第33屆全國中學生物理競賽決賽試卷

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第33屆全國中學生物理競賽決賽理論考試試題 可能用到的物理常量和公式： 真空中的光速； 地球表面重力加速度大小為； 普朗克常量為，； 。 1、（15分）山西大同某煤礦相對于秦皇島的高度為。質量為的火車載有質量為的煤，從大同沿大秦鐵路行駛路程后到達秦皇島，卸載后空車返回。從大同到秦皇島的過程中，火車和煤總勢能的一部分克服鐵軌和空氣做功，其余部分由發(fā)電機轉換成電能，平均轉換效率為，電能被全部存儲于蓄電池中以用于返程?？哲囋诜党讨杏蓛Υ娴碾娔茯寗与妱訖C克服重力和阻力做功，儲存的電能轉化為對外做功的平均轉換效率為。假設大秦線軌道上火車平均每運行單位距離克服阻力需要做的功與運行時（火車或火車和煤）總重量成正比，比例系數為常數，火車由大同出發(fā)時攜帶的電能為零。 （1）若空車返回大同時還有剩余的電能，求該電能。 （2）問火車至少裝載質量為多少的煤，才能在不另外提供能量的條件下剛好返回大同？ （3）已知火車在從大同到達秦皇島的鐵軌上運行的平均速率為，請給出發(fā)電機的平均輸出功率與題給的其它物理量的關系。 2、（15分）如圖a，AB為一根均質細桿，質量為，長度為；桿上端B通過一不可伸長的軟輕繩懸掛到固定點，繩長為。開始時繩和桿均靜止下垂，此后所有運動均在同一豎直面內。 （1）現對桿上的D點沿水平方向施加一瞬時沖量，若在施加沖量后的瞬間，B點繞懸點轉動的角速度和桿繞其質心轉動的角速度相同，求D點到B點的距離和B點繞懸點轉動的初始角速度。 （2）設在某時候，繩和桿與豎直方向的夾角分別為和（如圖b所示），繩繞固定點和桿繞其質心轉動的角速度分別為和，求繩繞固定點和桿繞其質心轉動的角加速度和 3、（15分）火星大氣可視為僅由很稀薄的組成，此大氣的摩爾質量記為，且同一高度的大氣可視為處于平衡態(tài)的理想氣體?；鹦琴|量為（遠大于火星大氣總質量），半徑為。假設火星大氣的質量密度與距離火星表面的高度的關系為 其中為常量，為常數。 （1）求火星大氣溫度隨高度變化的表達式。 （2）為了對火星表面進行探測，需將一質量為、質量密度較大的著陸器釋放到火星表面。在某一遠小于的高度處將該著陸器由靜止開始釋放，經過時間，著陸器落到火星表面。在著陸器下降過程中，著陸器沒有轉動，火星的重力加速度和大氣密度均可視為與它們在火星表面的值相等。當著陸器下降速度大小為時，它受到的大氣阻力正比于大氣密度和的乘積，比例系數為常量。求著陸器在著陸前瞬間速度的大小。 4、（15分）具有一定能量、動量的光子還具有角動量。圓偏振光的光子的角動量大小為。光子被物體吸收后，光子的能量、動量和角動量就全部傳給物體。物體吸收光子獲得的角動量可以使物體轉動。科學家利用這一原理，在連續(xù)的圓偏振激光照射下，實現了納米顆粒的高速轉動，獲得了迄今為止液體環(huán)境中轉速最高的微尺度轉子。 如圖，一金納米球顆粒放置在兩片水平光滑玻璃平板之間，并整體（包括玻璃平板）浸在水中。一束圓偏振激光從上往下照射到金納米顆粒上。已知該束入射激光在真空中的波長，經顯微鏡聚焦后（仍假設為平面波，每個光子具有沿傳播方向的角動量）光斑直徑，功率。金納米球顆粒的半徑，金的密度。忽略光在介質界面上的反射以及玻璃、水對光的吸收等損失，僅從金納米顆粒吸收光子獲得角動量驅動其轉動的角度分析下列問題（計算結果取3位有效數字）； （1）求該束激光的頻率和光強（在傳播方向上單位橫截面積所傳輸的功率）。 （2）給出金納米球顆粒的質量和它繞其對稱軸的轉動慣量的值。 （3）假設顆粒對光的吸收截面（顆粒吸收的光功率與入射光強之比）為，求該束激光作用在顆粒上沿旋轉對稱軸的力矩的大小。 （4）已知一個以角速度旋轉的球形顆粒（半徑為）在粘滯系數為的液體中收到的粘滯摩擦力矩大小為。已知水的粘滯系數，求金納米球顆粒在此光束照射下達到穩(wěn)定旋轉時的轉速（轉數/秒） （5）取光開始照到處于靜止狀態(tài)的金納米顆粒的瞬間為計時零點，求在任意時刻該顆粒轉速的表達式。 （6）若把入射激光束換成方波脈沖激光束，脈沖寬度為（此期間內光強仍為），脈沖之間的間歇時間為。取第一個脈沖的光開始照到顆粒的時刻為計時零點，求第個完整脈沖周期后的瞬間顆粒的轉速的表達式，并給出轉速極限的表達式。 5、（20分）許多賽車上都裝有可調節(jié)的導流翼片，可以為水平道路上的賽車提供豎直向上或向下的附加壓力。如果賽車速度的大小為，則上述壓力的大小為，為一常量。當導流翼片的前方上翹時，壓力方向向上；當導流翼片的后方上翹時，壓力方向向下。賽車在運動過程中受到迎面空氣的阻力，阻力大小為，為一常量。已知賽車質量為，輪胎與路面之間的靜摩擦系數為。 （1）賽車在水平直道上勻速行駛時，考慮到在運動過程中輪胎的形變，路面會對賽車形成阻力，阻力大小與車對路面的正壓力大小成正比，比例系數為。若導流翼片被調至前方上翹，當賽車速度大小為多大時，賽車發(fā)動機輸出功率最大？最大輸出功率為多少？ （2）不考慮賽車在運動過程中輪胎的形變所引起的地面阻力，求當賽車在水平地面內沿半徑為的圓形道路上勻速行駛、且不駛離路面發(fā)生滑動或者飛離地面時所允許的速率最大值。在此情況下，導流翼片應被調至前方上翹還是后方上翹，可以更大？假設賽車發(fā)動機的輸出功率可以足夠大。 6、（20分）Hyperloop是一款利用膠囊狀的運輸車在水平管道中的快速運動來實現超高速運輸的系統(tǒng)（見圖a）。它采用了“氣墊”技術和“直線電動機”原理。 “氣墊”技術是將內部高壓氣體從水平放置的運輸車下半部的細孔快速噴出（見圖b），以至于整個運輸車被托離管壁非常小的距離，從而可忽略摩擦。運輸車橫截面是半徑為的圓，運輸車下半部壁上均勻分布有沿徑向的大量細孔，單位面積內細孔個數為，單個細孔面積為。運輸車長度為，質量為。氣體的流動可認為遵從伯努利方程，且溫度不變，細孔出口處氣體的壓強為較低的環(huán)境壓強。 如圖c，在水平管道中固定有兩條平行的水平光滑供電導軌（粗實線），運輸車上固定有與導軌垂直的兩根導線（細實線）；導軌橫截面為圓形，半徑為，電阻率為，兩導軌軸線間距為；兩根導線的粗細可忽略，間距為；每根導線電阻是長度為的導軌電阻的2倍。兩導線和導軌軸線均處于同一水平面內。導軌、導線電接觸良好，且所有接觸電阻均可忽略。 （1）求內部高壓氣體壓強為多大時運輸車才剛好能被托起？ （2）如圖d所示，當運輸車進站時，運輸車以速度沿水平光滑導軌進勻強磁場區(qū)域，磁場邊界與導線平行，磁感應強度大小為，方向垂直于導軌-導線平面向下。當兩根導線全都進入磁場后，求運輸車滑動速度的大小。 （3）當運輸車靜止在水平光滑導軌上準備離站時，在導線2后間距為處接通固定在導軌上電動勢為的恒壓直流電源（見圖e）。設電源體積及其所連導線的電阻可以忽略，求剛接通電源時運輸車的加速度的大小。 