人教A版高中數(shù)學選修《不等式選講》全冊教案.doc
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.選修4-5 不等式選講一、課程目標解讀選修系列4-5專題不等式選講,內容包括:不等式的基本性質、含有絕對值的不等式、不等式的證明、幾個著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、數(shù)學歸納法與不等式。通過本專題的教學,使學生理解在自然界中存在著大量的不等量關系和等量關系,不等關系和相等關系都是基本的數(shù)學關系,它們在數(shù)學研究和數(shù)學應用中起著重要的作用;使學生了解不等式及其證明的幾何意義與背景,以加深對這些不等式的數(shù)學本質的理解,提高學生的邏輯思維能力和分析問題解決問題的能力。二、教材內容分析作為一個選修專題,雖然學生已經(jīng)學習了高中必修課程的5個模塊和三個選修模塊,教材內容仍以初中知識為起點,在內容的呈現(xiàn)上保持了相對的完整性整個專題內容分為四講,結構如下圖所示:第一講是“不等式和絕對值不等式”,為了保持專題內容的完整性,教材回顧了已學過的不等式6個基本性質,從“數(shù)與運算”的思想出發(fā),強調了比較大小的基本方法?;仡櫫硕静坏仁剑怀鰩缀伪尘昂蛯嶋H應用,同時推廣到n個正數(shù)的情形,但教學中只要求理解掌握并會應用二個和三個正數(shù)的均值不等式。對于絕對值不等式,借助幾何意義,從“運算”角度,探究歸納了絕對值三角不等式,并用代數(shù)方法給出證明。通過討論兩種特殊類型不等式的解法,學習解含有絕對值不等式的一般思想和方法,而不是系統(tǒng)研究。第二講是“證明不等式的基本方法”,教材通過一些簡單問題,回顧介紹了證明不等式的比較法、綜合法、分析法,反證法、放縮法。其中,用反證法和放縮法證明不等式是新的課程標準才引入到中學數(shù)學教學中的內容。這些方法大多在選修2-2“推理與證明”已經(jīng)學過,此處再現(xiàn)也是為了專題的完整性,對于新增的放縮法,應通過實際實際例子,使學生明確不等式放縮的幾個簡單途徑和方法,比如舍掉或加進一些項,在分式中放大或縮小分子或分母,應用基本不等式進行放縮等(見分節(jié)教學設計)。本講內容也是本專題的一個基礎內容。第三講是“柯西不等式和排序不等式”。這兩個不等式也是本專題實質上的新增內容,教材主要介紹柯西不等式的幾種形式、幾何背景和實際應用。其中柯西不等式及其在證明不等式和求某些特殊類型函數(shù)極值中的應用是教材編寫和我們教學的重點。事實上,柯西不等式和均值不等式在求最值方面的簡單應用,二者同樣重要,在某些問題中,異曲同工。比如課本P41頁,習題3.2第四題。排序不等式只作了解,建議在老師指導下由學生閱讀自學,了解教材中展示的“探究猜想證明應用”的研究過程,初步認識排序不等式的有關知識。第四講是“數(shù)學歸納法證明不等式”數(shù)學歸納法在選修2-2中也學過,建議放在第二講,結合放縮法的教學,進一步理解“歸納遞推”的證明。同時了解貝努利不等式及其在數(shù)學估算方面的初步運用。三、教學目標要求1不等式的基本性質掌握不等式的基本性質,會應用基本性質進行簡單的不等式變形。2含有絕對值的不等式理解絕對值的幾何意義,理解絕對值三角不等式,會解絕對值不等式。3不等式的證明通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法:比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法4幾個著名的不等式(1)認識柯西不等式的幾種不同形式,理解它們的幾何意義,會用二維三維柯西不等式進行簡單的證明與求最值。(2)理解掌握兩個或三個正數(shù)的算術幾何平均不等式并應用。(3)了解n個正數(shù)的均值不等式,n維柯西不等式,排序不等式,貝努利不等式5利用不等式求最大(小)值會用兩個或三個正數(shù)的算術幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值。6數(shù)學歸納法與不等式了解數(shù)學歸納法的原理及其使用范圍;會用數(shù)學歸納法證明簡單的不等式。會用數(shù)學歸納法證明貝努利不等式。四、教學重點難點1、本專題的教學重點:不等式基本性質、均值不等式及其應用、絕對值不等式的解法及其應用;用比較法、分析法、綜合法證明不等式;柯西不等式及其應用、排序不等式;2、本專題的教學難點:三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式及其應用、絕對值不等式解法;用反證法,放縮法證明不等式;運用柯西不等式和排序不等式證明不等式以及求最值等。五、教學總體建議1、回顧并重視學生已學知識 學習本專題,學生已掌握的知識有: 第一、初中課標要求的不等式與不等式組 (1)根據(jù)具體問題中的大小關系了解不等式的意義,并探索不等式的基本性質。 (2)解簡單的一元一次不等式,并能在數(shù)軸上表示出解集。解由兩個一元一次不等式組成的不等式組,并會用數(shù)軸確定解集。 (3)根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系,列出一元一次不等式和一元一次不等式組,解決簡單的問題 第二、高中必修5不等式內容: (1)不等關系。