新人教版八上數(shù)學(xué)培優(yōu)講義(15講)
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第一講 三角形 考點(diǎn)方法破譯 1.了解與三角形有關(guān)的線段(邊、高、中線、角平分線),會(huì)畫出任意三角形的高、中線、角平分線. 2.知道三角形兩邊的和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊. 3.了解與三角形有關(guān)的角(內(nèi)角、外角) . 4.掌握三角形三內(nèi)角和等于180,三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 5.會(huì)用方程的思想解與三角形基本要素相關(guān)的問題. 6.會(huì)從復(fù)雜的圖形中找到基本圖形,從而尋求解決問題的方法. 經(jīng)典考題賞析 【例1】若的三邊分別為4,x,9,則x的取值范圍是______________,周長l的取值范圍是______________??;當(dāng)周長為奇數(shù)時(shí),x=______________. 【變式題組】 1.若△ABC的三邊分別為4,x,9,且9為最長邊,則x的取值范圍是______________,周長l的取值范圍是______________. 2.設(shè)△ABC三邊為a,b,c的長度均為正整數(shù),且a<b<c,a+b+c=13,則以a,b,c為邊的三角形,共有______________個(gè). 3.用9根同樣長的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形(不許折斷)并全部用完,能擺出不同形狀的三角形個(gè)數(shù)是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【例2】已知等腰三角形的一邊長為18cm,周長為58cm,試求三角形三邊的長. 【變式題組】 1.已知等腰三角形兩邊長分別為6cm,12cm,則這個(gè)三角形的周長是( ) A.24cm B.30cm C.24cm或30cm D.18cm 2.已知三角形的兩邊長分別是4cm和9cm,則下列長度的四條線段中能作為第三條邊的是( ) A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 3.等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)等腰三角形的周長分成12和10兩部分,則此等腰三角形的腰長為______________. 【例3】如圖AD是△ABC的中線,DE是△ADC的中線,EF是△DEC的中線,F(xiàn)G是△EFC的中線,若S△GFC=1cm2,則S△ABC=______________. 【變式題組】 1.如圖,已知點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn),S△ABC=4,則S△EFC=______________. 2.如圖,點(diǎn)D是等腰△ABC底邊BC上任意一點(diǎn),DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若一腰上的高為4cm,則DE+DF=______________. 3.如圖,已知四邊形ABCD是矩形(AD>AB) ,點(diǎn)E在BC上,且AE=AD,DF⊥AE于F,則DF與AB的數(shù)量關(guān)系是______________. 【例4】已知,如圖,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =______________. 【變式題組】 1.如圖,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =______________. 2.如圖,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F=______________. 3.如圖,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F =______________. 【例5】如圖,已知∠A=70,BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB.則∠BOC = ______________. 【變式題組】 1.如圖,∠A=70,∠B=40,∠C=20,則∠BOC=______________. 3.如圖,∠O=140,∠P=100,BP、CP分別平分∠ABO、∠ACO,則∠A=______________. 【例6】如圖,已知∠B=35,∠C=47,AD⊥BC,AE平分∠BAC,則∠EAD=______________. 【變式題組】 1.(改)如圖,已知∠B=39,∠C=61,BD⊥AC,AE平分∠BAC,則∠BFE=__________. 2.如圖,在△ABC中,∠ACB=40,AD平分∠BAC,∠ACB的外角平分線交AD的延長線于點(diǎn)P,點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)(F、D不重合) ,過點(diǎn)F作EF⊥BC交于點(diǎn)E,下列結(jié)論:①∠P+∠DEF為定值,②∠P-∠DEF為定值中,有且只有一個(gè)答案正確,請(qǐng)你作出判斷,并說明理由. *【例7】如圖,在平面內(nèi)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△AB′C′,使CC′∥AB,若∠BAC=70,則旋轉(zhuǎn)角α=______________. 【變式題組】 1.如圖,用等腰直角三角形板畫∠AOB=45,并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線后繞點(diǎn)M逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)22,則三角板的斜邊與射線OA的直角α=______________. 2.如圖,在平面內(nèi)將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角度得到△OA′B′,若點(diǎn)A′在AB上時(shí),則旋轉(zhuǎn)角α=______________.(∠AOB=90,∠B=30) 3.如圖,△ABE和△ACD是△ABC沿著AB邊,AC邊翻折180形成的,若∠BAC=130,則∠α=______________. 演練鞏固反饋提高 1.如圖,圖中三角形的個(gè)數(shù)為( ) A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè) 2.如果三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn),那么這個(gè)三角形是( ) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定 3.有4條線段,長度分別是4cm,8cm,10cm,12cm,選其中三條組成三角形,可以組成三角形的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 4.下列語句中,正確的是( ) A.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角 B.三角形的一個(gè)外角等于這個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角的和 C.