九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 蘇科版 (4)
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2016-2017學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁中學(xué)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1方程(x2)(x+3)=0的解是()Ax=2Bx=3Cx1=2,x2=3Dx1=2,x2=32若關(guān)于x的一元二次方程kx22x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()Ak1Bk1且k0Ck1Dk1且k03學(xué)校組織才藝表演比賽,前6名獲獎(jiǎng)有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后,要判斷自己能否獲獎(jiǎng),在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量,它是()A眾數(shù)B方差C中位數(shù)D平均數(shù)4如圖,O是ABC的外接圓,OCB=40,則A的度數(shù)等于()A60B50C40D305設(shè)、是方程x2+x2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則+的值為()A2015B2015C1D16如圖所示,ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值為()ABCD7一個(gè)邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍,則這個(gè)正多邊形的半徑是()A2BC1D8如圖,在RtABC中,C=90,B=30,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2cm的長為半徑作圓,則C與AB的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交D相切或相交9一張長方形桌子的長是150cm,寬是100cm,現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一塊長方形桌布,面積是桌面的2倍,且使四周垂下的邊寬是xcm根據(jù)題意,得()A(150+x)(100+x)=1501002B(150+2x)(100+2x)=1501002C(150+x)(100+x)=150100D2(150x+100x)=15010010如圖,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90至圖位置,再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖位置,以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后,頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是()A2015B3019.5C3018D3024二、填空題(本大題共8小題,每空2分,共16分,把答案填在相應(yīng)橫線上)11已知x=1是關(guān)于x的方程2x2ax+a=0的一個(gè)根,則a=12在RtABC中,ACB=90,BC=1,AB=2,則sinA=13如圖,在O中,弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則O的半徑是cm14如圖,AB、AC、BD是O的切線,P、C、D為切點(diǎn),如果AB=5,AC=3,則BD的長為15一個(gè)扇形半徑30cm,圓心角120,用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐底面半徑為16小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),用折紙的方法可求出tan22.5,方法如下:將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以知道tan22.5=17在RtABC中,斜邊AB=10,直角邊AC=8,以C為圓心,r為半徑,若要使C與邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則r的取值范圍是18如圖,P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個(gè)更小的半圓(其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑)得圖形P3,P4,Pn,記紙板Pn的面積為Sn,試通過計(jì)算S1,S2,猜想得到Sn1Sn=(n2)三、解答題(本大題共10小題,共84分,寫出必要的解題步驟和過程)19解方程(1)x2+3x4=0 (2)(x2)(x5)=120計(jì)算:(1)tan30sin60+cos230sin245cos60 (2)|3|+()24cos3021為切實(shí)減輕中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、全面實(shí)施素質(zhì)教育,某中學(xué)對(duì)本校學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行調(diào)查在本校隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中,每天完成課外作業(yè)時(shí)間,最長不足120分鐘,沒有低于40分鐘的,且完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個(gè)不完整的頻數(shù)分布直方圖,如圖所示(1)這次被抽查的學(xué)生有人;(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;(3)被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)在組(填時(shí)間范圍);(4)若該校共有3600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)22如圖所示,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O交于BC于D,DEAC于E求證:DE是O的切線23如圖,AB為O的直徑,點(diǎn)C在O上,過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,已知D=30(1)求A的度數(shù);(2)若點(diǎn)F在O上,CFAB,垂足為E,CF=,求圖中陰影部分的面積24如圖,海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行,行至A點(diǎn)處測得P在它的北偏東60的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險(xiǎn)?252013年,無錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價(jià)對(duì)外銷售由于樓盤滯銷,房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進(jìn)行降價(jià)促銷,經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后,2015年該樓盤的均價(jià)為每平方米9720元(1)求平均每年下調(diào)的百分率;(2)假設(shè)2016年該樓盤的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率,李強(qiáng)準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金30萬元,可在銀行貸款50萬元,李強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?