數(shù)學(xué)物理方法 7 數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題.ppt

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2020/4/28,1,想要探索自然界的奧秘就得解微分方程——牛頓,第二篇數(shù)學(xué)物理方程,參考書：R.Haberman著，郇中丹等譯，《實(shí)用偏微分方程》（原書第四版），機(jī)械工業(yè)出版社，2007,2020/4/28,2,第七章數(shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題,在數(shù)學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和模擬?！绽?2020/4/28,3,一、數(shù)學(xué)物理方程(泛定方程):物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表示,泛定方程反映的是同一類物理現(xiàn)象的共性，和具體條件無(wú)關(guān)。,數(shù)學(xué)物理方程：從物理問(wèn)題中導(dǎo)出的函數(shù)方程，特別是偏微分方程和積分方程。,重點(diǎn)討論：二階線性偏微分方程。,例：牛頓第二定律反映的是力學(xué)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，跟具體條件無(wú)關(guān)。,2020/4/28,4,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,三類典型的數(shù)學(xué)物理方程,,,,,,,退化為拉普拉斯方程,,2020/4/28,5,5,1邊界問(wèn)題---邊界條件,體現(xiàn)邊界狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為邊界條件,2歷史問(wèn)題----初始條件,體現(xiàn)歷史狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程稱為初始條件,例：一個(gè)物體做豎直上拋，一個(gè)物體斜拋。不同的初始條件→不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但都服從牛頓第二定律。,三、定解問(wèn)題在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。,定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問(wèn)題的特殊性，即個(gè)性。泛定方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問(wèn)題的共性。,二、定解條件,2020/4/28,6,6,具體問(wèn)題求解的一般過(guò)程：,1、根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律列出泛定方程——客觀規(guī)律．,2、根據(jù)已知系統(tǒng)的邊界狀況和初始狀況列出邊界條件和初始條件——求解所必須的已知條件．,3、求解方法——行波法、分離變量法、積分變換法、格林函數(shù)法和變分法,2020/4/28,7,7.1數(shù)學(xué)模型（泛定方程）的建立,建模步驟：,（1）明確要研究的物理量是什么？從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用。,（2）研究物理量遵循哪些物理規(guī)律？,（3）按物理定律寫出數(shù)理方程（泛定方程）。,2020/4/28,8,(一）均勻弦橫振動(dòng)方程,現(xiàn)象描述（如圖）：沿x軸繃緊的均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置(x軸)附近產(chǎn)生振幅極小的橫向振動(dòng)目的：建立與細(xì)弦上各點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律相應(yīng)的方程設(shè)定:(1)弦不振動(dòng)時(shí)靜止于x軸;(2)用u(x,t)表示t時(shí)刻弦上任一點(diǎn)x在垂直于x軸方向上的橫向位移（偏離）情況,弦的橫振動(dòng),,2020/4/28,9,選取不包括端點(diǎn)的一微元[x,x+dx]弧B段作為研究對(duì)象.,研究對(duì)象:,(4)設(shè)單位長(zhǎng)度上弦受力F(x,t)，線力密度為：,假設(shè)與近似：,(1)弦是柔軟的(不抵抗彎曲),張力沿弦的切線方向(2)振幅極小,張力與水平方向的夾角?1和?2很小，僅考慮?1和?2的一階小量，略去二階小量(3)弦的重量與張力相比很小，可以忽略,質(zhì)量線密度?