三角形的外角中,至少有兩個(gè)鈍角 D.三角形的外角中,至少有一個(gè)鈍角 5.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定 6.若一個(gè)三角形的一個(gè)外角大于與它相鄰的內(nèi)角,則這個(gè)三角形是( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定 7.如果等腰三角形的一邊長是5cm,另一邊長是9cm,則這個(gè)三角形的周長是______________. 8.三角形三條邊長是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù),且三角形的周長不大于18,則這個(gè)三角形的三條邊長分別是______________. 9.如圖,在△ABC中,∠A=42,∠B與∠C的三等分線,分別交于點(diǎn)D、E,則∠BDC的度數(shù)是______________. 10.如圖,光線l照射到平面鏡上,然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射,已知∠α=55,∠γ=75,∠β=______________. 11.如圖,點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD、BE的中點(diǎn),且S△EFC=1,則S△ABC=______________. 12.如圖,已知: ∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63,則∠DAC=______________. 13.如圖,已知點(diǎn)D、E是BC上的點(diǎn),且BE=AB,CD=CA,∠DAE=∠BAC,求∠BAC的度數(shù) 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1.在△ABC中,2∠A=3∠B,且∠C-30=∠A+∠B,則△ABC是( ) A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.有一個(gè)角是30的直角三角形 D.等腰直角三角形 B. C. 2.已知三角形的三邊a、b、c的長都是整數(shù),且a≤b≤c,如果b=7,則這樣的三角形共有( ) A.21個(gè) B.28個(gè) C.49個(gè) D.54個(gè) 3.在△ABC中,∠A=50,高BE、CF交于O點(diǎn),則∠BOC=______________. 4.在等腰△ABC中,一腰上的高與另一腰的夾角為26,則底角的度數(shù)為______________. 5.如圖,BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F,DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E,若∠A=40,∠C=38,則∠P= ______________. 6.如圖,已知OABC是一個(gè)長方形,其中頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0,a)和(9,a).點(diǎn)E在AB上 ,且AE=AB.點(diǎn)F在OC上 ,且OF=OC,點(diǎn)G在OA上,且使△GEC的面積為16,試求α的值. 7.如圖,已知四邊形ABCD中,∠A+∠DCB=180,兩組對(duì)邊延長后分別交于P、Q兩點(diǎn),∠P、∠Q的平分線交于M,求證PM⊥QM. 第二講 全等三角形的性質(zhì)與判定 考點(diǎn)方法破譯 1.能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同; 2.全等三角形性質(zhì):①全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等;②全等三角形對(duì)應(yīng)高、角平分線、中線相等;③全等三角形對(duì)應(yīng)周長相等,面積相等; 3.全等三角形判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,對(duì)于兩個(gè)直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,還有HL法; 4.證明兩個(gè)三角形全等的關(guān)鍵,就是證明兩個(gè)三角形滿足判定方法中的三個(gè)條件,具體分析步驟是先找出兩個(gè)三角形中相等的邊或角,再根據(jù)選定的判定方法,確定還需要證明哪些相等的邊或角,再設(shè)法對(duì)它們進(jìn)行證明; 5..證明兩個(gè)三角形全等,根據(jù)條件,有時(shí)能直接進(jìn)行證明,有時(shí)要證的兩個(gè)三角形并不全等,這時(shí)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形,構(gòu)造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等等. 經(jīng)典考題賞析 【例1】如圖,AB∥EF∥DC,∠ABC=90,AB=CD,那么圖中有全等三角形( ) B A C D E F A.5對(duì) B.4對(duì) C.3對(duì) D.2對(duì) 【變式題組】 1.(武漢2011)下列判斷中錯(cuò)誤的是( ) A.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B.有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C.有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等 A F C E D B 2.(黃岡)已知命題:如圖,點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上,且AD=BE,∠A=∠FDE,則△ABC≌△DEF.判斷這個(gè)命題是真命題還是假命題,如果是真命題,請(qǐng)給出證明;如果是假命題,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題,并加以證明. 3.(上海)已知線段AC與BD相交于點(diǎn)O, 連接AB、DC,E為OB的中點(diǎn),F(xiàn)為OC的中點(diǎn),連接EF(如圖所示). ⑴添加條件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求證:AB=DC; A B C D O F E ⑵分別將“∠A=∠D”記為①,“∠OEF=∠OFE”記為②,“AB=DC”記為③,添加①、③,以②為結(jié)論構(gòu)成命題1;添加條件②、③,以①為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是______命題,命題2是_______命題(選擇“真”或“假”填入空格). A C E F B D 【例2】已知AB=DC,AE=DF,CF=FB. 求證:AF=DE. 【變式題組】 1.如圖,AD、BE是銳角△ABC的高,相交于點(diǎn)O,若BO=AC,BC=7,CD=2,則AO的長為( ) A.2 B.3 C.4 D.5 A E 第1題圖 A B C D E B C D O 第2題圖 2.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90,AE是過A點(diǎn)的一條直線,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE=4cm,CE=2cm,則BD=__________. \ 3.