《數(shù)學(xué)物理方法》第一章.ppt

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數(shù)學(xué)物理方法,緒論,《數(shù)學(xué)物理方法》既是理論物理學(xué)的基礎(chǔ)，又是物理學(xué)與數(shù)學(xué)聯(lián)系的橋梁。,《數(shù)學(xué)物理方法》課程包括復(fù)變函數(shù)、數(shù)學(xué)物理方程、積分變換和特殊函數(shù)四大部分。,是既具有數(shù)學(xué)類型又具有物理類型的二重性課程。本課程為后續(xù)的物理基礎(chǔ)課程和專業(yè)課程研究有關(guān)的數(shù)學(xué)物理問題作準(zhǔn)備，也為今后工作中遇到的數(shù)學(xué)物理問題的求解提供基礎(chǔ)。,學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)物理方法》，主要矛盾是如何學(xué)習(xí)和掌握各種具體的計(jì)算方法，逐步培養(yǎng)利用數(shù)學(xué)物理方法的知識(shí)解決物理問題的能力。,課程性質(zhì),《數(shù)學(xué)物理方法》與《高等數(shù)學(xué)》是分不開的，它涉及一元和多元微積分學(xué)、冪級(jí)數(shù)、付里葉級(jí)數(shù)、微分方程、場論、線性代數(shù)等。,答疑：,要勤于思考，多做練習(xí)，“熟能生巧”。當(dāng)學(xué)完《數(shù)學(xué)物理方法》以后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，你的數(shù)學(xué)分析水平將有大幅提高。,學(xué)習(xí)方法,參考書,1.梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法.高等教育出版社，1998年6月第三版2.郭敦仁：《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：人民教育出版社19653.吳崇試：《數(shù)學(xué)物理方法》，北京：北京大學(xué)出版社20034.[德]顧樵，《數(shù)學(xué)物理方法》，科學(xué)出版社……,第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),第一節(jié)復(fù)數(shù)第二節(jié)復(fù)變函數(shù)的基本概念第三節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),第一節(jié)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)相等,復(fù)數(shù),形如z=x+iy的數(shù)被稱為復(fù)數(shù)，其中x,y∈R。x=Rez，y=Imz分別為z的實(shí)部和虛部，i為虛數(shù)單位，其意義為i2=-1,z1=z2當(dāng)且僅當(dāng)Rez1=Rez2且Imz1=Imz2,復(fù)數(shù)四則運(yùn)算？,復(fù)平面,復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng),模,幅角,,復(fù)數(shù)不能比較大小,,0的幅角呢？,（幾何表示）,復(fù)數(shù)的表示,代數(shù)表示：z=x+iy,三角表示：z=r(cosθ+isinθ),指數(shù)表示：z=reiθ,注意,在三角表示和指數(shù)表示下，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)模相等且幅角相差2kπ,歐拉公式,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,設(shè)z1=x1+iy1和z2=x2+iy2是兩個(gè)復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則,乘法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加,除法運(yùn)算,兩個(gè)復(fù)數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減,共軛復(fù)數(shù)及其運(yùn)算,復(fù)數(shù)z=x+iy的共軛復(fù)數(shù)為=x-iy,共軛復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)z關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn),根式函數(shù),稱滿足方程的復(fù)數(shù)為的n次方根，記作,解：,則,記,記,例如,舉例,復(fù)數(shù)的發(fā)展,,復(fù)數(shù)的引入,需特別指出：可以證明當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，若要用公式法來求解，則不可能不經(jīng)過負(fù)數(shù)開方(參考：范德瓦爾登著《代數(shù)學(xué)》,丁石孫譯,科學(xué)出版社，1963年)。至此，我們明白了這樣的事實(shí)，此方程根的求得必須引入虛數(shù)概念。卡丹諾公式出現(xiàn)于十七世紀(jì)，那時(shí)虛數(shù)的地位就應(yīng)確定下來，但對虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認(rèn)識(shí)?！疤摂?shù)”這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartes）正式取定的?！疤摂?shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)”，“實(shí)際不存在的數(shù)”，后來還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣。,十八世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler，1707-1783)試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù)，他把虛數(shù)稱之為“幻想中的數(shù)”或“不可能的數(shù)”。他在《對代數(shù)的完整性介紹》(1768－1769年在俄國出版，1770年在德國出版)一書中說：因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大，或者比零小，或者等于零，即為有序數(shù)。所以很清楚，負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中，就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù)，而就其本性來說它是不可能的數(shù).因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù)，于是Euler首先引入符號(hào)i作為虛數(shù)單位。,十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初，挪威測量學(xué)家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘（Argand）以及德國的數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）等都對“虛數(shù)”(也稱為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋，并使復(fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用。特別地,在十九世紀(jì)，有三位代表性人物，即柯西（Cauchy，1789－1857）、維爾斯特拉斯（Weierstrass，1815－1897）、黎曼（Rieman，1826－1866）?？挛骱途S爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì)，經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論。,自從有了復(fù)變函數(shù)論，實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問題，比如：負(fù)數(shù)不能開偶數(shù)次方；負(fù)數(shù)沒有對數(shù)；指數(shù)函數(shù)無周期性；正弦、余弦函數(shù)的絕對值不能超過1；……等已經(jīng)不復(fù)存在。,第二節(jié)區(qū)域,區(qū)域的概念,鄰域,平面上以z0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)所組成的集合，稱為z0的δ-鄰域,|z-z0|<δ,0<|z-z0|0，若存在實(shí)數(shù)δ>0，當(dāng)D內(nèi)的z滿足時(shí)，有則稱f（z）當(dāng)z趨于z0時(shí)有極限w0，記作：,,,,,2.幾何意義當(dāng)z在Z平面進(jìn)入以z0為圓心，δ為半徑的圓Cδ時(shí),相應(yīng)的就在W平面進(jìn)入以w0為圓心，ε為半徑的圓Cε內(nèi)。注：這里z以任意方式趨于z0時(shí)，其極限為w0。,3.性質(zhì)：,,,,,要求此時(shí),2.連續(xù)函數(shù),,,,復(fù)平面上任意一點(diǎn)A與球的北極N的聯(lián)線與球面相交于一A’點(diǎn)。,這樣，復(fù)平面上的有限遠(yuǎn)點(diǎn)與球面上N以外的點(diǎn)一一對應(yīng)起來。,此球稱為復(fù)數(shù)球，球面稱為復(fù)球面。,2、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)：,模為無限大的復(fù)數(shù)稱之為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,球與復(fù)平面相切于原點(diǎn)，,1、復(fù)球面（復(fù)數(shù)球）,第三節(jié)復(fù)球面與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),A’,,,,3、全平面與開平面：,包含∞點(diǎn)的復(fù)平面稱為全平面，或閉平面、擴(kuò)充平面，它的幾何模型就是復(fù)數(shù)球。,開平面指不含∞點(diǎn)的復(fù)平面，通常說的復(fù)平面是指開平面。,由于平面上模為無限大的點(diǎn)只對應(yīng)復(fù)數(shù)球上點(diǎn)N，因此定義復(fù)數(shù)平面上∞點(diǎn)為一個(gè)點(diǎn)，即模為無限大，幅角無定義。,謝謝大家！,