通過具體情境,感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關系,了解不等式(組)的實際背景。 (2)一元二次不等式。 (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題。 (4)基本不等式及其應用(求最值)。 第三、高中選修2-2推理與證明中的比較法、綜合法、分析法、反證法、數(shù)學歸納法等內容。 回顧并重視學生在學習本課程時已掌握的相關知識,可適當指導學生閱讀自學,設置梯度恰當?shù)牧曨},采用題組教學的形式,達到復習鞏固系統(tǒng)化的效果,類似于高考第二輪的專題復習,構建知識體系。2、控制難度不拓展 在解絕對值不等式的教學中,要控制難度:含未知數(shù)的絕對值不超過兩個;絕對值內的關于未知數(shù)的函數(shù)主要限于一次函數(shù)。解含有絕對值的不等式的最基本和有效的方法是分區(qū)間來加以討論,把含有絕對值的不等式轉化為不含絕對值的不等式;不等式證明的教學,主要使學生掌握比較法、綜合法、分析法,其它方法如反證法、放縮法、數(shù)學歸納法,應用柯西不等式和排序不等式的證明,只要求了解。 代數(shù)恒等變換以及放縮法常常使用一些技巧。這些技巧是極為重要的,但對大多數(shù)學生來說,往往很難掌握這些技巧,教學中要盡力使學生理解這些不等式以及證明的數(shù)學思想,對一些技巧不做更多的要求,不要把不等式的教學陷在過于形式化的和復雜的技巧之中。3、重視不等式的應用 不等式應用的教學,主要是引導學生解決涉及大小比較、解不等式和最值問題,其中最值問題主要是用二個或三個正數(shù)平均不等式、二維或三維柯西不等式求解。對于超過3個正數(shù)的均值不等式和柯西不等式;排序不等式;貝努里不等式的應用不作要求。4、重視展現(xiàn)著名不等式的背景 幾個重要不等式大都有明確的幾何背景。教師應當引導學生了解重要不等式的數(shù)學意義和幾何背景,使學生在學習中把握這些幾何背景,力求直觀理解這些不等式的實質。特別是對于n元柯西不等式、排序不等式、貝努利不等式等內容,可指導學生閱讀了解相關背景知識。第一講 不等式和絕對值不等式課 題:第01課時 不等式的基本性質教學目標:1 理解用兩個實數(shù)差的符號來規(guī)定兩個實數(shù)大小的意義,建立不等式研究的基礎。2 掌握不等式的基本性質,并能加以證明;會用不等式的基本性質判斷不等關系和用比較法,反證法證明簡單的不等式。教學重點:應用不等式的基本性質推理判斷命題的真假;代數(shù)證明,特別是反證法。教學難點:靈活應用不等式的基本性質。教學過程: 一、引入:不等關系是自然界中存在著的基本數(shù)學關系。列子湯問中膾炙人口的“兩小兒辯日”:“遠者小而近者大”、“近者熱而遠者涼”,就從側面表明了現(xiàn)實世界中不等關系的廣泛存在;日常生活中息息相關的問題,如“自來水管的直截面為什么做成圓的,而不做成方的呢?”、“電燈掛在寫字臺上方怎樣的高度最亮?”、“用一塊正方形白鐵皮,在它的四個角各剪去一個小正方形,制成一個無蓋的盒子。要使制成的盒子的容積最大,應當剪去多大的小正方形?”等,都屬于不等關系的問題,需要借助不等式的相關知識才能得到解決。而且,不等式在數(shù)學研究中也起著相當重要的作用。本專題將介紹一些重要的不等式(含有絕對值的不等式、柯西不等式、貝努利不等式、排序不等式等)和它們的證明,數(shù)學歸納法和它的簡單應用等。人與人的年齡大小、高矮胖瘦,物與物的形狀結構,事與事成因與結果的不同等等都表現(xiàn)出不等的關系,這表明現(xiàn)實世界中的量,不等是普遍的、絕對的,而相等則是局部的、相對的。還可從引言中實際問題出發(fā),說明本章知識的地位和作用。生活中為什么糖水加糖甜更甜呢?轉化為數(shù)學問題:a克糖水中含有b克糖(ab0),若再加m(m0)克糖,則糖水更甜了,為什么?分析:起初的糖水濃度為,加入m克糖 后的糖水濃度為,只要證即可。怎么證呢? 二、不等式的基本性質:1、實數(shù)的運算性質與大小順序的關系:數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點所表示的數(shù),從實數(shù)的減法在數(shù)軸上的表示可知:得出結論:要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可。2、不等式的基本性質:、如果ab,那么ba,如果bb。(對稱性)、如果ab,且bc,那么ac,即ab,bcac。、如果ab,那么a+cb+c,即aba+cb+c。推論:如果ab,且cd,那么a+cb+d即ab, cd a+cb+d、如果ab,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acb 0,那么 (nN,且n1)、如果ab 0,那么 (nN,且n1)。三、典型例題:例1、比較和的大小。分析:通過考察它們的差與0的大小關系,得出這兩個多項式的大小關系。例2、已知,求證:例3、已知ab0,cd0,求證:。四、課堂練習:1:已知,比較與的大小。2:已知ab0,cd0,求證:。