(孝感2013)已知:如圖,在△ABC中,∠ ACB=90,CD⊥AB于點(diǎn)D,點(diǎn)E在AC上,CE=BC,過點(diǎn)E作AC的垂線,交CD的延長線于點(diǎn)F. 求證:AB=FC. A F E C B D 【例3】如圖①,△ABC≌△DEF,將△ABC和△DEF的頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)E重合,把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O. ⑴當(dāng)△DEF旋轉(zhuǎn)至如圖②位置,點(diǎn)B(E)、C、D在同一直線上時(shí),∠AFD與∠DCA的數(shù)量關(guān)系是________________; ⑵當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí),⑴中的結(jié)論成立嗎?請(qǐng)說明理由_____________. B(E) O C F 圖③ F A B C D E F A B(E) C D D A 圖② 圖① 【變式題組】 1.(紹興2013)如圖,D、E分別為△ABC的AC、BC邊的中點(diǎn),將此三角形沿DE折疊,使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處.若∠CDE=48,則∠APD等于( ) A.42 B.48 C.52 D.58 2.如圖,Rt△ABC沿直角邊BC所在的直線向右平移得到△DEF,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90 C. AC=DF D.EC=CF E F B A B P D E C 第1題圖 A C D G 第2題圖 3.一張長方形紙片沿對(duì)角線剪開,得到兩種三角形紙片,再將這兩張三角形紙片擺成如下圖形式,使點(diǎn)B、F、C、D在同一條直線上. ⑴求證:AB⊥ED; ⑵若PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形,并證明. B F A C E N M P D D A C B F E 【例4】(第21屆江蘇競(jìng)賽試題)已知,如圖,BD、CE分別是△ABC的邊A C和AB邊上的高,點(diǎn)P在BD的延長線,BP=AC,點(diǎn)Q在CE上,CQ=AB. 求證:⑴ AP=AQ;⑵AP⊥AQ 2 1 A B C P Q E F D 【變式題組】 A B C D F E 1.如圖,已知AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,點(diǎn)F是CD的中點(diǎn),求證:AF⊥CD. 2.(湖州市競(jìng)賽試題)如圖,在一個(gè)房間內(nèi)有一個(gè)梯子斜靠在墻上,梯子頂端距地面的垂直距離MA為am,此時(shí)梯子的傾斜角為75,如果梯子底端不動(dòng),頂端靠在對(duì)面的墻上,此時(shí)梯子頂端距地面的垂直距離NB為bm,梯子傾斜角為45,這間房子的寬度是( ) A. B. C.bm D.a(chǎn)m A E C B A 75 C 45 B N M 第2題圖 第3題圖 D 3. 如圖,已知五邊形ABCDE中,∠ ABC=∠AED=90,AB=CD=AE=BC+DE=2,則五邊形ABCDE的面積為__________ 演練鞏固反饋提高 1.(海南2011)已知圖中的兩個(gè)三角形全等,則∠α度數(shù)是( ) A.72 B.60 C.58 D.50 第3題圖 第1題圖 C A O D B P 第2題圖 A C A/ B B/ a α c c a 50 b 72 58 2.如圖,△ACB≌△A/C/B/,∠ BCB/=30,則∠ACA/的度數(shù)是( ) A.20 B.30 C.35 D.40 3.尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線方法如下:以O(shè)為圓心,任意長為半徑畫弧交OA、OB于C、D,再分別以點(diǎn)C、D為圓心,以大于長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P,作射線OP,由作法得△OCP≌△ODP的根據(jù)是( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 4.(武漢2012)如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ABC≌△ADC的是( ) A. CB=CD B.∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90 E 2 1 N A B D C 第5題圖 A B C D E A B C D 第4題圖 第6題圖 M 5.有兩塊不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起,將它們的一個(gè)銳角頂點(diǎn)放在一起,如圖,當(dāng)A、B、D不在一條直線上時(shí),下面的結(jié)論不正確的是( ) A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE=∠CBD C. ∠ABC=∠EBD=45 D. AC∥BE 6.如圖,△ABC和共頂點(diǎn)A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E. BC交AD于M,DE交AC于N,小華說:“一定有△ABC≌△AED.”小明說:“△ABM≌△AEN.”那么( ) A. 小華、小明都對(duì) B. 小華、小明都不對(duì) C. 小華對(duì)、小明不對(duì) D.小華不對(duì)、小明對(duì) 7.如圖,已知AC=EC, BC=CD, AB=ED,如果∠BCA=119,∠ACD=98,那么∠ECA的度數(shù)是___________. 8.如圖,△ABC≌△ADE,BC延長線交DE于F,∠B=25,∠ACB=105,∠DAC=10,則∠DFB的度數(shù)為_______. 9.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90, DE⊥AB于D, BC=BD. AC=3,那么AE+DE=______ 第10題圖 A B C D E 第9題圖 E A B C D A B C D E F O C A E B D 第7題圖 第8題圖 10.如圖,BA⊥AC, CD∥AB. BC=DE,且BC⊥DE,若AB=2, CD=6,則AE=_____. 11.如圖, AB=CD, AB∥CD. BC=12cm,同時(shí)有P、Q兩只螞蟻從點(diǎn)C出發(fā),沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行時(shí)間t為多少時(shí),△APB≌△QDC. D A C . Q P . B D B A C E F 12.如圖, △ABC中,∠BCA=90,AC=BC,AE是BC邊上的中線,過C作CF⊥AE,垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于D. ⑴求證:AE=CD; ⑵若AC=12cm, 求BD的長. A E B F D C 13.(吉林)如圖,AB=AC,AD⊥BC于點(diǎn)D,AD等于AE,AB平分∠DAE交DE于點(diǎn)F, 請(qǐng)你寫出圖中三對(duì)全等三角形,并選取其中一對(duì)加以證明. 14.如圖,將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線l上,從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線,垂足分別為D、E. B D E C l A ⑴找出圖中的全等三角形,并加以證明; ⑵若DE=a,求梯形DABE的面積.(溫馨提示:補(bǔ)形法) 15.如圖,AC⊥BC, AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別是E、F.求證:CE=DF. A E F B D C 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1.如圖,在△ABC中,AB=AC,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且AE=AF,BF、CE相交于點(diǎn)O,連接AO并延長交BC于點(diǎn)D,則圖中全等三角形有( ) A.4對(duì) B.5對(duì) C.6對(duì) D.7對(duì) F 第6題圖 2 1 A B C E N M 3 2 1 A D E B C F A D E C O A E O B F C D 第1題圖 B 第2題圖 第3題圖 2.如圖,在△ABC中,AB=AC,OC=OD,下列結(jié)論中:①∠A=∠B ②DE=CE,③連接DE, 則OE平分∠AOB,正確的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3.如圖,A在DE上,F(xiàn)在AB上,且AC=CE , ∠1=∠2=∠3, 則DE的長等于() A.DC B. BC C. AB D.AE+AC 4.下面有四個(gè)命題,其中真命題是( ) A.兩個(gè)三角形有兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等 B.兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C. 有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 D. 兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 5.在△ABC中,高AD和BE所在直線相交于H點(diǎn),且BH=AC,則∠ABC=_______. 6.如圖,EB交AC于點(diǎn)M, 交FC于點(diǎn)D, AB交FC于點(diǎn)N,∠E=∠F=90,∠B=∠C, AE=AF. 給出下列結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD=DB,其中正確的結(jié)論有___________.(填序號(hào)) 7.如圖,AD為在△ABC的高,E為AC上一點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,且有BF=AC,F(xiàn)D=CD. ⑴求證:BE⊥AC; A E F C D B ⑵若把條件“BF=AC”和結(jié)論“BE⊥AC”互換,這個(gè)命題成立嗎?證明你的判定. 8. 如圖,D為在△ABC的邊BC上一點(diǎn),且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中線. 求證:AC=2AE. A B E D C 9.如圖,在凸四邊形ABCD中,E為△ACD內(nèi)一點(diǎn),滿足AC=AD,AB=AE, ∠BAE+∠BCE=90, ∠BAC=∠EAD.求證:∠CED=90. A E B D C A D E G C H B 10.如圖,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=180. AH⊥AH于H,HA的延長線交DE于G. 求證:GD=GE. 第三講 角平分線的性質(zhì)與判定 考點(diǎn)方法破譯 1.角平分線的性質(zhì)定理:角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 2.角平分線的判定定理:角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上. 3.有角平分線時(shí)常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形. 經(jīng)典考題賞析 【例1】如圖,已知OD平分∠AOB,在OA、OB邊上截取OA=OB,PM⊥BD,PN⊥AD.求證:PM=PN 【變式題組】 1.如圖,CP、BP分別平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求證:點(diǎn)P在∠BAC的平分線上. 2.如圖,BD平分∠ABC,AB=BC,點(diǎn)P是BD延長線上的一點(diǎn),PM⊥AD,PN⊥CD.求證:PM=PN 【例2】(天津競(jìng)賽題)如圖,已知四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于點(diǎn)E,且AE=(AB+AD),如果∠D=120,求∠B的度數(shù) 【變式題組】 1.如圖,在△ABC中,CD平分∠ACB,AC=5,BC=3.求 2.(河北競(jìng)賽)在四邊形ABCD中,已知AB=a,AD=b.且BC=DC,對(duì)角線AC平分∠BAD,問a與b的大小符合什么條件時(shí),有∠B+∠D=180,請(qǐng)畫圖并證明你的結(jié)論. 【例3】如圖,在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,BE平分∠ABC,CE⊥BE.求證:CE=BD 【變式題組】 1.如圖,已知AC∥BD,EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA,CD過點(diǎn)E,求證:AB=AC+BD. 2.如圖,在△ABC中,∠B=60,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點(diǎn)F. ⑴請(qǐng)你判斷FE和FD之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; ⑵求證:AE+CD=AC. 演練鞏固反饋提高 1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,BD平分∠ABC交AC于D,若CD=n,AB=m,則△ABD的面積是( ) A.mn B.mn C. mn D.2 mn 2.如圖,已知AB=AC,BE=CE,下面四個(gè)結(jié)論:①BP=CP;②AD⊥BC;③AE平分∠BAC;④∠PBC=∠PCB.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有( )個(gè) A. 1 B.2 C.3 D.4 3.如圖,在△ABC中,P、Q分別是BC、AC上的點(diǎn),作PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分別是R、S.若AQ=PQ,PR=PS,下列結(jié)論:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正確的是( ) A. ①③ B.②③ C.①② D.①②③ 4.