【高考前三個月復習數(shù)學理科 三角函數(shù)與平面向量】專題4 第21練
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第21練關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型題型分析高考展望平面向量數(shù)量積的運算是平面向量的一種重要運算,應用十分廣泛,對向量本身,通過數(shù)量積運算可以解決位置關系的判定、夾角、模等問題,另外還可以解決平面幾何、立體幾何中許多有關問題,因此是高考必考內(nèi)容,題型有選擇題、填空題,也在解答題中出現(xiàn),常與其他知識結(jié)合,進行綜合考查.??碱}型精析題型一平面向量數(shù)量積的基本運算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的邊長為2,BAD120,點E,F(xiàn)分別在邊BC,DC上,BC3BE,DCDF.若1,則的值為_.(2)已知圓O的半徑為1,PA,PB為該圓的兩條切線,A,B為切點,那么的最小值為()A.4 B.3C.42 D.32點評(1)平面向量數(shù)量積的運算有兩種形式:一是依據(jù)長度和夾角,二是利用坐標運算,具體應用哪種形式由已知條件的特征來選擇.注意兩向量a,b的數(shù)量積ab與代數(shù)中a,b的乘積寫法不同,不應該漏掉其中的“”.(2)向量的數(shù)量積運算需要注意的問題:ab0時得不到a0或b0,根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)有|a|2a2,但|ab|a|b|.變式訓練1(2015湖北)已知向量,|3,則_.題型二利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角例2(1)(2015重慶)若非零向量a,b滿足|a|b|,且(ab)(3a2b),則a與b的夾角為()A. B.C. D.(2)(2015石家莊模擬)已知向量a,b滿足|a|2|b|0,且關于x的函數(shù)f(x)2x33|a|x26abx5在R上單調(diào)遞減,則向量a,b夾角的取值范圍是()A. B.C. D.點評求向量的夾角時要注意:(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律,(2)數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角為鈍角.變式訓練2若兩個非零向量a,b滿足|ab|ab|2|a|,則向量b與ab的夾角為()A. B.C. D.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3(1)已知平面向量a和b,|a|1,|b|2,且a與b的夾角為120,則|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的動點,則|3|的最小值為_.點評(1)把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?,給有關向量賦以具體的坐標求向量的模,如向量a(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.(2)向量不放在坐標系中研究,求解此類問題的方法是利用向量的運算法則及其幾何意義或應用向量的數(shù)量積公式,關鍵是會把向量a的模進行如下轉(zhuǎn)化:|a|.變式訓練3(2015浙江)已知e1,e2是空間單位向量,e1e2,若空間向量b滿足be12,be2,且對于任意x,yR,|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0,y0R),則x0_,y0_,|b|_.高考題型精練1.(2015山東)已知菱形ABCD 的邊長為a,ABC60,則 等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a22.(2014浙江)記maxx,yminx,y設a,b為平面向量,則()A.min|ab|,|ab|min|a|,|b|B.min|ab|,|ab|min|a|,|b|C.max|ab|2,|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2,|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知點A,B,C在圓x2y21上運動,且ABBC.若點P的坐標為(2,0),則|的最大值為()A.6 B.7C.8 D.94.如圖,在等腰直角ABO中,OAOB1,C為AB上靠近點A的四等分點,過C作AB的垂線l,P為垂線上任一點,設a,b,p,則p(ba)等于()A. B.C. D.5.在平面上,|1,.若|,則|的取值范圍是()A.(0, B.(,C.(, D.(,6.如圖所示,ABC中,ACB90且ACBC4,點M滿足3,則等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)設a,b為非零向量,|b|2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()A. B. C. D.08.(2014江蘇)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB8,AD5,3,2,則的值是_.9.設非零向量a,b的夾角為,記f(a,b)acos bsin .若e1,e2均為單位向量,且e1e2,則向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為_.10.(2015湖南衡陽八中第六次月考)已知點O是銳角ABC的外心,AB8,AC12,A.若xy,則6x9y_.11.已知向量a(sin x,),b(cos x,1).(1)當ab時,求cos2xsin 2x的值;(2)設函數(shù)f(x)2(ab)b,已知在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a,b2,sin B,求f(x)4cos(2A)(x0,)的取值范圍.12.(2015黃岡模擬)在ABC中,AC10,過頂點C作AB的垂線,垂足為D,AD5,且滿足.(1)求|;(2)存在實數(shù)t1,使得向量xt,yt,令kxy,求k的最小值.答案精析第21練關于平面向量數(shù)量積運算的三類經(jīng)典題型??碱}型精析例1(1)2(2)D解析(1)如圖,()()()()22cos 120222222cos 1202,又1,1,2.