五、課后作業(yè):課本第1、2、3、4題六、教學后記:課 題:第02課時 基本不等式教學目標:1.學會推導并掌握均值不等式定理;2.能夠簡單應用定理證明不等式并解決一些簡單的實際問題。教學重點:均值不等式定理的證明及應用。教學難點:等號成立的條件及解題中的轉化技巧。教學過程: 一、知識學習:定理1:如果a、bR,那么a 2b 2 2ab(當且僅當ab時取“”號)證明:a 2b 22ab(ab)2 當ab時,(ab)20,當ab時,(ab)20所以,(ab)20 即a 2b 2 2ab由上面的結論,我們又可得到定理2(基本不等式):如果a,b是正數(shù),那么 (當且僅當ab時取“”號)證明:()2()22a b2 ,即 顯然,當且僅當ab時,說明:1)我們稱為a,b的算術平均數(shù),稱為a,b的幾何平均數(shù),因而,此定理又可敘述為:兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2)a 2b 22ab和成立的條件是不同的:前者只要求a,b都是實數(shù),而后者要求a,b都是正數(shù).3)“當且僅當”的含義是充要條件.4)幾何意義.二、例題講解:例1 已知x,y都是正數(shù),求證:(1)如果積xy是定值P,那么當xy時,和xy有最小值2; (2)如果和xy是定值S,那么當xy時,積xy有最大值S2證明:因為x,y都是正數(shù),所以 (1)積xy為定值P時,有 xy2上式當xy時,取“”號,因此,當xy時,和xy有最小值2.(2)和xy為定值S時,有 xy S 2上式當x=y時取“”號,因此,當x=y時,積xy有最大值S 2.說明:此例題反映的是利用均值定理求最值的方法,但應注意三個條件:)函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù);)等號成立條件必須存在。例2 :已知a、b、c、d都是正數(shù),求證:(abcd)(acbd)4abcd分析:此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系,從而正確運用,同時加強對均值不等式定理的條件的認識.證明:由a、b、c、d都是正數(shù),得0,0,abcd即(abcd)(acbd)4abcd例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元,池壁每1m2的造價為120元,問怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?分析:此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化,即建立函數(shù)關系式,然后求函數(shù)的最值,其中用到了均值不等式定理.解:設水池底面一邊的長度為xm,水池的總造價為l元,根據(jù)題意,得l240000720(x)2400007202240000720240297600當x,即x40時,l有最小值297600因此,當水池的底面是邊長為40m的正方形時,水池的總造價最低,最低總造價是297600元.評述:此題既是不等式性質在實際中的應用,應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立,又是不等式性質在求最值中的應用,應注意不等式性質的適用條件.三、課堂練習:課本P91練習1,2,3,4.四、課堂小結:通過本節(jié)學習,要求大家掌握兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,但是在應用時,應注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)課本P10習題1.1第5,6,7題六、教學后記:課 題:第03課時 三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式教學目標:1能利用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式,解決最值問題;2了解基本不等式的推廣形式。教學重點:三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式教學難點:利用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式,解決最值問題教學過程:一、知識學習:定理3:如果,那么。當且僅當時,等號成立。推廣: 。當且僅當時,等號成立。語言表述:n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。思考:類比基本不等式,是否存在:如果,那么(當且僅當時,等號成立)呢?試證明。二、例題分析:例1:求函數(shù)的最小值。解一: 解二:當即時 上述兩種做法哪種是錯的?錯誤的原因是什么?變式訓練1 的最小值。由此題,你覺得在利用不等式解決這類題目時關鍵是要_例2 :如下圖,把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形,再把它的邊沿名著虛線折轉成一個無蓋方底的盒子,問切去的正方形邊長是多少時,才能使盒子的容積最大?