如圖,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E、F,則下列四個(gè)結(jié)論中:①AD上任意一點(diǎn)到B、C的距離相等;②AD上任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相等;③AD⊥BC且BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正確的是( ) A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②③④ 5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,∠CAB=30,∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交于E點(diǎn),則∠AEB的度數(shù)為( ) A.50 B.45 C.40 D.35 6.如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,且PD=PE=PF,給出下列結(jié)論:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn).其中正確的序號(hào)是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 7.如圖,點(diǎn)P是△ABC兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn),則下列說法中不正確的是( ) A.點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等 B.點(diǎn)P在∠ABC的平分線上 C.∠P與∠B的關(guān)系是:∠P+∠B=90 D.∠P與∠B的關(guān)系是:∠B=∠P 8.如圖,BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論:①點(diǎn)D到AB、AC的距離相等;②∠BAC=2∠BDC;③DA=DC;④DB平分∠ADC.其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 9.如圖,△ABC中,∠C=90AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB于E,下列結(jié)論中:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③ DE平分∠ADB;④AB=AC+BE.其中正確的個(gè)數(shù)有( ) A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.4個(gè) 10.如圖,已知BQ是∠ABC的內(nèi)角平分線,CQ是∠ACB的外角平分線,由Q出發(fā),作點(diǎn)Q到BC、AC和AB的垂線QM、QN和QK,垂足分別為M、N、K,則QM、QN、QK的關(guān)系是_________ 11.如圖,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC.求證:BE=CF 12.如圖,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥AC于點(diǎn)F.求證:AD⊥EF. 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1.如圖,直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可選擇的地址有( ) A.一處 B.二處 C.三處 D.四處 2.已知Rt△ABC中,∠C=90,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=32,且BD:CD=9:7,則D到AB邊的距離為( ) A.18 B.16 C.14 D.12 3.如圖,△ABC中,∠C=90,AD是△ABC的平分線,有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)動(dòng).已知:DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP的長為x(cm),那么x的范圍是__________ 4.如圖,已知AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分別為E、F、G,且PF=PG=PE,則∠BPD=__________ 5.如圖,已知AB∥CD,O為∠CAB、∠ACD的平分線的交點(diǎn),OE⊥AC,且OE=2,則兩平行線AB、CD間的距離等于__________ 6.如圖,AD平分∠BAC,EF⊥AD,垂足為P,EF的延長線于BC的延長線相交于點(diǎn)G.求證:∠G=(∠ACB-∠B) 7.如圖,在△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分線,P為AC上任意一點(diǎn).求證:AB-AC>DB-DC 8.如圖,在△ABC中,∠BAC=60,∠ACB=40,P、Q分別在BC、AC上,并且AP、BQ分別為∠BAC、∠ABC的角平分線上.求證:BQ+AQ=AB+BP 第四講 軸對(duì)稱及軸對(duì)稱變換 考點(diǎn)方法破譯 1.軸對(duì)稱及其性質(zhì) 把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱,這條直線叫對(duì)稱軸. 軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形有如下性質(zhì):①關(guān)于某直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形;②對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線;③兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上. 2.線段垂直平分線 線段垂直平分線也叫線段中垂線,它反映了與線段的兩種關(guān)系:①位置關(guān)系——垂直;②數(shù)量關(guān)系——平分. 性質(zhì)定理:線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. 判定定理:與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上. 3.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高(或垂線)、或求幾條折線段的最小值等情況時(shí),通??紤]作軸對(duì)稱變換,以“補(bǔ)齊”圖形,集中條件. 經(jīng)典考題賞析 【例1】(蘭州)如圖所示,將一張正方形紙片對(duì)折兩次,然后在上面打3個(gè)洞,則紙片展開后是( ) 【變式題組】 1.將正方形紙片兩次對(duì)折,并剪出一個(gè)菱形小洞后鋪平,得到的圖形是( ) 2.(荊州)如圖,將矩形紙片ABCD沿虛線EF折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)G上,點(diǎn)D落在點(diǎn)H上;然后再沿虛線GH折疊,使B落在點(diǎn)E上,點(diǎn)C落在點(diǎn)F上,疊完后,剪一個(gè)直徑在BC上的半圓,再展開,則展開后的圖形為( ) 【例2】(襄樊)如圖,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中,將△ABC向右平移兩個(gè)單位長度得到△A’B’C’,則與點(diǎn)B’關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A.