有限元方法及軟件應(yīng)用有限元平面問題3

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Finite Element Method 3．面力的移置 設(shè)三角形單元某邊界s 上受面力q 作用，分量為，，則 取ds 則 由一般公式： 積分在邊界s上 以上三種載荷的等效節(jié)點荷載由公式e導(dǎo)出 通常我們稱： 為荷載移量的一般公式： 幾點說明： 1． 虛功等效靜力等效。 唯一性 2． 一般 3． 更多節(jié)點的單元公式形式不變，但不同 4． 雖然公式e導(dǎo)出但對于面力和體力的計算都是很麻煩和困難的 N為x,y 的函數(shù)，若p, q再為 x, y 的函數(shù)則更難，且單移分限不好定。 因此，我們將來還要進(jìn)一步把這個問題解決好。 四． 三角形單元的面積坐標(biāo)（自然坐標(biāo)，局部坐標(biāo)） 1． 面積坐標(biāo)的定義： 圖示三角形單元 I ,j ,k 中任意一點m ，其位置可由xoy坐標(biāo)系中兩個坐標(biāo)來確定，即m(x,y) 若我們連接,,,則形成了3 個小三角形ijm, ikm, jkm. 則有：若m(x,y)確定ijm, ikm, jkm.面積確定。 反之，ijm, ikm, jkm.面積確定m(x,y)確定 （用同底等高的概念解釋！?。? 因此，三角形單元內(nèi)任一點可以 我們?nèi)绾斡萌切蚊娣e來描述m點的位置呢？ 定義：節(jié)點I對邊為底的三角形面積為; 節(jié)點j對邊為底的三角形面積為; 節(jié)點k對邊為底的三角形面積為; 設(shè)三角形單元的面積為A 令 （2-37） 則三個比值，，稱為三角形單元中m點的面積坐標(biāo). 2.三角形面積坐標(biāo)的性質(zhì)： 1》 面積坐標(biāo)為三角形單元的局部坐標(biāo)，與三角形的形狀及位置無關(guān)。其定義域為 ； 2》 三個面積坐標(biāo)之和：++=1.即只有兩個面積坐標(biāo)是獨立的。（2-38） 證明：++=++=（++）=1 （亦可幾何解釋）。 3》 三角形單元內(nèi)與jk邊平行的直線上各點相同（輪換）。（同底等高三角形=） 4》 形心處的面積坐標(biāo)為： ===1/3 （2-39） 5》 三角形單元節(jié)點的面積坐標(biāo)為： （2-40） 證：節(jié)點I: =A. ==0. 3.三角形面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)及形函數(shù)的關(guān)系 下面我們來推導(dǎo)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系： 設(shè)m點的坐標(biāo)為m(x,y),m 為任一點 則：= =（） =[（）+（）+（）] 顯然： ， ， =（） （2-41） 與表達(dá)式比較可知：三節(jié)點三角形單元的面積坐標(biāo)就是其形函數(shù)。（對于一般的情況：面積坐標(biāo)永遠(yuǎn)是線性坐標(biāo)而形函數(shù)可以是非線性的，以后我們可以把形函數(shù)用面積坐標(biāo)表示） 即=，， （2-42） 具有的全部性質(zhì) 式（2-41）還可寫成矩陣的形式： 直面 （2-44） 這就是直角坐標(biāo)與面積坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 下面的結(jié)果留給大家自己證明： 面直 （2-45） 4． 面積坐標(biāo)函數(shù)的運算 我們可以不加證明得地給出面積坐標(biāo)函數(shù)的微積運算結(jié)果。（證明復(fù)雜麻煩用Г函數(shù)等） 1.偏導(dǎo) 設(shè)z=f(,,) =g(x,y) (I= I ,j ,k) 則： （2-46） 2． 面積分 （2-47） 其中，，為正整數(shù)； 0!1, A: 三角形面積 ex: (I= I ,j ,k) 3.線積分： （s為直線長） （2-48） 以上公式要會用 注意表示的邊 五． 三角形單元的荷載移置 有了面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系，我們即可對荷載移置進(jìn)行計算了。 1． 集中力的移置 設(shè)m點作用有集中力 m點的形函數(shù)為： (I= I ,j ,k) 等效節(jié)點荷載為： 這就是三角形單元內(nèi)m點作用有的等效節(jié)點荷載。只要計算出(I= I ,j ,k)即可。作為特例，考慮三角形單元形心處重力的移置。 形心坐標(biāo)： ===0 ===-R 故：重力作用于形心時各節(jié)點均擔(dān)。 2. 體積力的移置 設(shè)單元作用有體力 則等效節(jié)點荷載為： = 若為x, y的函數(shù)，則把用面積坐標(biāo)表示（轉(zhuǎn)換） 在常體力的作用下有： === 即：常體力作用下，總體力均分三節(jié)點。 