，,B,2020/4/28,10,B段弦的原長(zhǎng)近似為dx.,振動(dòng)拉伸后：,B段的質(zhì)量：弦長(zhǎng)dx，質(zhì)量線密度?，則B段質(zhì)量m=?dx,,,物理規(guī)律：,用牛頓運(yùn)動(dòng)定律分析B段弦的受力及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：,牛頓運(yùn)動(dòng)定律：,2020/4/28,11,①沿x-方向：弦橫向振動(dòng)不出現(xiàn)x方向平移，得力平衡方程,②沿垂直于x-軸方向：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得運(yùn)動(dòng)方程,在微小振動(dòng)近似下：,由（1）式，弦中各點(diǎn)的張力相等,（1）,（2）,,,,,2020/4/28,12,波動(dòng)方程：,波速a,受迫振動(dòng)方程,單位質(zhì)量弦所受外力，線力密度,令,………一維波動(dòng)方程,2020/4/28,13,………一維波動(dòng)方程,------非齊次方程,------齊次方程,忽略重力和外力作用：,如考慮弦的重量：,沿x-方向，不出現(xiàn)平移,沿垂直于x-軸方向,（1）,（2）,因?yàn)椋?所以有：,討論：,2020/4/28,14,（二）輸動(dòng)問(wèn)題--擴(kuò)散問(wèn)題,擴(kuò)散現(xiàn)象：系統(tǒng)的濃度不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處向低濃度處轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，稱之為擴(kuò)散。,①擴(kuò)散定律即裴克定律：這是一條實(shí)驗(yàn)定律,數(shù)學(xué)建模：建立空間各點(diǎn)濃度u(x,y,z,t)的方程物理規(guī)律：以擴(kuò)散定律和粒子數(shù)守恒定律為研究基礎(chǔ),②粒子數(shù)守恒定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流入某一體積的粒子數(shù)與流出這一體積的粒子數(shù)之差等于此體積內(nèi)的單位時(shí)間內(nèi)粒子數(shù)的增加量,處理方法：在濃度不均勻的無(wú)源空間，劃出任一小立方體V為研究對(duì)象，分析濃度變化規(guī)律。,2020/4/28,15,濃度不均勻:用濃度梯度表示；,擴(kuò)散流強(qiáng)弱（強(qiáng)度）：用單位時(shí)間通過(guò)單位面積的物質(zhì)的量表示；,擴(kuò)散（裴克）實(shí)驗(yàn)定律：,擴(kuò)散系數(shù),設(shè)定：,處理方法：在濃度不均勻的無(wú)源空間，劃出任一小立方體V為研究對(duì)象，分析濃度變化規(guī)律。,擴(kuò)散流強(qiáng)度與濃度梯度間關(guān)系：采用裴克實(shí)驗(yàn)定律確定,體元Ｖ內(nèi)粒子數(shù)：,2020/4/28,16,考察沿x-方向擴(kuò)散流情況：,單位時(shí)間沿x-方向凈流入量,同理沿y和沿z方向凈流入量,由粒子數(shù)守恒定律，有,負(fù)號(hào)表示擴(kuò)散方向與濃度梯度方向相反,單位時(shí)間內(nèi)向V的凈流入量,下面由粒子數(shù)守恒定律建立V內(nèi)粒子數(shù)變化規(guī)律。,單位時(shí)間內(nèi)V內(nèi)粒子數(shù)的增加量,2020/4/28,17,如果擴(kuò)散是均勻的,即D是一常數(shù)，則可以令D=a2，則有,代入擴(kuò)散定律,三維擴(kuò)散方程,如果所研究的空間存在擴(kuò)散源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)無(wú)關(guān)，且為F(x,y,z),這時(shí)擴(kuò)散方程修改為,如果所研究的空間存在源，源強(qiáng)度與u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=b2u(x,y,z)這時(shí)擴(kuò)散方程修改為,討論：,2020/4/28,18,密度場(chǎng)：密度在空間的分布構(gòu)成一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。