(0,-1) B.(1,1) C.(2,-1) D.(1,-1) 【變式題組】 1.若點(diǎn)P(-2,3)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱,則a、b的值分別是( ) A.-2,3 B.2,3 C.-2,-3 D.2,-3 2.在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(-3,2),點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),將點(diǎn)Q向右平移4個(gè)單位得到點(diǎn)R,則點(diǎn)R的坐標(biāo)是___________. 3.(荊州)已知點(diǎn)P(a+1,2a-1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限,則a的取值范圍為___________. 【例3】如圖,將一個(gè)直角三角形紙片ABC(∠ACB=90),沿線段CD折疊,使點(diǎn)B落在B1處,若∠ACB1=70,則∠ACD=( ) A.30 B.20 C.15 D.10 【變式題組】 1.(孝感)如圖,把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后,點(diǎn)D、C分別落在點(diǎn)D’、C’的位置.若∠EFB=65,則∠AED’等于( ) A.70 B.65 C.50 D.25 2.如圖,△ABC中,∠A=30,以BE為邊,將此三角形對(duì)折,其次,又以BA為邊,再一次對(duì)折,C點(diǎn)落在BE上,此時(shí)∠CDB=82,則原三角形中∠B=___________. 【例4】如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,EF是AD的垂直平分線,E為垂足,EF交BC的延長線于點(diǎn)F,求證:∠B=∠CAF. 【變式題組】 1.如圖,點(diǎn)D在△ABC的BC邊上,且BC=BD+AD,則點(diǎn)D在__________的垂直平分線上. 2.如圖,△ABC中,∠ABC=90,∠C=15,DE⊥AC于E,且AE=EC,若AB=3cm,則DC=___________cm. 3.如圖,△ABC中,∠BAC=126,DE、FG分別為AB、AC的垂直平分線,則∠EAG=___________. 4.△ABC中,AB=AC,AB邊的垂直平分線交AC于F,若AB=12cm,△BCF的周長為20cm,則△ABC的周長是___________cm. 【例5】(荊州)如圖,在33的正方形格點(diǎn)圖中,有格點(diǎn)△ABC和△DEF,且△ABC和△DEF關(guān)于某直線成軸對(duì)稱,請(qǐng)?jiān)谙旅娴膫溆脠D中畫出所有這樣的△DEF. 【變式題組】 1.如圖,在22的正方形格點(diǎn)圖中,有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,請(qǐng)你找出格點(diǎn)圖中所有與△ABC成軸對(duì)稱且也以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,這樣的三角形共有___________個(gè). 2.如圖甲,正方形被劃分成16個(gè) 全等的三角形,將其中若干個(gè)三角形涂黑,且滿足下列條件: ⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半; ⑵涂黑部分成軸對(duì)稱圖形。 如圖乙是一種涂法,請(qǐng)?jiān)趫D1-3中分別設(shè)計(jì)另外三種涂法.(在所設(shè)計(jì)的圖案中,若涂黑部分全等,則認(rèn)為是同一種不同涂法,如圖乙與圖丙) 【例6】如圖,牧童在A處放牛,其家在B處,若牧童從A處出發(fā)牽牛到河岸CD處飲水后回家,試問在何處飲水,所求路程最短? 【變式題組】 1.(山西)設(shè)直線l是一條河,P、Q兩地相距8千米,P、Q兩地到l地距離分別為2千米、5千米,欲在l上的某點(diǎn)M處修建一個(gè)水泵站向P、Q兩地供水.現(xiàn)在如下四種鋪設(shè)管道方案,圖中的實(shí)線表示輔設(shè)的管道,則鋪設(shè)的管道最短的是( ) 2.若點(diǎn)A、B是銳角∠MON內(nèi)兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)贠M、ON上確定點(diǎn)C、點(diǎn)D,使四邊形ABCD周長最小,寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點(diǎn). 演練鞏固反饋提高 1.(黃岡)如圖,△ABC與△A’B’C’關(guān)于直線l對(duì)稱,且∠A=78,∠C’=48,則∠B的度數(shù)是( ). A.48 B.54 C.74 D.78 2.(泰州)如圖,把一張長方形紙片對(duì)折,折痕為AB,再以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分線折疊,將折疊后的圖形剪出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的等腰三角形,那么剪出的等腰三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形 3.圖1是四邊形紙片ABCD,其中∠B=120,∠D=50,若將其右下角向內(nèi)折出△PCR,恰使CP∥AB,RC∥AD,如圖2所示,則∠C=( ) A.80 B.85 C.95 D.110 4.如圖,陰影部分組成的圖案既是關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的圖形又是關(guān)于y軸成軸對(duì)稱的圖形,若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)分別是( ) A.M(1,-3),N(-1,-3) B.M(-1,-3),N(-1,3) C.M(-1,-3),N(1,-3) D.M(-1,3),N(1,-3) 5.點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)P’的坐標(biāo)是(-3,5),則點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) A.(3,-5) B.(-5,3) C.(3,5) D.(5,3) 06.已知M(1-a,2a+2)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)在第二象限,則a的取值范圍是( ) A.-1<a<1 B.-1≤a≤1 C.a(chǎn)>1 D.a(chǎn)>-1 7.如圖,鏡子中號(hào)碼的實(shí)際號(hào)碼是___________. 8.如圖,正方形ABCD的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為___________cm2. 9.已知點(diǎn)A(2a+3b,-2)和B(8,3a+2b)關(guān)于x軸對(duì)稱,則a+b=___________. 10.如圖,在△ABC中,OE、OF分別是AB、AC中垂線,且∠ABO=20,∠ABC=45,求∠BAC和∠ACB的度數(shù). 