2． 面力的移置。 設(shè)三角形單元I ,j 邊上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分別由節(jié)點合力表示及用節(jié)點分力表示） == （q為合力，非分力） 則 == q為x, y 的函數(shù)，把q 表示面積坐標(biāo)的函數(shù)有q= ，在門邊上是線性坐標(biāo)，可利用兩點式方程寫出。 則：===== 同理： = ==+ 注意到在s上=0 =0 故：== 或：= 此法：1. 避免復(fù)雜的分離。 2. 便于編程計算。 特例：若分布荷載為三角形分布。令（或） 則有：= （近端為2 ，遠(yuǎn)端為1） 說明：用以上積分的方法求等效節(jié)點荷載適用于任意節(jié)點的三角形單元，形函數(shù)也未必是線性的。 六． 三角形單元節(jié)點荷載的形成 經(jīng)過荷載處理后，我們已把非節(jié)點的荷載轉(zhuǎn)化為常點荷載。 實際計算的荷載為： 計算荷載=原節(jié)點荷載+等效節(jié)點荷載 即： （2-49） 等效節(jié)點荷載要注意： 1． 同時貢獻(xiàn)的問題 2． 用哪個單元計算的問題。 七．計算結(jié)果的整理： 有限元計算提供的結(jié)果一般為：1。節(jié)點位移 2。單元應(yīng)力 1． 節(jié)點位移的處理： 一般把節(jié)點位移按比例標(biāo)出，提供出結(jié)構(gòu)常點位移分布規(guī)律 1． 連成折線（線性位移函數(shù)） 2． 連成光滑曲線（實際變形） 2． 單元應(yīng)力的處理： 輸出的單元應(yīng)力一般為，，（形心處）（三節(jié)點Ⅱ單元為常應(yīng)力元，無所謂） 1． 變換為單元的主應(yīng)力。，, （材力） 2． 變換為節(jié)點應(yīng)力的主應(yīng)力。 （） （平均法） Ex. 節(jié)點5的應(yīng)力為： 即：= （x, y, xy ） (,,)(,) 然后標(biāo)出應(yīng)力變化曲線。 計算結(jié)果的工作量隨結(jié)構(gòu)的單元，節(jié)點劃分增加面增大。 要關(guān)注的是：1）位移的變化規(guī)律 2）應(yīng)力的最大值及發(fā)生地點。 小概念：位移最大的地方，應(yīng)力未必最大。 八：有限元計算小結(jié)： 1． 基本原理： 連續(xù)法有限個節(jié)點連接，有限大小的單元的組合法。 建立的節(jié)點位移為未知數(shù)，總剛為系的ｎ階線性代數(shù)方程組。 2． 研究方法 （確定）節(jié)點位移單元位移單元應(yīng)變單元應(yīng)力 　　　　　　　　　　　　　　　　　 單剛總剛計算荷載（等效節(jié)點荷載） 　　　　　　 約束處理求解方程整理結(jié)果 ３．解答特點： １．假定單元內(nèi)的位移分布規(guī)律，近似離散的數(shù)值解。 ２．誤差主要來源于：結(jié)構(gòu)離散（連續(xù)離散），假定位移分布。 ３．收斂性：單元縮小劃分細(xì)密收斂于精確解。 Chap3. 平面問題較精密單元的分析（矩形，高階單元，等參單元） 3-1． 問題的提出 在三角形單元中，我們假定位移函數(shù)是線性的。即：單元內(nèi)的位移按線性規(guī)律變化。這是最簡單，最基本的一個有限單元。而實際結(jié)構(gòu)中在外載荷的作用下位移分布常非按線性變化。 設(shè)單元位移曲線為圖示的f(x).顯然，用線性插值解的精度較差。提示解的精度的方法： 1． 增加單元，節(jié)點數(shù)（工作量大，費用高） 2． 提高插值階數(shù) 因此，提出了用高階插值，高階單元的問題 我們大家都知道,位移是一個連續(xù)函數(shù)（連續(xù)體），而任意的連續(xù)函數(shù)都是可以展成冪級數(shù)，用冪級數(shù)來表示的。 因此，一個單元內(nèi)的位移分布為f(x)時，我們就可以取級數(shù)的前幾項來表示它。用二次三次函數(shù)來插值，以改善計算結(jié)果。 至于等參數(shù)單元（等參單元）是一種為清除曲邊誤差而 出的一種單元。 如果實際結(jié)構(gòu)為曲線邊界，則無論怎樣提高位移函數(shù)（插值）的階數(shù)也不能使解得到多大的改善。有限個直邊代替曲邊，終究是代替，而不會是相等。為了處理曲邊問題，人們提出了等參單元的概念。有平面等參單元，空間等參單元等。我們只向大家介紹平面等參單元，以供了解。 3-2 四節(jié)點矩形單元的有限元分析。 矩形單元常用于規(guī)則邊界的有限元分析，它也是常用的一種有限單元。 一． 單元的位移函數(shù)。 設(shè)單元e為矩形單元，邊長為2a,2b;其節(jié)點為I,j,k,m;為研究方便我們?nèi)【植孔鴺?biāo)系x-y如圖（原點在形心）。 