,有擴(kuò)散源時(shí)系統(tǒng)的密度場(chǎng)滿足非齊次擴(kuò)散方程,穩(wěn)定狀態(tài)：密度u不隨時(shí)間變化，則,泊松方程,無(wú)擴(kuò)散源：F=0,拉普拉斯方程,（三）泊松方程或拉普拉斯方程:穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題,2020/4/28,19,例1熱傳導(dǎo),所要研究的物理量：,溫度,物理規(guī)律：采用傅里葉實(shí)驗(yàn)定律,熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。,數(shù)學(xué)建模：,傅里葉定律：,溫度不均勻:用溫度梯度表示；,傳熱的強(qiáng)弱即熱流強(qiáng)度：用單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積的熱量表示；,設(shè)定：,沿曲面法向流出熱量：,熱傳導(dǎo)系數(shù),2020/4/28,20,,②有限時(shí)間內(nèi)即時(shí)刻t1到t2通過(guò)閉曲面S流入V的熱量為,高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量對(duì)包圍該體積的面積分）,處理方法：在溫度不均勻的無(wú)源空間，劃出任一封閉曲面S包圍的體積元V（如圖）。,①在S上選取任一足夠小的微面元dS，在此面元范圍內(nèi)熱流強(qiáng)度近似為常量。,那么在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為(向?yàn)檎?：,2020/4/28,21,,,,③流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化,,,,,,流入的熱量：,?,④溫度發(fā)生變化需要的熱量(c比熱容，ρ質(zhì)量密度)：,熱傳導(dǎo)方程,,,如果物體內(nèi)有熱源，則溫度滿足非齊次熱傳導(dǎo)方程,總結(jié)：熱傳導(dǎo)：熱量的傳遞；擴(kuò)散：粒子的運(yùn)動(dòng)，兩者本質(zhì)不同，但滿足同一微分方程,2020/4/28,22,例2靜電場(chǎng)電勢(shì)問(wèn)題。,介質(zhì)方程:,其中:,物理規(guī)律：由電磁學(xué)可知，靜電場(chǎng)滿足靜電學(xué)高斯定理、環(huán)路定理和介質(zhì)方程。,數(shù)學(xué)建模：建立電勢(shì)u(x,y,z)與電荷密度ρ(x,y,z)的關(guān)系。,由電場(chǎng)的高斯定理,物理問(wèn)題：在介電常數(shù)為ε的介質(zhì)空間，存在電荷分布ρ(x,y,z)?激發(fā)電場(chǎng)?形成電勢(shì)分布u(x,y,z)。,2020/4/28,23,,,稱這個(gè)方程為拉普拉斯方程.,由電場(chǎng)的環(huán)路定理，可知靜電場(chǎng)是一個(gè)保守場(chǎng).由保守場(chǎng)的性質(zhì)，引入電勢(shì)u,且電場(chǎng)是電勢(shì)梯度的負(fù)值，即：,進(jìn)一步對(duì)電場(chǎng)取散度，有：,泊松方程,設(shè)電勢(shì)為:u(x,y,z)。,2020/4/28,24,7.13.4.,本講作業(yè),2020/4/28,25,7.2定解條件,數(shù)學(xué)物理方程的定解在給定的邊界條件和初始條件下，根據(jù)已知的物理規(guī)律，在給定的區(qū)域里解出某個(gè)物理量u，即求u(x,y,z,t)。,1數(shù)學(xué)物理方程：不帶有邊界和初始條件的方程稱為泛定方程。它反映了問(wèn)題的共性。2定解條件：邊界條件和初始條件的總體。它反映了問(wèn)題的特殊性，即個(gè)性。