變式訓練2 已知:長方體的全面積為定值,試問這個長方體的長、寬、高各是多少時,它的體積最大,求出這個最大值由例題,我們應該更牢記 一 _ 二 _ 三 _,三者缺一不可。另外,由不等號的方向也可以知道:積定_,和定_.三、鞏固練習1.函數(shù)的最小值是 ( )A.6 B. C.9 D.122.函數(shù)的最小值是_3函數(shù)的最大值是( )A.0 B.1 C. D. 4.(2009浙江自選)已知正數(shù)滿足,求的最小值。5(2008,江蘇,21)設為正實數(shù),求證:四、課堂小結:通過本節(jié)學習,要求大家掌握三個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會應用它證明一些不等式及求函數(shù)的最值,但是在應用時,應注意定理的適用條件。五、課后作業(yè)P10習題1.1第11,12,13題六、教學后記:課 題:第04課時 絕對值三角不等式教學目標:1:了解絕對值三角不等式的含義,理解絕對值三角不等式公式及推導方法, 會進行簡單的應用。2:充分運用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學思維方法,體會轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想,并能運用絕對值三角不等式公式進行推理和證明。教學重點:絕對值三角不等式的含義,絕對值三角不等式的理解和運用。教學難點:絕對值三角不等式的發(fā)現(xiàn)和推導、取等條件。教學過程:一、復習引入: 關于含有絕對值的不等式的問題,主要包括兩類:一類是解不等式,另一類是證明不等式。本節(jié)課探討不等式證明這類問題。1請同學們回憶一下絕對值的意義。 。 幾何意義:在數(shù)軸上,一個點到原點的距離稱為這個點所表示的數(shù)的絕對值。2證明一個含有絕對值的不等式成立,除了要應用一般不等式的基本性質之外,經(jīng)常還要用到關于絕對值的和、差、積、商的性質:(1),當且僅當時等號成立,當且僅當時等號成立。(2), (3), (4)那么二、講解新課:結論:(當且僅當時,等號成立.)已知是實數(shù),試證明:(當且僅當時,等號成立.)方法一:證明:10 .當ab0時, 20. 當ab,對一切實數(shù)都成立,求實數(shù)的取值范圍。四、課堂練習:解下列不等式:1、 2、 3、 . 4、 . 5、 6、 .7、 8、 9、 10、 五、課后作業(yè):課本20第6、7、8、9題。六、教學后記:第二講 證明不等式的基本方法課 題:第01課時 不等式的證明方法之一:比較法教學目標:能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學重、難點:能熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。教學過程:一、新課學習:要比較兩個實數(shù)的大小,只要考察它們的差的符號即可,即利用不等式的性質:二、典型例題:例1、設都是正數(shù),且,求證:。例2、若實數(shù),求證:證明:采用差值比較法: = = = = 討論:若題設中去掉這一限制條件,要求證的結論如何變換?例3、已知求證本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明:1) 差值比較法:注意到要證的不等式關于對稱,不妨設,從而原不等式得證。2)商值比較法:設 故原不等式得證。例4、甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點。甲有一半時間以速度行走,另一半時間以速度行走;乙有一半路程以速度行走,另一半路程以速度行走。如果,問甲、乙兩人誰先到達指定地點。分析:設從出發(fā)地點至指定地點的路程是,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為。要回答題目中的問題,只要比較的大小就可以了。解:設從出發(fā)地點至指定地點的路程是,甲、乙兩人走完這段路程所用的時間分別為,根據(jù)題意有,可得,從而,其中都是正數(shù),且。于是,即。從而知甲比乙首先到達指定地點。討論:如果,甲、乙兩人誰先到達指定地點?三、課堂練習:1比較下面各題中兩個代數(shù)式值的大小:(1)與;(2)與.2已知 求證:(1) (2)3若,求證四、課時小結:比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是:作差(或作商)、變形、判斷符號。“變形”是解題的關鍵,是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。五、課后作業(yè):課本23頁第1、2、3、4題。六、教學后記:課 題:第02課時 不等式的證明方法之二:綜合法與分析法教學目標:1、 結合已經(jīng)學過的數(shù)學實例,了解直接證明的兩種基本方法:分析法和綜合法。2、 了解分析法和綜合法的思考過程。教學重點:會用綜合法證明問題;了解綜合法的思考過程。教學難點:根據(jù)問題的特點,結合綜合法的思考過程、特點,選擇適當?shù)淖C明方法。