(房價(jià)按照均價(jià)計(jì)算,不考慮其它因素)26如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x正半軸上,OA=12cm,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0t6)s(1)求OAB的度數(shù)(2)以O(shè)B為直徑的O與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與O相切?(3)是否存在RPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出t值;若不存在,請(qǐng)說明理由27如圖,已知l1l2,O與l1,l2都相切,O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng),O的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)如圖,連接OA、AC,則OAC的度數(shù)為;(2)如圖,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后,O到達(dá)O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時(shí)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長);(3)在移動(dòng)過程中,圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d2時(shí),求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖)28已知,如圖,直線y=x4與x軸,y軸分別交于B、A,將該直線繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且tan=,旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn)(1)求A、B、C的坐標(biāo);(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著APC的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng),試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置(不寫作法,保留作圖痕跡),并求出所用的最短時(shí)間t2016-2017學(xué)年江蘇省無錫市江陰市南菁中學(xué)九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分)1方程(x2)(x+3)=0的解是()Ax=2Bx=3Cx1=2,x2=3Dx1=2,x2=3【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法【分析】根據(jù)已知得出兩個(gè)一元一次方程,求出方程的解即可【解答】解:(x2)(x+3)=0,x2=0,x+3=0,x1=2,x2=3,故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元關(guān)鍵是能把一元一次方程和解一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵是能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程2若關(guān)于x的一元二次方程kx22x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是()Ak1Bk1且k0Ck1Dk1且k0【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義【分析】根據(jù)根的判別式及一元二次方程的定義得出關(guān)于k的不等式組,求出k的取值范圍即可【解答】解:關(guān)于x的一元二次方程kx22x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即,解得k1且k0故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式,熟知一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵3學(xué)校組織才藝表演比賽,前6名獲獎(jiǎng)有13位同學(xué)參加比賽且他們所得的分?jǐn)?shù)互不相同某同學(xué)知道自己的比賽分?jǐn)?shù)后,要判斷自己能否獲獎(jiǎng),在這13名同學(xué)成績的統(tǒng)計(jì)量中只需知道一個(gè)量,它是()A眾數(shù)B方差C中位數(shù)D平均數(shù)【考點(diǎn)】統(tǒng)計(jì)量的選擇【分析】由于比賽設(shè)置了6個(gè)獲獎(jiǎng)名額,共有13名選手參加,故應(yīng)根據(jù)中位數(shù)的意義分析【解答】解:因?yàn)?位獲獎(jiǎng)?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是13名參賽選手中最高的,而且13個(gè)不同的分?jǐn)?shù)按從小到大排序后,中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有6個(gè)數(shù),故只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎(jiǎng)了故選C【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí),主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等,各有局限性,因此要對(duì)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用4如圖,O是ABC的外接圓,OCB=40,則A的度數(shù)等于()A60B50C40D30【考點(diǎn)】圓周角定理【分析】由OB=OC,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì),可求得OBC的度數(shù),繼而求得BOC的度數(shù),然后由在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半,即可求得答案【解答】解:OB=OC,OBC=OCB=40,BOC=180OBCOCB=100,A=BOC=50故選B【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)注意在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半5設(shè)、是方程x2+x2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則+的值為()A2015B2015C1D1【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,即可得出+的值,此題得解【解答】解:、是方程x2+x2015=