已知某恒流閉合回路中的一圓柱型直導線段，電流沿橫截面均勻分布，如圖f所示，其在空間中距導線軸線距離為的某點產生的磁感應強度方向垂直于此點和導線軸線構成的平面，大小可用下式近似計算 其中為電流，是此點與導線軸線兩端連線與導線軸線的夾角。 可能用到的積分公式 ，其中均為正數 7、（20分）愛因斯坦引力理論預言物質分布的變化會導致時空幾何機構的波動——引力波。為簡明起見，考慮沿軸傳播的平面引力波。對于任意給定的，在二維空間中兩個無限近鄰點和之間的距離的表達式為 引力波體現為和的變化(波動)。 (1)假設一列平面引力波傳來時，和可表示為 式中，和分別是波的振幅和頻率，是引力波的傳播速度(其值等于光速)。 (i) 無引力波穿過時，在平面上，在原點處和與點距離為、與軸夾角為處各放置一個微探測器。求當所考慮的引力波穿過時，兩個探測器之間的距離相對于的偏離的近似表達式。 (ii) 設無引力波穿過時，在平面上，在以為半徑、原點為圓心的圓周上放置了一個微探測器陣列。當前述引力波存在時，可將空間坐標重新定義為，使得二維空間中近鄰兩點和距離為。求對于給定的時刻，微探測器陣列在新定義的坐標系中的分布形狀。 (iii) 若一列平面引力波 和另一列平面引力波 同時沿軸正向傳播，問、滿足什么條件，可使引力波對原點處和二維空間中坐標為的點處的兩個微探測器之間的距離的擾動的振幅達到最大或者最小？ (2)假定引力波的波源為雙星系統(tǒng)。設雙星系統(tǒng)兩星體質量均為。取雙星系統(tǒng)的質心為坐標原點，雙星系統(tǒng)在二維空間中旋轉。已知在特定條件下，和可近似表示為 式中為引力常量，為在軸上引力波探測點到點的距離（遠大于雙星系統(tǒng)中兩星體之間的距離），而 為兩星體在其質心系中的坐標。已知該引力波的頻率為，假設引力波輻射對雙星系統(tǒng)軌道運動的影響可忽略，求和在探測點處的振幅。（雙星運動軌道計算可應用牛頓力學） 8、（20分）電子偶素原子是由電子與正電子（電子的反粒子，其質量與電子相同，電荷與電子大小相等、符號相反）組成的量子束縛體系，其能級可類比氫原子能級得出。根據波爾氫原子理論，電子繞質子的圓周運動軌道角動量的取值是量子化的，即為的整數倍?？紤]到質子的質量是有限的，氫原子量子化條件應修正為：電子與質子質心系中相對其質心的總軌道角動量取值為的整數倍。這一量子化條件可直接推廣到其它兩體束縛體系，如電子偶素等。以下計算結果均保留四位有效數字。 （1）寫出電子偶素基態(tài)能量。 （2）電子偶素基態(tài)原子不穩(wěn)定，可很快發(fā)生湮滅而生成兩個光子： 當基態(tài)電子偶素原子相對于實驗室參照系以遠小于光速的某速度運動時發(fā)生湮滅，在相對于該速度方向的偏角為的方向上觀測到生成的一個光子，同時在相對于光子速度反方向的偏角為的方向上觀測到另一個光子，如圖所示。 （i）求基態(tài)電子偶素原子速度的大小、兩個光子和的能量和的表達式；并給出當、時、和的值。 （ii）求基態(tài)電子偶素原子靜止時，求兩個光子、各自的能量、與單個自由電子靜能之差。 （3）當基態(tài)電子偶素原子相對于實驗室參照系以與光速可比擬的速度運動時湮滅生成兩個光子，求生成的兩個光子和的能量和、以及光子的運動方向相對于的方向的偏角（如圖所示）與之間的關系式；并給出當、時、和的值。 已知：氫原子基態(tài)能量，電子質量，質子與電子質量之比為1836.