教學過程:一、引入:綜合法和分析法是數(shù)學中常用的兩種直接證明方法,也是不等式證明中的基本方法。由于兩者在證明思路上存在著明顯的互逆性,這里將其放在一起加以認識、學習,以便于對比研究兩種思路方法的特點。所謂綜合法,即從已知條件出發(fā),根據(jù)不等式的性質或已知的不等式,逐步推導出要證的不等式。而分析法,則是由結果開始,倒過來尋找原因,直至原因成為明顯的或者在已知中。前一種是“由因及果”,后一種是“執(zhí)果索因”。打一個比方:張三在山里迷了路,救援人員從駐地出發(fā),逐步尋找,直至找到他,這是“綜合法”;而張三自己找路,直至回到駐地,這是“分析法”。二、典型例題:例1、已知,且不全相等。求證: 分析:用綜合法。例2、設,求證證法一 分析法要證成立.只需證成立,又因,只需證成立,又需證成立,即需證成立.而顯然成立. 由此命題得證。證法二 綜合法 注意到,即,由上式即得,從而成立。議一議:根據(jù)上面的例證,你能指出綜合法和分析法的主要特點嗎?例3、已知a,b,m都是正數(shù),并且求證: (1)證法一 要證(1),只需證 (2)要證(2),只需證 (3)要證(3),只需證 (4)已知(4)成立,所以(1)成立。上面的證明用的是分析法。下面的證法二采用綜合法。證法二 因為 是正數(shù),所以 兩邊同時加上得兩邊同時除以正數(shù)得(1)。例4、證明:通過水管放水,當流速相同時,如果水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。分析:當水的流速相同時,水管的流量取決于水管橫截面面積的大小。設截面的周長為,則周長為的圓的半徑為,截面積為;周長為的正方形為,截面積為。所以本題只需證明。證明:設截面的周長為,則截面是圓的水管的截面面積為,截面是正方形的水管的截面面積為。只需證明:。為了證明上式成立,只需證明。兩邊同乘以正數(shù),得:。因此,只需證明。上式顯然成立,所以 。這就證明了:通過水管放水,當流速相同時,如果水管橫截面的周長相等,那么橫截面是圓的水管比橫截面是正方形的水管流量大。例5、證明:。證法一: 因為 (2) (3) (4)所以三式相加得 (5)兩邊同時除以2即得(1)。 證法二:所以(1)成立。例6、證明: (1)證明 (1) (2)(3) (4) (5)(5)顯然成立。因此(1)成立。例7、已知都是正數(shù),求證并指出等號在什么時候成立?分析:本題可以考慮利用因式分解公式 著手。證明: = = 由于都是正數(shù),所以而,可知 即(等號在時成立)探究:如果將不等式中的分別用來代替,并在兩邊同除以3,會得到怎樣的不等式?并利用得到的結果證明不等式: ,其中是互不相等的正數(shù),且.三、課堂小結:解不等式時,在不等式的兩邊分別作恒等變形,在不等式的兩邊同時加上(或減去)一個數(shù)或代數(shù)式,移項,在不等式的兩邊同時乘以(或除以)一個正數(shù)或一個正的代數(shù)式,得到的不等式都和原來的不等式等價。這些方法,也是利用綜合法和分析法證明不等式時常常用到的技巧。四、課堂練習:1、已知求證:2、已知求證3、已知求證4、已知求證:(1)(2) 5、已知都是正數(shù)。求證:(1) (2)6、已知都是互不相等的正數(shù),求證五、課后作業(yè): 課本25頁第1、2、3、4題。六、教學后記:課 題:第03課時 不等式的證明方法之三:反證法教學目標:通過實例,體會反證法的含義、過程與方法,了解反證法的基本步驟,會用反證法證明簡單的命題。教學重點:體會反證法證明命題的思路方法,會用反證法證明簡單的命題。教學難點:會用反證法證明簡單的命題。教學過程:一、引入:前面所講的幾種方法,屬于不等式的直接證法。也就是說,直接從題設出發(fā),經(jīng)過一系列的邏輯推理,證明不等式成立。但對于一些較復雜的不等式,有時很難直接入手求證,這時可考慮采用間接證明的方法。所謂間接證明即是指不直接從正面確定論題的真實性,而是證明它的反論題為假,或轉而證明它的等價命題為真,以間接地達到目的。其中,反證法是間接證明的一種基本方法。反證法在于表明:若肯定命題的條件而否定其結論,就會導致矛盾。具體地說,反證法不直接證明命題“若p則q”,而是先肯定命題的條件p,并否定命題的結論q,然后通過合理的邏輯推理,而得到矛盾,從而斷定原來的結論是正確的。利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟:第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論;第二步 作出與所證不等式相反的假定;第三步 從條件和假定出發(fā),應用證確的推理方法,推出矛盾結果;第四步 斷定產生矛盾結果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立。二、典型例題:例1、已知,求證:(且)例1、設,求證證明:假設,則有,從而 因為,所以,這與題設條件矛盾,所以,原不等式成立。例2、設二次函數(shù),求證:中至少有一個不小于.證明:假設都小于,則 (1) 另一方面,由絕對值不等式的性質,有 (2) (1)、(2)兩式的結果矛盾,所以假設不成立,原來的結論正確。注意:諸如本例中的問題,當要證明幾個代數(shù)式中,至少有一個滿足某個不等式時,通常采用反證法進行。