部審人教版九年級數(shù)學(xué)下冊教案27.2.1 第3課時 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

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27.2.1 相似三角形的判定 第3課時 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．理解“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的含義，能分清條件和結(jié)論，并能用文字、圖形和符號語言表示；(重點(diǎn)) 2．會運(yùn)用“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”判定兩個三角形相似，并解決簡單的問題．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 利用刻度尺和量角器畫兩個三角形，使它們的兩條對應(yīng)邊成比例，并且夾角相等．量一量第三條對應(yīng)邊的長，計(jì)算它們的比與前兩條對應(yīng)邊的比是否相等．另兩個角是否對應(yīng)相等？你能得出什么結(jié)論？ 二、合作探究 探究點(diǎn)：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似 【類型一】 直接利用判定定理判定兩個三角形相似 已知：如圖，在△ABC中，∠C＝90，點(diǎn)D、E分別是AB、CB延長線上的點(diǎn)，CE＝9，AD＝15，連接DE.若BC＝6，AC＝8，求證：△ABC∽△DBE. 解析：首先利用勾股定理可求出AB的長，再由已知條件可求出DB，進(jìn)而可得到DB∶AB的值，再計(jì)算出EB∶BC的值，繼而可判定△ABC∽△DBE. 證明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90，∴△ABC∽△DBE. 方法總結(jié)：解本題時一定要注意必須是兩邊對應(yīng)的夾角才行，還要注意一些隱含條件，如公共角、對頂角等． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第2題 【類型二】 添加條件使三角形相似 如圖，已知△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，P為邊AB上一點(diǎn)，AB＝12，AC＝8，AD＝6，當(dāng)AP的長度為________時，△ADP和△ABC相似． 解析：當(dāng)△ADP∽△ACB時，＝，∴＝，解得AP＝9.當(dāng)△ADP∽△ABC時，＝，∴＝，解得AP＝4，∴當(dāng)AP的長度為4或9時，△ADP和△ABC相似．故答案為4或9. 方法總結(jié)：添加條件時，先明確已知的條件，再根據(jù)判定定理尋找需要的條件，對應(yīng)本題可先假設(shè)兩個三角形相似，再利用倒推法以及分類討論解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第5題 【類型三】 利用三角形相似證明等積式 如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長線交CA的延長線于F.求證：ACCF＝BCDF. 解析：先證明△ADC∽△CDB可得＝，再結(jié)合條件證明△FDC∽△FAD，可得＝，則可證得結(jié)論． 證明：∵∠ACB＝90，CD⊥AB，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E為BC的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE，∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD，∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴ACCF＝BCDF. 方法總結(jié)：證明等積式或比例式的方法：把等積式或比例式中的四條線段分別看成兩個三角形的對應(yīng)邊，然后證明兩個三角形相似，得到要證明的等積式或比例式． 【類型四】 利用相似三角形的判定進(jìn)行計(jì)算 如圖所示，BC⊥CD于點(diǎn)C，BE⊥DE于點(diǎn)E，BE與CD相交于點(diǎn)A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的長． 解析：因?yàn)锳C＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可證明△ABC與△ADE相似，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出AD. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝＝＝5.∵BC⊥CD，BE⊥DE，∴∠C＝∠E，又∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝，∴CD＝AD＋AC＝＋3＝. 方法總結(jié)：利用相似三角形的判定進(jìn)行邊角計(jì)算時，應(yīng)先利用條件證明三角形相似或通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形對應(yīng)角相等和對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題 【類型五】 利用相似三角形的判定解決動點(diǎn)問題 如圖，在△ABC中，∠C＝90，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，點(diǎn)P從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動，與此同時點(diǎn)Q從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動，經(jīng)過多長時間△ABC和△PQC相似？ 解析：由AC與AB的關(guān)系，設(shè)出AC＝3xcm，AB＝5xcm，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，進(jìn)而得到AB與AC的長．然后設(shè)出動點(diǎn)運(yùn)動的時間為ts，根據(jù)相應(yīng)的速度分別表示出PC與CQ的長，由△ABC和△PQC相似，根據(jù)對應(yīng)頂點(diǎn)不同分兩種情況列出比例式，把各邊的長代入即可得到關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，從而得到所有滿足題意的時間t的值． 解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，設(shè)AB為5xcm，則AC＝3xcm，在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根據(jù)勾股定理得25x2＝9x2＋64，解得x＝2或x＝－2(舍去)，∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm.設(shè)經(jīng)過t秒△ABC和△PQC相似，則有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm，分兩種情況：①當(dāng)△ABC∽△PQC時，有＝，即＝，解得t＝；②當(dāng)△ABC∽△QPC時，有＝，即＝，解得t＝.綜上可知，經(jīng)過或秒△ABC和△PQC相似． 方法總結(jié)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似的對應(yīng)頂點(diǎn)不同，分兩種情況△ABC∽△PQC與△ABC∽△QPC分別列出比例式來解決問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第8題 三、板書設(shè)計(jì) 1．三角形相似的判定定理： 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似； 2．應(yīng)用判定定理解決簡單的問題． 本節(jié)課采用探究發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法和參與式教學(xué)法為主，利用多煤體引導(dǎo)學(xué)生始終參與到學(xué)習(xí)活動的全過程中，處于主動學(xué)習(xí)的狀態(tài)．采用動手實(shí)踐，自主探索與合作交流的學(xué)習(xí)方法，使學(xué)生積極參與教學(xué)過程．在教學(xué)過程中展開思維，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力，進(jìn)一步理解觀察、類比、分析等數(shù)學(xué)思想. 第 3 頁 共 3 頁