11.如圖,C、D、E、F是一個(gè)長方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn),A、B是桌面上的兩個(gè)球,怎樣擊打A球,才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠撞擊B球?請(qǐng)畫出A球經(jīng)過的路線,并寫出作法. 12.如圖,P為∠ABC的平分線與AC的垂直平分線的交點(diǎn),PM⊥BC于M,PN⊥BA的延長線于N.求證:AN=MC. 13.(荊州)有如圖“”的8張紙條,用每4張拼成一個(gè)正方形圖案,拼成的正方形的每一行和每一列中,同色的小正方形僅為2個(gè) ,且使每個(gè)正方形圖案都是軸對(duì)稱圖形,在網(wǎng)格中畫出你拼成的圖.(畫出的兩個(gè)圖案不能全等) 培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè) 1.(浙江競(jìng)賽試題)如圖,直線l1與直線l2相交,∠α=60,點(diǎn)P在∠α內(nèi)(不在l1l2上).小明用下面的方法作P的對(duì)稱點(diǎn):先以l1為對(duì)稱軸作點(diǎn)P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1,再以l2為對(duì)稱軸作P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2,然后再以l1為對(duì)稱軸作P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P3,以l2為對(duì)稱軸作P3關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P4,……如此繼續(xù),得到一系列P1、P2、P3……Pn與P重合,則n的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.(宜昌)已知:如圖,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足為E,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱,PB分別與線段CF、AF相交于P、M. ⑴求證:AB=CD; ⑵若∠BAC=2∠MPC,請(qǐng)你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由. 3.在△ABC中,∠BAC=90,點(diǎn)A關(guān)于BC邊的對(duì)稱點(diǎn)為A’,點(diǎn)B關(guān)于AC邊的對(duì)稱點(diǎn)為B’,點(diǎn)C關(guān)于AB邊的對(duì)稱點(diǎn)為C’,若S△ABC=1,求S△A’B’C’. 4.小王同學(xué)在小組數(shù)學(xué)活動(dòng)中,給本小組出了這樣一道“對(duì)稱跳棋”題:如圖,在作業(yè)本上畫一條直線l,在直線l兩邊各放一粒圍棋子A、B,使線段AB長a厘米,并關(guān)于直線l對(duì)稱,在圖中P1處有一粒跳棋子,P1距A點(diǎn)b厘米、與直線l的距離C厘米,按以下程序起跳:第1次,從P1點(diǎn)以A為對(duì)稱中心跳至P2點(diǎn);第2次,從P2點(diǎn)以l為對(duì)稱軸跳至P3點(diǎn);第3次,從P3點(diǎn)以B為對(duì)稱中心跳至P4點(diǎn);第4次,從P4以l為對(duì)稱軸跳至P1點(diǎn); ⑴畫出跳棋子這4次跳過的路徑并標(biāo)注出各點(diǎn)字母;(畫圖工具不限) ⑵棋子按上述程序跳躍2011次后停下,假設(shè)a=8,b=6,c=3,計(jì)算這時(shí)它與A的距離是多少? 5.(孝感)如圖,已知平面直角坐標(biāo)系,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1). ⑴若P(p,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)p=___________時(shí),△PAB的周長最短; ⑵若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)a=___________時(shí) ,四邊形ABCD的周長最短; ⑶設(shè)M、N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)問:是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABMN的周長最短?若存在,請(qǐng)求出m=___________,n=___________(不必寫解答過程);若不存在,請(qǐng)說明理由. 第五講 等腰三角形 考點(diǎn)方法破譯 1.等腰三角形及其性質(zhì) 有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,因此它的性質(zhì)有:⑴等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角);⑵等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(即等腰三角形三線合一) 2.等腰三角形的判定 證明一個(gè)三角形是等腰三角形的基本方法是:⑴從定義入手,證明一個(gè)三角形有兩條邊相等;⑵從角入手,證明一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,依據(jù)是等腰三角形判定定理;等角對(duì)等邊. 3.構(gòu)造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分線+平行線=等腰三角形 ⑵角平分線+垂線(或高)=等腰三角形 ⑶線段中垂線構(gòu)造等腰三角形 ⑷將2倍角轉(zhuǎn)化為相等角構(gòu)造等腰三角形 經(jīng)典考題賞析 【例1】 等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為400,則這個(gè)等腰三角形的底角為________________. 【變式題組】 1.(黃岡)在等腰⊿ABC中,AB=AC,一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長分為15和12兩個(gè)部分,則這個(gè)等腰三角形的底邊長為( ) A.7 B.11 C.7或11 D.7或10 2.(黃岡)在⊿ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為500,則∠B=___________度. 3.(襄樊)在⊿ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D為BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,那么當(dāng)t=_________秒時(shí),過D、P兩點(diǎn)的直線將⊿ABC的周長分成兩個(gè)部分,使其中一部分是另一部分的2倍. 【例2】 如圖,在⊿ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,AD=BD=BC,求∠A的度數(shù). 【變式題組】 1.如圖,在⊿ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度數(shù). 2.