,2020/4/28,26,初始時(shí)刻的溫度分布：,B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件,C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件,A、波動(dòng)方程的初始條件,——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài),系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度,（一）初始條件,波動(dòng)方程含有時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，所以需二個(gè)初始條件,熱傳導(dǎo)方程含有時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以需一個(gè)初始條件,此類導(dǎo)方程不含時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以不需要有初始條件,2020/4/28,27,和是空間坐標(biāo)的函數(shù),注意：初始條件給出系統(tǒng)在初始狀態(tài)下物理量的分布，而不是某一位置處的情況。,解：初始時(shí)刻就是放手的那一瞬間，弦的形狀如圖所示,且弦處于靜止?fàn)顟B(tài)，即有方程,初始位移,,,初始速度,2020/4/28,28,（二）邊界條件,定義：系統(tǒng)的物理量在邊界上具有的情況。,A.第一類（狄利克雷）邊界條件,給出未知函數(shù)在邊界上的函數(shù)值。,例2：兩端固定的弦振動(dòng)時(shí)的邊界條件：,和,常見的線性邊界條件分為三類：,2020/4/28,29,例3：細(xì)桿熱傳導(dǎo),,細(xì)桿在x=l端的溫度隨時(shí)間變化,設(shè)溫度變化規(guī)律為f(t),邊界的數(shù)理方程,細(xì)桿x=l端的溫度處于恒溫狀態(tài),邊界的數(shù)理方程,第一類邊界條件的基本形式：,2020/4/28,30,B.第二類（諾伊曼）邊界條件,例4：細(xì)桿熱傳導(dǎo)我們用傅里葉(熱傳導(dǎo))定律來(lái)建立邊界的數(shù)學(xué)物理方程.傅里葉實(shí)驗(yàn)定律:單位時(shí)間內(nèi),通過(guò)單位面積的熱流為,給出未知函數(shù)在邊界上的法線方向的導(dǎo)數(shù)之值。,第二類邊界條件的基本形式：,細(xì)桿x=a端點(diǎn)絕熱的邊界條件：,設(shè)細(xì)桿沿x軸方向,則一維傅里葉實(shí)驗(yàn)定律改寫為,其中u是所在位置處物體的k是傳熱系數(shù)。,細(xì)桿x=a端點(diǎn)有熱流kf(t)流出的邊界條件：,2020/4/28,31,（3）.第三類（混合）邊界條件,１牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過(guò)物體單位表面流入周圍介質(zhì)的熱流（即流出熱流）為,式中u是物體表面的溫度，?是周圍介質(zhì)的溫度，h是熱交換系數(shù)。,在一維情況下，牛頓冷卻定律簡(jiǎn)化為,２一維傅里葉實(shí)驗(yàn)定律,先引入兩個(gè)基本物理定律：,2020/4/28,32,例5：寫出導(dǎo)熱細(xì)桿l端“自由”冷卻的邊界條件。,根據(jù)熱傳導(dǎo)定律，在x=l處：,在x=0處：,流出熱流強(qiáng)度,由牛頓冷卻定律，此流出熱量與細(xì)桿和外界的溫度差成正比，即,即：,討論：如圖情況,2020/4/28,33,例6：細(xì)桿縱振動(dòng)：端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力,胡克定律：,彈性力：,則在端點(diǎn),這些是最常見的線性邊界條件，還有其它形式。,（三）銜接條件,,,系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)(躍變點(diǎn))。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在x=0處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過(guò)程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。,,,,第三類邊界條件的基本形式：,2020/4/28,34,這兩個(gè)等式就是構(gòu)成兩段銜接的是銜接條件。,②折點(diǎn)處，橫向力應(yīng)與張力平衡：,即,①折點(diǎn)處位移極限值相同。,弦在折點(diǎn)x0的左右斜率不同。,即斜率有躍變，則uxx在折點(diǎn)x0不存在，也即此點(diǎn)處弦振動(dòng)方程不成立。只能把弦以x0為界分為二段。,例7,橫向力F(t)集中作用于弦上x0點(diǎn),使x0點(diǎn)成為折點(diǎn)（如圖）。