九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版2
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2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題3分,共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,請把正確的選項(xiàng)選出來并填在該題相應(yīng)的括號(hào)內(nèi))1如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是()A1:2B1:4C1:D2:12在ABC中,C=90,sinA=,則sinB的值是()ABCD3如圖,AB是O的直徑,ACD=15,則BAD的度數(shù)為()A15B30C60D754如圖所示,給出下列條件:B=ACD;ADC=ACB;AC2=ADAB其中單獨(dú)能夠判定ABCACD的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D45在ABC中,若cosA=,tanB=,則這個(gè)三角形一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形6如圖,每個(gè)小正方形邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與左圖中ABC相似的是()ABCD7如圖,BC是O的直徑,P是CB延長線上一點(diǎn),PA切O于點(diǎn)A,如果PA=4,PB=2,那么線段BC的長等于()A3B4C5D68如圖,在半徑為6cm的O中,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn),且D=30,下列四個(gè)結(jié)論:OABC;BC=6;sinAOB=;四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號(hào)是()ABCD二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分,只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對得3分)9等腰三角形底邊長10cm,周長為36cm,則一底角的正切值為10弧長為6的弧所對的圓心角為60,則該弧所在圓的半徑是11將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則的值是12如圖,平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,如果,則=13如圖,AB、AC是O的兩條切線,切點(diǎn)分別為B、C,D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn),已知BAC=80,那么BDC=度14如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,頂點(diǎn)A、C分別在x,y軸的正半軸上點(diǎn)Q在對角線OB上,且QO=OC,連接CQ并延長CQ交邊AB于點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)為三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共78分)解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟15計(jì)算:tan30sin60+cos230sin245tan4516如圖,ABC中,DEBC,DE=1,AD=2,DB=3,求BC的長17如圖是以ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰好在半圓上,過C作CDAB交AB于D已知cosACD=,BC=4,求AC的長18如圖,ABC的三頂點(diǎn)分別為A(4,4),B(2,2),C(3,0)請畫出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心,且與ABC相似比為的位似圖形A1B1C1,并寫出A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)(只需畫出一種情況,A1B1:AB=)19如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上,其中分針上有一點(diǎn)A,且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直與桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分如圖2,若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分,則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分?20如圖,小明為測量某鐵塔AB的高度,他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋?43,已知小明的測角儀高CD=1.5米,求鐵塔AB的高(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin43=0.6820,cos43=0.7314,tan43=0.9325)21如圖,以線段AB為直徑的O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是的中點(diǎn),OM交AC于點(diǎn)D,BOE=60,cosC=,BC=2(1)求A的度數(shù);(2)求證:BC是O的切線;(3)求MD的長度22釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土,為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利,我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向,B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