議一議:一般來說,利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果,通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式,以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據(jù)上述兩例,討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點?例3、設0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,則三式相乘:ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 0,ab + bc + ca 0,abc 0,求證:a, b, c 0 證:設a 0, bc 0, 則b + c = -a 0ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾, 必有a 0 同理可證:b 0, c 0三、課堂練習:1、利用反證法證明:若已知a,b,m都是正數(shù),并且,則 2、設0 a, b, c 0,且x + y 2,則和中至少有一個小于2。提示:反設2,2 x, y 0,可得x + y 2 與x + y 2矛盾。四、課時小結:利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟:第一步 分清欲證不等式所涉及到的條件和結論;第二步 作出與所證不等式相反的假定;第三步 從條件和假定出發(fā),應用證確的推理方法,推出矛盾結果;第四步 斷定產生矛盾結果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立。五、課后作業(yè):課本29頁第1、4題。六、教學后記:課 題: 第04課時 不等式的證明方法之四:放縮法教學目標:1感受在什么情況下,需要用放縮法證明不等式。2探索用放縮法證明不等式的理論依據(jù)和技巧。教學重、難點:1掌握證明不等式的兩種放縮技巧。2體會用放縮法證明不等式時放大或縮小的“度”。教學過程:一、引入:所謂放縮法,即是把要證的不等式一邊適當?shù)胤糯螅ɑ蚩s?。怪贸雒黠@的不等量關系后,再應用不等量大、小的傳遞性,從而使不等式得到證明的方法。這種方法是證明不等式中的常用方法,尤其在今后學習高等數(shù)學時用處更為廣泛。下面我們通過一些簡單例證體會這種方法的基本思想。二、典型例題:例1、若是自然數(shù),求證證明: = =注意:實際上,我們在證明的過程中,已經(jīng)得到一個更強的結論,這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。例2、求證:證明:由(是大于2的自然數(shù)) 得 例3、若a, b, c, dR+,求證:證:記m = a, b, c, dR+ 1 m 2 時,求證:證:n 2 n 2時, 三、課堂練習:1、設為大于1的自然數(shù),求證2、設為自然數(shù),求證四、課時小結:常用的兩種放縮技巧:對于分子分母均取正值的分式,()如果分子不變,分母縮小(分母仍為正數(shù)),則分式的值放大;()如果分子不變,分母放大,則分式的值縮小。五、課后作業(yè):課本29頁第2、3題。第三講 柯西不等式與排序不等式課 題: 第01課時 二維形式的柯西不等式(一)教學目標:認識二維柯西不等式的幾種形式,理解它們的幾何意義, 并會證明二維柯西不等式及向量形式. 教學重點:會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學難點:理解幾何意義.教學過程:一、復習準備:1. 提問: 二元均值不等式有哪幾種形式? 答案:及幾種變式.2. 練習:已知a、b、c、d為實數(shù),求證 證法:(比較法)=.=二、講授新課:1. 柯西不等式: 提出定理1:若a、b、c、d為實數(shù),則. 即二維形式的柯西不等式 什么時候取等號? 討論:二維形式的柯西不等式的其它證明方法? 證法二:(綜合法) . (要點:展開配方) 證法三:(向量法)設向量,則,. ,且,則. . 證法四:(函數(shù)法)設,則0恒成立. 0,即. 討論:二維形式的柯西不等式的一些變式? 變式: 或 或. 提出定理2:設是兩個向量,則. 即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 ) 討論:上面時候等號成立?(是零向量,或者共線) 練習:已知a、b、c、d為實數(shù),求證. 證法:(分析法)平方 應用柯西不等式 討論:其幾何意義?(構造三角形)2. 教學三角不等式: 出示定理3:設,則.分析其幾何意義 如何利用柯西不等式證明 變式:若,則結合以上幾何意義,可得到怎樣的三角不等式? 三、應用舉例:例1:已知a,b為實數(shù),求證說明:在證明不等式時,聯(lián)系經(jīng)典不等式,既可以啟發(fā)證明思路,又可以簡化運算。所以,經(jīng)典不等式是數(shù)學研究的有力工具。例題2:求函數(shù)的最大值。分析:利用不等式解決最值問題,通常設法在不等式的一邊得到一個常數(shù),并尋找不等式取等號的條件。