(2)方法一設|x,APB,則tan ,從而cos .|cos x2x21323,當且僅當x21,即x21時取等號,故的最小值為23.方法二設APB,0,則|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2,0x1,則2x323,當且僅當2x,即x時取等號.故的最小值為23.方法三以O為坐標原點,建立平面直角坐標系xOy,則圓O的方程為x2y21,設A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0),則(x1x0,y1)(x1x0,y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1,y1)(x1x0,y1)0xx1x0y0,又xy1,所以x1x01.從而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值為23.變式訓練19解析因為,所以0.所以()2|20329.例2(1)A(2)D解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0,即3a2ab2b20.又|a|b|,設a,b,即3|a|2|a|b|cos 2|b|20,|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0,.(2)設向量a,b的夾角為,因為f(x)2x33|a|x26abx5,所以f(x)6x26|a|x6ab,又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,所以f(x)0在R上恒成立,所以36|a|24(6)(6ab)0,解得ab|a|2,因為ab|a|b|cos ,且|a|2|b|0,所以|a|b|cos |a|2cos |a|2,解得cos ,因為0,所以向量a,b的夾角的取值范圍是,故選D.變式訓練2A解析方法一由已知,得|ab|ab|,將等式兩邊分別平方,整理可得ab0.由已知,得|ab|2|a|,將等式兩邊分別平方,可得a2b22ab4a2.將代入,得b23a2,即|b|a|.而b(ab)abb2b2,故cosb,ab.又b,ab0,所以b,ab.故選A.方法二如圖,作a,b,以OA,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則ab,ab.由|ab|ab|2|a|,可得|2|,所以平行四邊形OACB是矩形,a.從而|2|.在RtBOC中,| |,故cosBOC,所以BOC.從而b,abBOC,故選A.例3(1)A(2)5解析(1)因為平面向量a和b,|a|1,|b|2,且a與b的夾角為120,所以|2ab| 2.(2)方法一以D為原點,分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,設DCa,DPx. D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),(2,x),(1,ax),3(5,3a4x),|3|225(3a4x)225,|3|的最小值為5.方法二設x(0x|ab|,此時,|ab|2|a|2|b|2;當a,b夾角為鈍角時,|ab|a|2|b|2;當ab時,|ab|2|ab|2|a|2|b|2,故選D.3.B A,B,C在圓x2y21上,且ABBC,AC為圓直徑,故2(4,0),設B(x,y),則x2y21且x1,1,(x2,y),(x6,y).故|,x1時有最大值7,故選B.4.A 以OA,OB所在直線分別作為x軸,y軸,O為坐標原點建立平面直角坐標系,則A(1,0),B(0,1),C(,),直線l的方程為yx,即xy0.設P(x,x),則p(x,x),而ba(1,1),所以p(ba)x(x).5.D 由題意,知B1,B2在以O為圓心的單位圓上,點P在以O為圓心,為半徑的圓的內(nèi)部.又,所以點A在以B1B2為直徑的圓上,當P與O點重合時,|取得最大值,當P在半徑為的圓周上時,|取得最小值,故選D.6.C 在ABC中,因為ACB90且ACBC4,所以AB4,且BA45.因為3,所以.所以()221644cos 1354.7.B 設a與b的夾角為,由于xi,yi(i1,2,3,4)均由2個a和2個b排列而成,記S(xiyi),則S有以下三種情況:S2a22b2;S4ab;S|a|22ab|b|2.|b|2|a|,中S10|a|2,中S8|a|2cos ,中S5|a|24|a|2cos .易知最小,即8|a|2cos 4|a|2,cos ,可求,故選B.8.22解析由3,得,.因為2,所以()()2,即222.又因為225,264,所以22.9.解析由e1e2,可得cose1,e2,故e1,e2,e2,e1e2,e1.f(e1,e2)e1cos e2sin e1e2,f(e2,e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1,e2)f(e2,e1)(e1e2)(e1e2)e1e20,所以f(e1,e2)f(e2,e1).故向量f(e1,e2)與f(e2,e1)的夾角為.10.5解析如圖,設點O在AB,AC上的射影是點D,E,它們分別為AB,AC的中點,連接OD,OE.由數(shù)量積的幾何意義,可得|32,|72,依題意有x2y64x48y32,即4x3y2,xy248x144y72,即2x6y3,將兩式相加可得6x9y5.11.解(1)因為ab,所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(sin xcos x,)(cos x,1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理,得,所以sin A.所以A或A.因為ba,所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因為x0,所以2x,.所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范圍為1,.12.解(1)由,且A,B,D三點共線,可知|.又AD5,所以DB11.在RtADC中,CD2AC2AD275,在RtBDC中,BC2DB2CD2196,所以BC14.所以|14.(2)由(1),知|16,|10,|14.由余弦定理,得cos A.由xt,yt,知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函數(shù)的圖象,可知該函數(shù)在1,)上單調(diào)遞增,所以當t1時,k取得最小值516.- 配套講稿:
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