少(結(jié)果保留根號(hào))23在矩形ABCD中,DC=2,CFBD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F,連接BF(1)求證:DECFDC;(2)當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí),求sinFBD的值及BC的長度24(12分)如圖,在RtABC中,斜邊BC=12,C=30,D為BC的中點(diǎn),ABD的外接圓O與AC交于F點(diǎn),過A作O的切線AE交DF的延長線于E點(diǎn)(1)求證:AEDE;(2)計(jì)算:ACAF的值2015-2016學(xué)年山東省菏澤市單縣九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題3分,共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中,只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,請把正確的選項(xiàng)選出來并填在該題相應(yīng)的括號(hào)內(nèi))1如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,那么它們的面積比是()A1:2B1:4C1:D2:1【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可得出【解答】解:兩個(gè)相似三角形的相似比是1:2,(1:2)2=1:4故選B【點(diǎn)評】本題是一道考查相似三角形性質(zhì)的基本題目,比較簡單2在ABC中,C=90,sinA=,則sinB的值是()ABCD【考點(diǎn)】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系:sin2A+sin2B=1解答【解答】解:在RtABC,C=90,A+B=90,sin2A+sin2B=1,sinB0,sinA=,sinB=故選:C【點(diǎn)評】本題考查了互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系,掌握sin2A+sin2B=1是解題的關(guān)鍵3如圖,AB是O的直徑,ACD=15,則BAD的度數(shù)為()A15B30C60D75【考點(diǎn)】圓周角定理【專題】壓軸題【分析】由AB是圓的直徑,則ADB=90,由圓周角定理知,ABD=ACD=15,即可求BAD=90B=75【解答】解:連接BD,AB是圓的直徑,ADB=90,ABD=ACD=15,BAD=90ABD=75故選:D【點(diǎn)評】本題考查了直徑對的圓周角定理是直角和圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,都等于這條弧所對的圓心角的一半4如圖所示,給出下列條件:B=ACD;ADC=ACB;AC2=ADAB其中單獨(dú)能夠判定ABCACD的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【考點(diǎn)】相似三角形的判定【分析】由圖可知ABC與ACD中A為公共角,所以只要再找一組角相等,或一組對應(yīng)邊成比例即可解答【解答】解:有三個(gè)B=ACD,再加上A為公共角,可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定;ADC=ACB,再加上A為公共角,可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定;中A不是已知的比例線段的夾角,不正確可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來判定;故選:C【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對相似三角形的判定方法的掌握情況5在ABC中,若cosA=,tanB=,則這個(gè)三角形一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù),再進(jìn)行判斷【解答】解:cosA=,tanB=,A=45,B=60C=1804560=75ABC為銳角三角形故選A【點(diǎn)評】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算,特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn),題型以選擇題、填空題為主6如圖,每個(gè)小正方形邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與左圖中ABC相似的是()ABCD【考點(diǎn)】相似三角形的判定【專題】網(wǎng)格型【分析】本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理,三邊對應(yīng)成比例,分別對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案【解答】解:已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、只有選項(xiàng)B的各邊為1、與它的各邊對應(yīng)成比例故選:B【點(diǎn)評】此題考查三角形相似判定定理的應(yīng)用7如圖,BC是O的直徑,P是CB延長線上一點(diǎn),PA切O于點(diǎn)A,如果PA=4,PB=2,那么線段BC的長等于()A3B4C5D6【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)【分析】如圖,連接OA根據(jù)切線的性質(zhì)得到OAP=90,所以在直角AOP中,利用勾股定理來求該圓的半徑,則易求直徑BC的長度【解答】解:設(shè)該圓的半徑為r(r0),如圖,連接OA,PA切O于點(diǎn)A,OAAP,即OAP=90,又PA=4,PB=2,在直角AOP中,利用勾股定理得到:PA2+OA2=OP2,即42+r2=(r+2)2,則r=3,O的直徑BC=2r=6,故選D【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題是解答此題的關(guān)鍵8如圖,在半徑為6cm的O中,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),點(diǎn)D是優(yōu)弧上一點(diǎn),且D=30,下列四個(gè)結(jié)論:OABC;BC=6;sinAOB=;四邊形ABOC是菱形其中正確結(jié)論的序號(hào)是()ABCD【考點(diǎn)】垂徑定理;菱形的判定;圓周角定理;解直角三角形【專題】幾何圖形問題【分析】分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可【解答】解:點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),OA過圓心,OABC,故正確;D=30,ABC=D=30,AOB=60,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),BC=2CE,OA=OB,OA=OB=AB=6cm,BE=ABcos30=6=3cm,BC=2BE=6cm,故正確;AOB=60,sinAOB=sin60=,故正確;AOB=60,AB=OB,點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn),AC=AB,AB=BO=OC=CA,四邊形ABOC是菱形,故正確故選:B【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形,綜合性較強(qiáng),是一道好題二、填空題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分,只要求填寫最后結(jié)果,每小題填對得3分)9等腰三角形底邊長10cm,周長為36cm,則一底角的正切值為【考點(diǎn)】解直角三角形【分析】易求腰長作底邊上的高,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解【解答】解:如圖,AB=AC,BC=10,AD為底邊上的高,周長為36,則AB=AC=(3610)2=13BD=5,由勾股定理得,AD=12tanABC=AD:BD=12:5【點(diǎn)評】本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的概念10弧長為6的弧所對的圓心角為60,則該弧所在圓的半徑是18【考點(diǎn)】弧長的計(jì)算【分析】利用底面周長=展開圖的弧長可得【解答】解: =6,解得r=18【點(diǎn)評】解答本題的關(guān)鍵是有確定底面周長=展開圖的弧長這個(gè)等量關(guān)系,然后由扇形的弧長公式和圓的周長公式求值11將一副三角尺如圖所示疊放在一起,則的值是【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】由BAC=ACD=90,可得ABCD,即可證得ABEDCE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,可得:,然后利用三角函數(shù),用AC表示出AB與CD,即可求得答案【解答】解:BAC=ACD=90,ABCD,ABEDCE,在RtACB中B=45,AB=AC,在RtACD中,D=30,CD=AC,=故答案為:【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用12如圖,平行四邊形ABCD中,E是邊BC上的點(diǎn),AE交BD于點(diǎn)F,如果,則=【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形,易得BEFDAF,即可得=,然后由,求得答案【解答】解:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AD=BC,BEFDAF,=,=,=故答案為:【點(diǎn)評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用13如圖,AB、AC是O的兩條切線,切點(diǎn)分別為B、C,D是優(yōu)弧BC上的一點(diǎn),已知BAC=80,那么BDC=50度【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);圓周角定理【分析】先用切線的性質(zhì)得出BAD=ACD=90,再用四邊形內(nèi)角和定理得出BOC,BDC可求【解答】解:連接OB、OC,則ABO=ACO=90,BAC+BOC=360(ABO+ACO)=360180=180,BOC=180BAC=18080=100,故BDC=BOC=100=50【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)及圓周角定理,四邊形內(nèi)角和定理,比較簡單14如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,頂點(diǎn)A、C分別在x,y軸的正半軸上點(diǎn)Q在對角線OB上,且QO=OC,連接CQ并延長CQ交邊AB于點(diǎn)P則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,42)【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);坐標(biāo)與圖形性質(zhì);正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出OB,再求出BQ,然后求出BPQ和OCQ相似,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出BP的長,再求出AP,即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解:四邊形OABC是邊長為2的正方形,OA=OC=2,OB=2,QO=OC,BQ=OBOQ=22,正方形OABC的邊ABOC,BPQOCQ,=,即=,解得BP=22,AP=ABBP=2(22)=42,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,42)故答案為:(2,42)【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的對角線等于邊長的倍的性質(zhì),以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),比較簡單,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BP的長是解題的關(guān)鍵三、解答題(本大題共7個(gè)小題,共78分)解答應(yīng)寫出必要的證明過程或演算步驟15計(jì)算:tan30sin60+cos230sin245tan45【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入,然后化簡求值即可【解答】解:原式=+()2()21=+=【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力,是各地中考題中常見的計(jì)算題型解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值16如圖,ABC中,DEBC,DE=1,AD=2,DB=3,求BC的長【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得出ADEABC,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出BC的長【解答】解:DEBC,ADEABC,DE=1,AD=2,DB=3,AB=AD+DB=5,BC=【點(diǎn)評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),熟知相似三角形對應(yīng)邊的比相等是解答此題的關(guān)鍵17如圖是以ABC的邊AB為直徑的半圓O,點(diǎn)C恰好在半圓上,過C作CDAB交AB于D已知cosACD=,BC=4,求AC的長【考點(diǎn)】圓周角定理;解直角三角形【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角等于90,得ACB=90,再由CDAB易得ACD=B,又由cosACD=,得出tanB,即可求得答案【解答】解:AB為直徑,ACB=90,ACD+BCD=90,CDAB,BCD+B=90,B=ACD,cosACD=,cosB=,tanB=,BC=4,tanB=,=AC=【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用18如圖,ABC的三頂點(diǎn)分別為A(4,4),B(2,2),C(3,0)請畫出一個(gè)以原點(diǎn)O為位似中心,且與ABC相似比為的位似圖形A1B1C1,并寫出A1B1C1各頂點(diǎn)的坐標(biāo)(只需畫出一種情況,A1B1:AB=)【考點(diǎn)】作圖-位似變換;坐標(biāo)確定位置【分析】先以原點(diǎn)O為位似中心,作ABC的位似圖形,使相似比為,再根據(jù)所作三角形三點(diǎn)的位置寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)【解答】解:如圖A1B1C1就是所求的三角形,A1(2,2),B1(1,1),C1(1.5,0)【點(diǎn)評】此題考查位似三角形的作法和點(diǎn)的坐標(biāo)的寫法,難度中等19如圖1表示一個(gè)時(shí)鐘的鐘面垂直固定與水平桌面上,其中分針上有一點(diǎn)A,且當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直與桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分如圖2,若此鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距離桌面的高度為16公分,則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為多少公分?【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【分析】根據(jù)當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直于桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分得出AD=10,進(jìn)而得出AC=16,從而得出AA=3,得出答案即可【解答】解:連接AA,當(dāng)鐘面顯示3點(diǎn)30分時(shí),分針垂直于桌面,A點(diǎn)距桌面的高度為10公分AD=10,鐘面顯示3點(diǎn)45分時(shí),A點(diǎn)距桌面的高度為16公分,AC=16,AO=AO=6,則鐘面顯示3點(diǎn)50分時(shí),AOA=30,AA=3,A點(diǎn)距桌面的高度為:16+3=19公分【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形以及鐘面角,得出AOA=30,進(jìn)而得出AA=3,是解決問題的關(guān)鍵20如圖,小明為測量某鐵塔AB的高度,他在離塔底B的10米C處測得塔頂?shù)难鼋?43,已知小明的測角儀高CD=1.5米,求鐵塔AB的高(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù):sin43=0.6820,cos43=0.7314,tan43=0.9325)【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題【專題】應(yīng)用題【分析】本題是一個(gè)直角梯形的問題,可以過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E,把求AB的問題轉(zhuǎn)化求AE的長,從而可以在ADE中利用三角函數(shù)求解【解答】解:如圖,可知四邊形DCBE是矩形EB=DC=1.5米,DE=CB=10米在RtAED中,ADE=43tan=AE=DEtan43=100.9325=9.325米;AB=AE+EB=9.325+1.5=10.82510.8(米)【點(diǎn)評】解直角梯形可以通過作高線轉(zhuǎn)化為解直角三角形和矩形的問題21如圖,以線段AB為直徑的O交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)M是的中點(diǎn),OM交AC于點(diǎn)D,BOE=60,cosC