這個函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。()解:函數(shù)的定義域為【1,5】,且y0 當且僅當時,等號成立,即時,函數(shù)取最大值課堂練習:1. 證明: (x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)22.求函數(shù)的最大值.例3.設a,b是正實數(shù),a+b=1,求證分析:注意到,有了就可以用柯西不等式了。四、鞏固練習:1. 練習:試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x2+y2的最小值. 五、課堂小結:二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式;三角不等式的兩種形式(兩點、三點)六、布置作業(yè):P37頁,4,5, 7,8,9七、教學后記:課 題: 第02課時 二維形式的柯西不等式(二)教學目標:會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關系,經(jīng)過適當變形,依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關系.教學重點:利用二維柯西不等式解決問題.教學難點:如何變形,套用已知不等式的形式.教學過程:一、復習引入:1. 提問:二維形式的柯西不等式、三角不等式? 幾何意義? 答案:;2. 討論:如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式,拓廣到三維、四維?3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)的最大值? 要點:利用變式.二、講授新課:1. 最大(小)值: 出示例1:求函數(shù)的最大值? 分析:如何變形? 構造柯西不等式的形式 板演 變式: 推廣: 練習:已知,求的最小值. 解答要點:(湊配法). 討論:其它方法 (數(shù)形結合法)2. 不等式的證明: 出示例2:若,求證:.分析:如何變形后利用柯西不等式? (注意對比 構造) 要點: 討論:其它證法(利用基本不等式) 練習:已知、,求證:.三、應用舉例:例1已知a1,a2,an都是實數(shù),求證:分析:用n乘要證的式子兩邊,能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例2已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù),證明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析:上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子,特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進行證明。分析:由形式,聯(lián)系柯西不等式,可以通過構造(12+22+32)作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習:1. 練習:教材P37 8、9題 練習:1設x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=1,求的最小值。 2已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,求的最大值。選做:4已知a,b,c為正實數(shù),且a2+2b2+3c2=6,求a+b+c的最小值。(08廣一模) 5已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+c=1,求的最小值。(08東莞二模) 6已知x+y+z=,則m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08惠州調研)五、布置作業(yè):教材P37 1、6、7題 已知,且,則的最小值. 要點:. 其它證法 若,且,求的最小值. (要點:利用三維柯西不等式)變式:若,且,求的最大值.六、課堂小結:比較柯西不等式的形式,將目標式進行變形,注意湊配、構造等技巧.七、教學后記:課 題: 第03課時 一般形式的柯西不等式教學目標:1.認識柯西不等式的幾種不同形式,理解其幾何意義; 2.通過運用這種不等式分析解決一些問題,體會運用經(jīng)典不等式的一般方法教學重點:一般形式柯西不等式的證明思路,運用這個不等式證明不等式。教學難點:應用一般形式柯西不等式證明不等式。教學過程:一、復習引入:定理1:(柯西不等式的代數(shù)形式)設均為實數(shù),則,其中等號當且僅當時成立。定理2:(柯西不等式的向量形式)設,為平面上的兩個向量,則,其中等號當且僅當兩個向量方向相同或相反(即兩個向量共線)時成立。定理3:(三角形不等式)設為任意實數(shù),則: 二、講授新課:類似的,從空間向量的幾何背景業(yè)能得到|.| | .將空間向量的坐標代入,可得到這就是三維形式的柯西不等式.