【高考前三個月復習數(shù)學理科】第二篇 第4講

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第4講　數(shù)列問題 題型一　數(shù)列通項與求和 例1　(12分)(2014江西)已知首項都是1的兩個數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 規(guī)范解答 解　(1)因為bn≠0，所以由anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0， 得－＋2＝0，[2分] 即－＝2，[3分] 所以cn＋1－cn＝2， 所以{cn}是以c1＝＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列，[5分] 所以cn＝1＋(n－1)2＝2n－1.[6分] (2)因為bn＝3n－1，cn＝2n－1. 所以an＝cnbn＝(2n－1)3n－1.[7分] 所以Sn＝130＋331＋532＋…＋(2n－1)3n－1， 3Sn＝131＋332＋…＋(2n－3)3n－1＋(2n－1)3n，[9分] 作差得： －2Sn＝1＋2(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)3n ＝－2－(2n－2)3n，[11分] 所以Sn＝(n－1)3n＋1.[12分] 評分細則 第(1)問得分點 1.利用已知條件合理轉(zhuǎn)化得2分. 2.寫成等差數(shù)列定義形式得1分. 3.得出其首項、公差進而寫出通項得3分. 第(2)問得分點 1.由bn＝3n＋1，cn＝2n－1，得到{an}的通項得1分. 2.在等式兩端同乘以3給2分. 3.錯位相減給1分. 4.錯位相減后求和正確得2分. 5.最后結(jié)果整理得1分. 第一步：由已知條件確定{an}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列； 第二步：由等差數(shù)列或等比數(shù)列通項公式求得{an}的通項公式； 第三步：分析表達式的結(jié)構(gòu)特征、確定求和方法.(例如：公式法、裂項法，本題用錯位相減法)； 第四步：明確規(guī)范表述結(jié)論； 第五步：反思回顧.查看關(guān)鍵點，易錯點及解題規(guī)范.如本題中在求an時，易忽視對n＝1，n≥2時的討論. 跟蹤訓練1　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值為8. (1)確定常數(shù)k，并求an； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. 　 　 　 　 　 　 題型二　數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題 例2　(12分)(2014浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝－(n∈N*).記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn. ①求Sn； ②求正整數(shù)k，使得對任意n∈N*，均有Sk≥Sn. 規(guī)范解答 解　(1)由題意知a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝＝()6＝8.[2分] 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項為an＝2n(n∈N*)，[4分] 所以，a1a2a3…an＝＝()n(n＋1). 故數(shù)列{bn}的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*).[6分] (2)①由(1)知cn＝－＝－ ＝－(n∈N*)， Sn＝－(1－＋－＋…＋－)， 所以Sn＝－(n∈N*).[8分] ②因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，[9分] 當n≥5時，cn＝， 而－＝>0， 得≤<1， 所以，當n≥5時，cn<0.[11分] 綜上，對任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.[12分] 評分細則 第(1)問得分點 1.利用已知條件得到a3＝8得2分；得出b2，b3的關(guān)系式也給1分. 2.解對an＝2n得2分，求出q可得1分，但q＝－2不舍去不得分. 3.解出bn得2分. 第(2)問得分點 1.裂項得1分，求和寫出正確結(jié)果得1分，不管過程有無. 2.驗算前4項給1分. 3.驗算后給出最后結(jié)果給2分. 4.證明方式不唯一，只要論證合理，同樣得分. 第一步：由已知條件和數(shù)列性質(zhì)求基本量，確定數(shù)列的特性(等差或等比數(shù)列)； 第二步：求出an或Sn的通項公式； 第三步：分析an，Sn涉及的函數(shù)或不等式，利用相關(guān)函數(shù)或不等式性質(zhì)解決題目中的問題； 第四步：得出結(jié)果，敘述完整； 第五步：回顧反思.查驗“n”的取值是否符合要求，運算過程是否有不當之處. 跟蹤訓練2　已知點是函數(shù)f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的圖象上的一點.等比數(shù)列{an}的前n項和為f(n)－c.數(shù)列{bn} (bn>0)的首項為c，且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2). (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)若數(shù)列的前n項和為Tn，問滿足Tn>的最小正整數(shù)n是多少？ 　 　 　 　 答案精析 第4講　數(shù)列問題 跟蹤訓練1　解　(1)當n＝k∈N*時，Sn＝－n2＋kn取最大值， 即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4， 從而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)． 又a1＝S1＝，所以an＝－n. (2)因為bn＝＝， Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋， 所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－ ＝4－－＝4－. 跟蹤訓練2　解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x. 由題意知，a1＝f(1)－c＝－c， a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－， a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－. 又數(shù)列{an}是等比數(shù)列， ∴a1＝＝＝－＝－c， ∴c＝1.又公比q＝＝， ∴an＝－n－1＝－2n (n∈N*)． ∵Sn－Sn－1＝(－)(＋) ＝＋ (n≥2)． 又bn>0，>0，∴－＝1. ∴數(shù)列{}構(gòu)成一個首項為1、公差為1的等差數(shù)列， ＝1＋(n－1)1＝n，即Sn＝n2. 當n≥2時，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 當n＝1時，b1＝1也適合此通項公式． ∴bn＝2n－1 (n∈N*)． (2)Tn＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝＝. 由Tn＝>，得n>， ∴滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為101.