單調增加；(2)如 果在(a，b)內f’(x)<0，那么函數f(x)在[a，b]上單調減少。 　　如果函數在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數不存在的點外 導數存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內保持固定符 號，因而函數f(x)在每個部分區(qū)間上單調。 　　6、函數的極值如果函數f(x)在區(qū)間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，如果 存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。 　　在函數 取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數不一定取得極值，即可導函數的極值點必定是它的駐點(導數為0的點)，但函數的駐點卻 不一定是極值點。 　　定理(函數取得極值的必要條件)設函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數在x0的導數為零，即f’ (x0)=0.定理(函數取得極值的第一種充分條件)設函數f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側臨近的值 時，f’(x)恒為正；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側臨近的值時，f’ (x)恒為負；當x去x0右側臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側臨近的值時，f’(x) 恒為正或恒為負，那么函數f(x)在x0處沒有極值。 　　定理(函數取得極值的第二種充分條件)設函數f(x)在x0處具有二階導數且f’ (x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)<0時，函數f(x)在x0處取得極大值；(2)當f’’(x0)>0時，函 數f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。 　　7、函數的凹凸性及其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如 果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 　　定理設函數f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內具有一階和二階導數，那么(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形 是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。 　　判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟 (1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在 x0左右兩側鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號 相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。 　　在做函數圖形的時候，如果函數有間斷點或導數不存在的點，這些點也要作為分點。 第四章不定積分 　　1、原函數存在定理定理如果函數f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數 F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數一定有原函數。 　　分部積分發(fā)如果被積函數是冪函數和正余弦或冪函數和指 數函數的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數和指數函數為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數的冪降低一次。如果被積函數是冪函數和對數函數或 冪函數和反三角函數的乘積，就可設對數和反三角函數為u. 　　2、對于初等函數來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數一定存在，但原函數不一定都是 初等函數。 　　第五章定積分 　　1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線 運動的路程 　　2、函數可積的充分條件定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。 　 　定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。 　　3、定積分的若干重要性質性質如果在區(qū) 間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推 論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M及m分別是函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b- a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質說明由被積函數在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。 　　性質(定積分中值 定理)如果函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 　 　4、關于廣義積分設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a可偏導。 　　5、多元函數可微的充分條件定理(充分條件)如果函數z=f(x，y)的偏導數存在且在點 (x，y)連續(xù)，則函數在該點可微分。 　　6.多元函數極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)具 有偏導數，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數必為零。 　　定理(充分條件)設函數z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域 內連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下： (1)AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC- B2=0時可能有也可能沒有。 　　7、多元函數極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數解，即可求得 一切駐點。 　　(2)對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階偏導數的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定 f(x0，y0)是否是極大值、極小值。 　　注意：在考慮函數的極值問題時，除了考慮函數的駐點外，如果有偏導數不存在的點，那么對這些點也應 當考慮在內。 　　第八章二重積分 　　1、二重積分的一些應用曲頂柱體的體積曲面的面積 (A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ) 　　平面薄片的質量平面薄片的重心坐標(x=1/A∫∫xdσ，y=1 /A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。 　　平面薄片的轉動慣量 (Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(x，y)處的密度。 　　平面薄片對質點的引力 (FxFyFz) 　　2、二重積分存在的條件當f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時，極限存在，故函數f(x，y)在D上的二重積分必定存在。 　 　3、二重積分的一些重要性質性質如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于 -|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質設M，m分別是 f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。 　　性質(二重積分的中值定理)設函數 f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重積分中標量 在直角與極坐標系中的轉換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素 dxd來源:考試大- 考研站 導數公式： 基本積分表： 三角函數的有理式積分： 一些初等函數： 兩個重要極限： 三角函數公式： 誘導公式： 函數 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90-α cosα sinα ctgα tgα 90+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180+α -sinα -cosα tgα ctgα 270-α -cosα -sinα ctgα tgα 270+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360+α sinα cosα tgα ctgα 和差角公式： 和差化積公式： 倍角公式： 半角公式： 正弦定理： 余弦定理： 反三角函數性質： 高階導數公式——萊布尼茲（Leibniz）公式： 中值定理與導數應用： 曲率： 定積分的近似計算： 定積分應用相關公式：