對比二維形式和三維形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式嗎?定理4:(一般形式的柯西不等式):設為大于1的自然數(shù),(1,2,)為任意實數(shù),則:即,其中等號當且僅當時成立(當時,約定,1,2,)。證明:構造二次函數(shù): 即構造了一個二次函數(shù):由于對任意實數(shù),恒成立,則其,即:,即:,等號當且僅當,即等號當且僅當時成立(當時,約定,1,2,)。如果()全為0,結論顯然成立。三、應用舉例:例3 已知a1,a2,an都是實數(shù),求證:分析:用n乘要證的式子兩邊,能使式子變成明顯符合柯西不等式的形式。例4已知a,b,c,d是不全相等的實數(shù),證明:a2 + b2 + c2 + d2 ab + bc + cd + da 分析:上式兩邊都是由a,b,c,d這四個數(shù)組成的式子,特別是右邊式子的字母排列順序啟發(fā)我們,可以用柯西不等式進行證明。 分析:由形式,聯(lián)系柯西不等式,可以通過構造(12+22+32)作為一個因式而解決問題。四、鞏固練習:練習:1設x,y,z為正實數(shù),且x+y+z=1,求的最小值。 2已知a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值。 3已知a,b,c為正實數(shù),且a+2b+3c=9,求的最大值。五、課堂小結:重點掌握三維柯西不等式的運用。六、布置作業(yè):P41習題3.2 2,3,4,5七、教學后記:課 題: 第04課時 排序不等式教學目標:1. 了解排序不等式的基本形式,會運用排序不等式分析解決一些簡單問題; 2. 體會運用經(jīng)典不等式的一般思想方法教學重點:應用排序不等式證明不等式教學難點:排序不等式的證明思路教學過程一、復習準備:1. 提問: 前面所學習的一些經(jīng)典不等式? (柯西不等式、三角不等式)2. 舉例:說說兩類經(jīng)典不等式的應用實例.二、講授新課:1. 教學排序不等式: 看書:P41P44. 如 如圖, 設,自點沿邊依次取個點, 邊依次取取個點,在邊取某個點與邊 某個點連接,得到,這樣一一搭配,一共可得到 個三角形。顯然,不同的搭配方法,得到的 不同,問:邊上的點與邊上的點如何搭配,才能使個三角形的面積和最大(或最?。?設,由已知條件,得 因為的面積是 ,而 是常數(shù),于是,上面的幾何問題就可以歸結為 代數(shù)問題: 則 何時取最大(或最小)值? 我們把叫做數(shù)組與的亂序和. 其中, 稱為 序和. 稱為 序和.這樣的三個和大小關系如何? 設有兩個有序實數(shù)組:;,是,的任一排列,則有+ (同序和)+ (亂序和)+ (反序和) 當且僅當=或=時,反序和等于同序和. (要點:理解其思想,記住其形式)三、應用舉例:例1:設是n個互不相同的正整數(shù),求證:. 分析:如何構造有序排列? 如何運用套用排序不等式? 證明過程: 設是的一個排列,且,則. 又,由排序不等式,得 小結:分析目標,構造有序排列.四、鞏固練習:1. 練習:教材P45 1題2.已知為正數(shù),求證:. 解答要點:由對稱性,假設,則,于是 , 兩式相加即得.五、課堂小結:排序不等式的基本形式.六、布置作業(yè):教材P45 3、4題七、教學后記:第四講 數(shù)學歸納法證明不等式課 題: 第01課時 數(shù)學歸納法(一)教學目標:1.了解數(shù)學歸納法的原理,能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關的數(shù)學命題;2. 進一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力,經(jīng)歷知識的構建過程, 體會類比的數(shù)學思想。教學重點:數(shù)學歸納法產生過程的分析和對數(shù)學歸納法的證題步驟的掌握。教學難點:數(shù)學歸納法中遞推思想的理解。教學過程:一、創(chuàng)設情境,引出課題(1)不完全歸納法:今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生嗎?因為清晨我在學校門口看到第一個進校園的是男同學,第二個進校園的也是男同學,第三個進校園的還是男同學。于是得出結論:學校里全部都是男同學,同學們說我的結論對嗎?(這顯然是一個錯誤的結論,說明不完全歸納的結論是不可靠的,進而引出第二個問題)(2)完全歸納法:一個火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是紅色的,抽出第二根也是紅色的,請問怎樣驗證五根火柴都是紅色的呢?(將火柴盒打開,取出剩下的火柴,逐一進行驗證。)注:對于以上二例的結果是非常明顯的,教學中主要用以上二題引出數(shù)學歸納法。結論:不完全歸納法結論不可靠;完全歸納法結論可靠。問題:以上問題都是與正整數(shù)有關的問題- 配套講稿:
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- 不等式選講 人教 高中數(shù)學 選修 不等式 教案
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