1． 單元的自由度及位移函數(shù)： 4個節(jié)點，每個節(jié)點2 個自由度（位移）u,v，則單元的總自由度為8個。為保證單元的收斂性準(zhǔn)則，位移函數(shù)必須保證有常數(shù)項，線性項。 設(shè)位移函數(shù)為：（對稱性與坐標(biāo)選擇無關(guān)） （U 關(guān)于坐標(biāo)對稱） （3-1） 其中xy項是根據(jù)pascal三角形及xy的對稱性選?。ㄟx二次項尚有協(xié)調(diào)問題，選，項不行） 這樣，已知（i=1，2，3，4）這八個節(jié)點位移（i=1，2…8） 2.形函數(shù)的推導(dǎo)： 同理： 我們不難從前4個方程中解出，，，，具體做法： ①+②： ①+②：v ③+④： ②-①: v ①- ②: v ③-④ v = = u= 令： （3-2） 則： （3-3） 式（3-2）稱為節(jié)點矩形單元的形函數(shù)；式（3-2）尚可寫為： (I =I, j, k, m) (3-4) 式（3-3）為節(jié)點位移表示的單元位移函數(shù)。 式（3-3）還可以寫成矩陣的形式 = （3-5） 式中：= （3-6） 二. 形函數(shù)的性質(zhì)： 1．形函數(shù)（I =I, j, k, m）在節(jié)點I 上=1,在其余節(jié)點上=0 （輪換） 即在 節(jié)點I ：=1 節(jié)點j: =0 (j)= = 節(jié)點k: =0 節(jié)點m: =0 證明： （i=I, j, k, m） 在節(jié)點i x=,y=時： =1 j, k, m各節(jié)點至少有一個節(jié)點坐標(biāo)x=-或y=-故=0 （i=j, k, m） 同理可得到全部結(jié)果。 2．4個形函數(shù)之和：+++ 證明： 寫出形函數(shù)（，的符號與該點的，相同） +++= ==1 因此：4個形函數(shù)只有3 個是獨立的。 在I j邊上，，0（節(jié)點除外），==0 （輪換）（一條邊上的四個） 證明： 在I j邊上，y=, (x-) 在I, j 邊上，y= （x-） I, j邊上 y===- =0 同理：I, j邊上：=0。 證畢 4．在4 條邊界上的性質(zhì)（節(jié)點除外） 在包含節(jié)點I 的邊界上，0，否則=0。（輪換）（四條邊上的一個） 證明：性質(zhì)3 的另一種表述 在包含節(jié)點 I 的邊界上： X=， 或 y= 顯然有： （y）或 （節(jié)點j, m除外） 在不包含節(jié)點I 的邊界上： X=- 或y=- 顯然：=0 得證 由以上的性質(zhì)，我們可以描述的幾何圖形。 三． 位移函數(shù)的性質(zhì) 1． 位移函數(shù)是雙線性的 位移函數(shù)： 顯然, u, v包含坐標(biāo)x y的二次項x y，但當(dāng)x=const 或y=const時 U,V都是一個線性函數(shù)。 即： 在單元內(nèi)任一點，無論沿x方向變化（此時y=const）或沿y 方向變化（x=const） u, v 都是線性的。 2． 位移函數(shù)解滿足收斂準(zhǔn)則： ① 解反映單元的剛體位移。（位移=剛+彈） 位移函數(shù) 寫成如下的形式： 顯然：第一項，與x, y無關(guān)。反映了單元內(nèi)各點沿x, y方向的剛體位移。 若令: w=,則w反映單元內(nèi)各點繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。 ② 解反映單元的常應(yīng)變 由幾何方程： 顯然，，分別反映了沿x, y方向的常應(yīng)變；反映了（）常量的剪切應(yīng)變。 面和分別反映了線性變化的，，。（，0） ，反映單元的剛體移動。 -——反映單元的剛體轉(zhuǎn)動。 一般：位移函數(shù)只要包含++ 選擇變量的一次式，則必須保證收斂性。 單元內(nèi)各應(yīng)變都不是常量，你如何能解釋其收斂？ 解釋：當(dāng)單元尺寸逐步縮小時，單元內(nèi)各點x, y的變化必然很小。 以為例： 單元尺寸逐步縮小單元內(nèi)逐步縮小 可以保證單元內(nèi)以為基準(zhǔn)，收斂于附近。 （0） 否則： 若=0，則=在y=0處=0y=0處，永遠(yuǎn)僅發(fā)生剛體位移。 同理可知：，的意義。 由于有，0的存在，四邊形單元稱為非常應(yīng)變單元。 ③ 位移函數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在邊界上與相鄰單元協(xié)調(diào)。 證明：u, v是連續(xù)的——明顯 由于u, v是雙線性函數(shù)，而單元的每條邊界都滿足x=const 或y=const. 因此：在每條邊界上： u, v都是一個線性函數(shù)。 設(shè)，為相鄰單元; 的節(jié)點為：I, j, k, m，的節(jié)點為：I, p, q, j. 則I, j為公共邊界。