=,BC=2(1)求A的度數(shù);(2)求證:BC是O的切線;(3)求MD的長度【考點(diǎn)】圓周角定理;切線的判定與性質(zhì);弧長的計(jì)算;特殊角的三角函數(shù)值【專題】計(jì)算題;證明題;壓軸題【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí)即可得出A的度數(shù)(2)要證BC是O的切線,只要證明ABBC即可(3)根據(jù)切線的性質(zhì),運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)求出MD的長度【解答】(1)解:BOE=60,A=BOE=30(2)證明:在ABC中,cosC=,C=60又A=30,ABC=90,ABBCBC是O的切線(3)解:點(diǎn)M是的中點(diǎn),OMAE在RtABC中,BC=2,AB=BCtan60=2=6OA=3,OD=OA=,MD=【點(diǎn)評】本題綜合考查了三角函數(shù)的知識(shí)、切線的判定要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可22釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土,為維護(hù)國家主權(quán)和海洋權(quán)利,我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島 海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理如圖,某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B,B船在A船的正東方向,且兩船保持20海里的距離,某一時(shí)刻兩海監(jiān)船同時(shí)測得在A的東北方向,B的北偏東15方向有一我國漁政執(zhí)法船C,求此時(shí)船C與船B的距離是多少(結(jié)果保留根號(hào))【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】壓軸題【分析】首先過點(diǎn)B作BDAC于D,由題意可知,BAC=45,ABC=90+15=105,則可求得ACB的度數(shù),然后利用三角函數(shù)的知識(shí)求解即可求得答案【解答】解:過點(diǎn)B作BDAC于D由題意可知,BAC=45,ABC=90+15=105,ACB=180BACABC=30,在RtABD中,BD=ABsinBAD=20=10(海里),在RtBCD中,BC=20(海里)答:此時(shí)船C與船B的距離是20海里【點(diǎn)評】此題考查了方向角問題此題難度適中,注意能借助于方向角構(gòu)造直角三角形,并利用解直角三角形的知識(shí)求解是解此題的關(guān)鍵23在矩形ABCD中,DC=2,CFBD分別交BD、AD于點(diǎn)E、F,連接BF(1)求證:DECFDC;(2)當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí),求sinFBD的值及BC的長度【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);矩形的性質(zhì);解直角三角形【專題】壓軸題【分析】(1)根據(jù)題意可得DEC=FDC,利用兩角法即可進(jìn)行相似的判定;(2)根據(jù)F為AD的中點(diǎn),可得FB=FC,根據(jù)ADBC,可得FE:EC=FD:BC=1:2,再由sinFBD=EF:BF=EF:FC,即可得出答案,設(shè)EF=x,則EC=2x,利用(1)的結(jié)論求出x,在RtCFD中求出FD,繼而得出BC【解答】解:(1)DEC=FDC=90,DCE=FCD,DECFDC(2)F為AD的中點(diǎn),ADBC,F(xiàn)E:EC=FD:BC=1:2,F(xiàn)B=FC,F(xiàn)E:FC=1:3,sinFBD=EF:BF=EF:FC=;設(shè)EF=x,則FC=3x,DECFDC,=,即可得:6x2=12,解得:x=,則CF=3,在RtCFD中,DF=,BC=2DF=2【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的性質(zhì):對應(yīng)邊成比例24(12分)(2009蕪湖)如圖,在RtABC中,斜邊BC=12,C=30,D為BC的中點(diǎn),ABD的外接圓O與AC交于F點(diǎn),過A作O的切線AE交DF的延長線于E點(diǎn)(1)求證:AEDE;(2)計(jì)算:ACAF的值【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);等邊三角形的性質(zhì);直角三角形的性質(zhì);圓周角定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】幾何綜合題;壓軸題【分析】(1)連接OA、OB,證明ABD為等邊三角形后根據(jù)三心合一的定理求出OAC=60,求出四邊形ABDF內(nèi)接于圓O,利用切線的性質(zhì)求出AEDE;(2)由1可得ABD為等邊三角形,易證ADFACD,可得AD2=ACAF【解答】(1)證明:在RtABC中,BAC=90,C=30,D為BC的中點(diǎn),ABD=60,AD=BD=DCABD為等邊三角形O點(diǎn)為ABD的中心(內(nèi)心,外心,垂心三心合一)連接OA,OB,BAO=OAD=30,OAC=60又AE為O的切線,OAAE,OAE=90EAF=30AEBC又四邊形ABDF內(nèi)接于圓O,F(xiàn)DC=BAC=90AEF=FDC=90,即AEDE(2)解:由(1)知,ABD為等邊三角形,ADB=60ADF=C=30,F(xiàn)AD=DACADFACD,則AD2=ACAF,又AD=BC=6ACAF=36【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識(shí)運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn),利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題- 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