如圖,在⊿ABC中,AB=AC,BC=BD= ED=EA,求∠A的大?。? 【例3】 已知坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,-2),B是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn).若⊿AOB是等腰三角形,則這樣的點(diǎn)B一共有( )個(gè) A.4 B.5 C.6 D.8 【變式題組】 1.(海南競(jìng)賽試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),已知A(3,-3),點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn),則使⊿AOP為等腰三角形的點(diǎn)P共有( ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,),點(diǎn)C在坐標(biāo)平面內(nèi).若以A、B、C為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形是等腰三角形,且底角為30度,則滿足條件的點(diǎn)C有_________個(gè). A B C D P E 第4題圖 第3題圖 第2題圖 3.(南昌)如圖,已知長方形紙片ABCD,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是BC上一點(diǎn),∠BEG>600,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊,使點(diǎn)B落在紙片中的點(diǎn)H處,連接AH,則與∠BEG相等的角的個(gè)數(shù)為( ) A C B M D E (例4題圖) A.4 B.3 C.2 D.1 4.如圖所示,矩形ABCD中,AB=4,BC=,點(diǎn)E是折線段A-D-C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合),點(diǎn)P是點(diǎn)A關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn).在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中,使△PCB為等腰三角形的點(diǎn)E的位置共有( ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 【例4】 兩個(gè)全等的含30,60角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置,E,A,C三點(diǎn)在一條直線上,連結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC.試判斷△EMC的形狀,并說明理由. 【變式題組】 1.如圖,在等腰直角三角形ABC中,P是斜邊BC的中點(diǎn),以P為直角頂點(diǎn)的兩邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)E、F,當(dāng)∠EPF繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A、B重合),⊿PEF也始終是等腰三角形,請(qǐng)你說明理由. 2.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ACB=900,D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB垂足為E,過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF交AD于G. ⑴求證:AD⊥CF; ⑵連接AF,試判斷⊿ACF的形狀,并說明理由. 3.如圖,⊿ABC中,∠ACB=900,AC=BC,CO為中線.現(xiàn)將一直角三角板頂點(diǎn)放在點(diǎn)O上并繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),若三角板的兩直角邊分別交AC、CB的延長線于點(diǎn)G、H. ⑴試寫出圖中除AC=BC,OA=OB=OC外其他所有相等的線段; ⑵請(qǐng)選一組你寫出的相等線段給予證明. 【例5】 我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對(duì)邊相等的四邊形叫做等對(duì)邊四邊形. ⑴請(qǐng)寫出一個(gè)你學(xué)過的特殊四邊形中是等對(duì)邊四邊形的圖形的名稱; ⑵如圖,在中,點(diǎn)分別在上,設(shè)相交于點(diǎn),若,.請(qǐng)你寫出圖中一個(gè)與相等的角,并猜想圖中哪個(gè)四邊形是等對(duì)邊四邊形; ⑶在中,如果是不等于的銳角,點(diǎn)分別在上,且.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對(duì)邊四邊形,并證明你的結(jié)論. 【變式題組】 1.如圖,在ABC中,∠B=2∠C,AD為∠BAC的平分線.求證:AC=AB+BD. 2.(天津初賽試題)如圖,在四邊形ABCD中,∠ACB=∠BAD=1050,∠ABC=∠ADC=450,若AB=2,求CD的長. 3.如圖,在ABC中,AB=AC,D在AB上,F(xiàn)在AC延長線上,BD=CF.求證DE=EF. 【變式題組】 1.(重慶)已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1:4,則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)為( ) A.200 B.1200 C.200或1200 D.3600 2.(云南)已知等腰三角形的兩邊分別為6和3,則此等腰三角形周長為( ) A.9 B.15 C.15 D.12或15 3.(云南)如圖,等腰ABC的周長為21,底邊BC=5,AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,則BEC的周長為( ) A.13 B.14 C.15 D.16 4.如圖,C、E和B、D、F分別在∠GAH的兩邊上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=180,則∠GEF的度數(shù)是( ) A.800 B.900 C.1000 D.1080 5.如圖,RtABC中,CD是斜邊AB上的高,角平分線AE交CD于H,EF⊥AB于F,則下列結(jié)論中不正確的是( ) A.∠ACD=∠B B.CH=CE=EF C.CH=HD D.AC=AF 6.如圖,ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,那么下列結(jié)論:①BDF和CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③ADE的周長等于AB與AC的和;④BF=CF.其中正確的有( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.① 7.(武漢)如圖,已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),OA=OB=O- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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