,但二段是同一根弦，它們間相互關(guān)連。因此要建立此關(guān)系：,2020/4/28,35,例8長(zhǎng)為l的弦在x=0端固定，另一端x=l自由，,且在初始時(shí)刻t=0時(shí)處于水平狀態(tài)，初始速度為x(l-x),，且已知弦作微小橫振動(dòng)，試寫出此定解問(wèn)題.,[解]（1）確定泛定方程：,弦作自由（無(wú)外力）橫振動(dòng)，所以泛定方程為齊次波動(dòng)方程,,(2)確定邊界條件,對(duì)于弦的固定端，顯然有u(x,t)|x=0=0,ux(x,t)|x=l=0,另一端自由，意味著弦的張力為零．則,2020/4/28,36,(3)確定初始條件,,初始速度,綜上討論，故定解問(wèn)題為,2020/4/28,37,,例9在均勻靜電場(chǎng)E0中置入半徑為R0的導(dǎo)體球，若導(dǎo)體球接有穩(wěn)恒電池，使球與地保持電勢(shì)差u0。試寫出電勢(shì)u滿足的泛定方程與定解條件。解：選z軸沿均勻外電場(chǎng)E0的方向，見圖1。,2020/4/28,38,,設(shè)球內(nèi)外電勢(shì)分別用u0、u1表示。（1）泛定方程。因?yàn)槌蛎嫔?R=R0)有自由電荷分布外，球內(nèi)外的ρf=0，故（2）定解條件給出球面與無(wú)限遠(yuǎn)最勢(shì)滿足的規(guī)律。球面處：球面上電勢(shì)連續(xù)，即有邊界條件,2020/4/28,39,,現(xiàn)在計(jì)算上式從Ｒ＝０到∞的積分。由于在靜電場(chǎng)中，上式的積分與積分的路線無(wú)關(guān)，故可取積分路線l為直線，如圖(1)所示。將E０cosθ作為常數(shù)提出積分號(hào)外，并將u(R0)=u0代入，便有邊界條件,無(wú)限遠(yuǎn)處：可以把導(dǎo)體表面有限的電荷分布產(chǎn)生的電勢(shì)和電勢(shì)u0看成點(diǎn)電荷和點(diǎn)電勢(shì)源,由于點(diǎn)電荷在無(wú)限遠(yuǎn)處的貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)，故可把目前問(wèn)題簡(jiǎn)化為點(diǎn)電勢(shì)在空間的分布問(wèn)題。對(duì)于點(diǎn)電勢(shì)，隨著離開點(diǎn)勢(shì)源的距離l的增加,電勢(shì)是減少的,由圖(1)可得,2020/4/28,40,7.21.3.5.7,本講作業(yè),2020/4/28,41,(一)線性二階偏微分方程,(1)偏微分方程含有未知多元函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的方程，如,有時(shí)為了書寫方便，通常記,7.3數(shù)學(xué)物理方程的分類*,2020/4/28,42,(2)方程的階偏微分方程中未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階．,(3)方程的次數(shù)偏微分方程中最高階偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)稱為偏微分方程的次數(shù)．,(4)線性方程一個(gè)偏微分方程對(duì)未知函數(shù)和未知函數(shù)的所有（組合）偏導(dǎo)數(shù)的冪次數(shù)都是一次的，就稱為線性方程，高于一次以上的方程稱為非線性方程．,(5)準(zhǔn)線性方程一個(gè)偏微分方程，如果僅對(duì)方程中所有最高階偏導(dǎo)數(shù)是線性的，則稱方程為準(zhǔn)線性方程．,(6)自由項(xiàng)在偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱為自由項(xiàng)．,2020/4/28,43,（7）方程的通解,（8）方程的特解,方程的解含有任意元素（即任意常數(shù)或任意函數(shù)）,2020/4/28,44,1.二階線性偏微分方程的一般形式,a11,a12,a22,b1,b2,c,f只是x,y的函數(shù)。,f?0方程為齊次的;否則,為非齊次的.,疊加原理,定解問(wèn)題的解可以看作幾個(gè)部分的線性疊加，只要這些部分各自所滿足的泛定方程和定解條件的相應(yīng)的線性疊加正好是原來(lái)的泛定方程和定解條件。,泛定方程、定解條件都是線性,(二)二階線性偏微分方程的分類,2020/4/28,45,2.二階偏微分方程的化簡(jiǎn),作變換：,為使變換非奇異，其雅克比行列式滿足,變換運(yùn)算,有,即,,2020/4/28,46,采用新變量后的方程,其中,2020/4/28,47,注意A11和A22形式相同，ξ和η用z表示，如果,則有（或）,,二階線性偏微分方程的特征方程,特征方程的根為：,通過(guò)求解此微分方程可以得到變換函數(shù)（特征線），從而線性偏微分方程得以簡(jiǎn)化。,2020/4/28,48,定義：,也就是說(shuō)，偏微分方程(1)有兩條實(shí)的特征線．于是取,方程可化為：,作為新的自變量，此時(shí)有：,2020/4/28,49,或者進(jìn)一步作變換,于是有,所以,又可以進(jìn)一步將方程化為,形式．我們前面建立的波動(dòng)方程就屬于此類型．,這種類型的方程稱為雙曲型方程，是雙曲型方程的標(biāo)準(zhǔn),2020/4/28,50,2．當(dāng)判別式,時(shí)：這時(shí)方程重根,特征線為一條實(shí)特征線,作變換,任意選取另一個(gè)變換，,只要它和,彼此獨(dú)立，即雅可比式,2020/4/28,51,方程可化為：,此類方程稱為拋物型方程．熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程就屬于這種類型．,2020/4/28,52,3.當(dāng)判別式,面的討論，只不過(guò)得到的,時(shí)：可以重復(fù)上,和,是一對(duì)共軛的,復(fù)函數(shù)，或者說(shuō)，兩條特征線是一對(duì)共軛復(fù)函數(shù)族:,是一對(duì)共軛的復(fù)變量．進(jìn)一步引進(jìn)兩個(gè)新的實(shí)變量,于是,2020/4/28,53,所以,方程進(jìn)一步化為,這種類型的方程稱為橢圓型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都屬于這種類型．,2020/4/28,54,小結(jié)：,?=a212－a11a22,判別式,>0雙曲型?=0拋物線型?x/a時(shí)，上式后兩項(xiàng)無(wú)意義，必須將u(x,t)延拓到這個(gè)范圍,，作奇延拓：,半無(wú)限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng),,2020/4/28,64,2020/4/28,65,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,半波損失,只有初始位移，沒(méi)有初始速度,開始反射,,,2020/4/28,66,一個(gè)端點(diǎn)自由,設(shè)初始條件為,和,邊界條件,應(yīng)該是偶延拓,,2020/4/28,67,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,無(wú)半波損失,,,,,,,,只有初始位移，沒(méi)有初始速度,開始反射,,,2020/4/28,68,（三）躍變點(diǎn)的反射,無(wú)限長(zhǎng)桿，x0兩部分的楊氏模量和密度分別為。x=0是躍變點(diǎn)。,設(shè)有行波從區(qū)域I向x=0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。到x=0產(chǎn)生反射和透射。,取此波在t=0時(shí)刻抵達(dá)x=0.,銜接條件,,,,,,,,2020/4/28,69,區(qū)域II中，只有透射波,銜接條件,,區(qū)域I中的行波：,,2020/4/28,70,又,反射系數(shù),透射系數(shù),2020/4/28,71,從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動(dòng)方程的解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來(lái)。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說(shuō)明了初始條件和邊界條件在確定波動(dòng)方程的解時(shí)的重要性。,達(dá)朗貝爾解表示沿x軸正、反向傳播的兩列波的疊加,2020/4/28,72,例9,設(shè)初始條件為,和,邊界條件,定解問(wèn)題,端點(diǎn)自由時(shí)的解,,分解,分析：,2020/4/28,73,解：通解為,定解條件,求：,2020/4/28,74,求,,,2020/4/28,75,例11求解Goursat問(wèn)題,解：令,2020/4/28,76,7.41.2.4.8,本講作業(yè),2020/4/28,77,,,,