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,+=1故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,熟練掌握兩根之和為是解題的關(guān)鍵6如圖所示,ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值為()ABCD【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義;勾股定理【專題】網(wǎng)格型【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答【解答】解:如圖:在B點(diǎn)正上方找一點(diǎn)D,使BD=BC,連接CD交AB于O,根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn),CDAB,在RtAOC中,CO=;AC=;則sinA=故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理,作出輔助線CD并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵7一個(gè)邊長為2的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍,則這個(gè)正多邊形的半徑是()A2BC1D【考點(diǎn)】正多邊形和圓;多邊形內(nèi)角與外角【專題】壓軸題【分析】先判斷出多邊形的邊數(shù),再求多邊形的半徑【解答】解:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n因?yàn)檎噙呅蝺?nèi)角和為(n2)180,正多邊形外角和為360,根據(jù)題意得:(n2)180=3602,n2=22,n=6故正多邊形為6邊形邊長為2的正六邊形可以分成六個(gè)邊長為2的正三角形,所以正多邊形的半徑等于2,故選A【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生對(duì)正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力,要注意利用特殊角的正多邊形,以簡化計(jì)算8如圖,在RtABC中,C=90,B=30,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心,以2cm的長為半徑作圓,則C與AB的位置關(guān)系是()A相離B相切C相交D相切或相交【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系【專題】壓軸題【分析】作CDAB于點(diǎn)D根據(jù)三角函數(shù)求CD的長,與圓的半徑比較,作出判斷【解答】解:作CDAB于點(diǎn)DB=30,BC=4cm,CD=BC=2cm,即CD等于圓的半徑CDAB,AB與C相切故選:B【點(diǎn)評(píng)】此題考查直線與圓的位置關(guān)系的判定方法通常根據(jù)圓的半徑R與圓心到直線的距離d的大小判斷:當(dāng)Rd時(shí),直線與圓相交;當(dāng)R=d時(shí),直線與圓相切;當(dāng)Rd時(shí),直線與圓相離9一張長方形桌子的長是150cm,寬是100cm,現(xiàn)在要設(shè)計(jì)一塊長方形桌布,面積是桌面的2倍,且使四周垂下的邊寬是xcm根據(jù)題意,得()A(150+x)(100+x)=1501002B(150+2x)(100+2x)=1501002C(150+x)(100+x)=150100D2(150x+100x)=150100【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元二次方程【專題】應(yīng)用題【分析】設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm,求得桌布的面積,根據(jù)桌布面積是桌面的2倍列方程解答時(shí)即可【解答】解:設(shè)四周垂下的邊寬度為xcm,桌布的長為(150+2x),寬為(100+2x),根據(jù)桌布面積是桌面的2倍可得:(150+2x)(100+2x)=1501002,故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程的知識(shí)點(diǎn),解答此題的關(guān)鍵是求得桌布的長和寬,進(jìn)一步運(yùn)用長方形的面積解決問題10如圖,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90至圖位置,再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90至圖位置,以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2016次后,頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是()A2015B3019.5C3018D3024【考點(diǎn)】軌跡;矩形的性質(zhì);旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長,發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán),找到規(guī)律然后計(jì)算即可【解答】解:AB=4,BC=3,AC=BD=5,轉(zhuǎn)動(dòng)一次A的路線長是: =2,轉(zhuǎn)動(dòng)第二次的路線長是: =,轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路線長是: =,轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路線長是:0,以此類推,每四次循環(huán),故頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過的路線長為:+2=6,20164=504,頂點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過的路線長為:6504=3024故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了探索規(guī)律問題和弧長公式的運(yùn)用,掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵二、填空題(本大題共8小題,每空2分,共16分,把答案填在相應(yīng)橫線上)11已知x=1是關(guān)于x的方程2x2ax+a=0的一個(gè)根,則a=1【考點(diǎn)】一元二次方程的解【分析】把x=1代入方程,即可求出答案【解答】解:把x=1代入方程2x2ax+a=0得:2+a+a=0,解得:a=1,故答案為:1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的應(yīng)用,能理解一元二次方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵12在RtABC中,ACB=90,BC=1,AB=2,則sinA=【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義【分析】根據(jù)銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,可得答案【解答】解:sinA=,故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用:在直角三角形中,銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊,余弦為鄰邊比斜邊,正切為對(duì)邊比鄰邊13如圖,在O中,弦AB的長為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則O的半徑是5cm【考點(diǎn)】垂徑定理;勾股定理【專題】壓軸題【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解【解答】解:在直角AOE中,AE=4cm,OE=3cm,根據(jù)勾股定理得到OA=5,則O的半徑是5cm【點(diǎn)評(píng)】此題涉及圓中求半徑的問題,此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計(jì)算的問題,常把半弦長,半圓心角,圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中,然后通過直角三角形予以求解14如圖,AB、AC、BD是O的切線,P、C、D為切點(diǎn),如果AB=5,AC=3,則BD的長為2【考點(diǎn)】切線長定理【專題】計(jì)算題【分析】由于AB、AC、BD是O的切線,則AC=AP,BP=BD,求出BP的長即可求出BD的長【解答】解:AC、AP為O的切線,AC=AP,BP、BD為O的切線,BP=BD,BD=PB=ABAP=53=2故答案為:2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線長定理,兩次運(yùn)用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵15一個(gè)扇形半徑30cm,圓心角120,用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面,則圓錐底面半徑為10cm【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算【專題】計(jì)算題【分析】求出扇形的弧長,此弧長即為圓錐底面圓的周長,據(jù)此即可求出圓錐底面半徑【解答】解:扇形弧長為=20cm;設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則r=10cm故答案為:10cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算,要明確,扇形的弧長即為其圍成圓錐的底面圓周長16小明在學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),用折紙的方法可求出tan22.5,方法如下:將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處,還原后,再沿過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,這樣就可以知道tan22.5=1【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問題);矩形的性質(zhì);解直角三角形【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出AB=BE,AEB=EAB=45,AFB=22.5,進(jìn)而得出tanAFB=tan22.5=得出答案即可【解答】解:將如圖所示的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)E處,AB=BE,AEB=EAB=45,還原后,再沿過點(diǎn)E的直線折疊,使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)F處,AE=EF,EAF=EFA=22.5,設(shè)AB=x,則AE=EF=x,tanAFB=tan22.5=1故答案是:1【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì),根據(jù)已知得出AFB=22.5以及AE=EF是解題關(guān)鍵17在RtABC中,斜邊AB=10,直角邊AC=8,以C為圓心,r為半徑,若要使C與邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn),則r的取值范圍是r=或6r8【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系;勾股定理【分析】因?yàn)橐箞A與斜邊只有一個(gè)公共點(diǎn),所以該圓和斜邊相切或和斜邊相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上若dr,則直線與圓相交;若d=r,則直線于圓相切;若dr,則直線與圓相離【解答】解:如圖,斜邊AB=10,直角邊AC=8,BC=6當(dāng)圓和斜邊相切時(shí),則半徑即是斜邊上的高,r=CD=;當(dāng)圓和斜邊相交,且只有一個(gè)交點(diǎn)在斜邊上時(shí),可以讓圓的半徑大于短直角邊而小于長直角邊,則6r8故答案為:r=或6r8【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系,在解答此題時(shí)要注意分兩種情況進(jìn)行討論,不要漏解18如圖,P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個(gè)更小的半圓(其直徑為前一個(gè)被剪掉半圓的半徑)得圖形P3,P4,Pn,記紙板Pn的面積為Sn,試通過計(jì)算S1,S2,猜想得到Sn1Sn=()2n1(n2)【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【專題】規(guī)律型【分析】由P1是一塊半徑為1的半圓形紙板,在P1的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形P2,得到S1=12=,S2=()2同理可得Sn1=()2()22()n22,Sn=()2()22()n22()n12,它們的差即可得到【解答】解:根據(jù)題意得,n2S1=12=,S2=()2,Sn1=()2()22()n22,Sn=()2()22()n22()n12,Sn1Sn=()2n2=()2n1故答案為()2n1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的面積公式:S=R2以及規(guī)律性題目的解題一般方法:從特殊到一般三、解答題(本大題共10小題,共84分,寫出必要的解題步驟和過程)19解方程(1)x2+3x4=0 (2)(x2)(x5)=1【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法【分析】(1)因式分解法求解可得;(2)整理成一般式后利用公式法求解可得【解答】解:(1)(x1)(x+4)=0,x1=0或x+4=0,解得:x=1或x=4;(2)整理得:x27x+11=0,a=1,b=7,c=11,=494111=50,x=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法20計(jì)算:(1)tan30sin60+cos230sin245cos60 (2)|3|+()24cos30【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值【專題】計(jì)算題;實(shí)數(shù)【分析】(1)原式利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果;(2)原式利用二次根式性質(zhì),絕對(duì)值的代數(shù)意義,負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則,以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可得到結(jié)果【解答】解:(1)原式=+=1; (2)原式=23+42=1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵21為切實(shí)減輕中小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)、全面實(shí)施素質(zhì)教育,某中學(xué)對(duì)本校學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行調(diào)查在本校隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)被抽查的學(xué)生中,每天完成課外作業(yè)時(shí)間,最長不足120分鐘,沒有低于40分鐘的,且完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%現(xiàn)將抽查結(jié)果繪制成了一個(gè)不完整的頻數(shù)分布直方圖,如圖所示(1)這次被抽查的學(xué)生有50人;(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;(3)被調(diào)查這些學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)在80100組(填時(shí)間范圍);(4)若該校共有3600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校大約有多少名學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)【考點(diǎn)】頻數(shù)(率)分布直方圖;用樣本估計(jì)總體;中位數(shù)【專題】圖表型【分析】(1)根據(jù)完成課外作業(yè)時(shí)間低于60分鐘的學(xué)生數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的10%可求出抽查的學(xué)生人數(shù);(2)根據(jù)總?cè)藬?shù),現(xiàn)有人數(shù)為補(bǔ)上那15人;(3)50個(gè)數(shù)據(jù),第25和26的平均數(shù)就是中位數(shù),從表中可看出第25、26人在80100段里;(4)先求出50人里學(xué)生每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上的人的比例,再按比例估算全校的人數(shù)【解答】解:(1)510%=50這次被抽查的學(xué)生有50人;(2)如圖所示;5035=15(3)中位數(shù)在80至100分鐘這一小組內(nèi);(4)由樣本知,每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)的人數(shù)有35人,占被調(diào)查人數(shù)的,故全校學(xué)生中每天完成課外作業(yè)時(shí)間在80分鐘以上(包括80分鐘)的人數(shù)約有人【點(diǎn)評(píng)】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力同時(shí)考查中位數(shù)、眾數(shù)的求法:給定n個(gè)數(shù)據(jù),按從小到大排序,如果n為奇數(shù),位于中間的那個(gè)數(shù)就是中位數(shù);如果n為偶數(shù),位于中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)任何一組數(shù)據(jù),都一定存在中位數(shù)的,但中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)量的數(shù)給定一組數(shù)據(jù),出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)22如圖所示,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑作O交于BC于D,DEAC于E求證:DE是O的切線【考點(diǎn)】切線的判定;等腰三角形的性質(zhì)【分析】直接利用圓周角定理進(jìn)而得出ADB=90,再利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理得出ODDE,即可得出答案【解答】證明:連接OD,以AB為直徑作O交于BC于D,ADB=90,AB=AC,BD=DC,AO=BO,DO是ABC的中位線,DOAC,DEAC,ODDE,DE是O的切線【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定以及等腰三角形的性質(zhì),正確得出DO是ABC的中位線是解題關(guān)鍵23如圖,AB為O的直徑,點(diǎn)C在O上,過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D,已知D=30(1)求A的度數(shù);(2)若點(diǎn)F在O上,CFAB,垂足為E,CF=,求圖中陰影部分的面積【考點(diǎn)】切線的性質(zhì);扇形面積的計(jì)算【分析】(1)連接OC,則OCD是直角三角形,可求出COD的度數(shù);由于A與COD是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角根據(jù)圓周角定理即可求得A的度數(shù);(2)由圖可知:陰影部分的面積是扇形OCB和RtOEC的面積差;那么解決問題的關(guān)鍵是求出半徑和OE的長;在RtOCE中,OCE=D=30,已知了CE的長,通過解直角三角形,即可求出OC、OE的長,由此得解【解答】解:(1)連接OC,CD切O于點(diǎn)COCD=90(1分)D=30COD=60OA=OCA=ACO=30;(4分)(2)CF直徑AB,CF=CE=(5分)在RtOCE中,tanCOE=,OE=2,OC=2OE=4(6分)S扇形BOC=,S陰影=S扇形BOCSEOC=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及扇形面積的計(jì)算方法不規(guī)則圖形的面積,可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差來求24如圖,海上有一燈塔P,在它周圍3海里處有暗礁一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行,行至A點(diǎn)處測得P在它的北偏東60的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險(xiǎn)?【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題【專題】應(yīng)用題【分析】要得出有無觸礁的危險(xiǎn)需求出輪船在航行過程中離點(diǎn)P的最近距離,然后與暗礁區(qū)的半徑進(jìn)行比較,若大于則無觸礁的危險(xiǎn),若小于則有觸礁的危險(xiǎn)【解答】解:過P作PCAB于C點(diǎn),據(jù)題意知:AB=9=3,PAB=9060=30,PBC=9045=45,PCB=90,PC=BC,在RtAPC中:tan30=,即:,PC=3,客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)無觸礁危險(xiǎn)【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查解直角三角形的有關(guān)知識(shí)通過數(shù)學(xué)建模把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題252013年,無錫市蠡湖新城某樓盤以每平方米12000元的均價(jià)對(duì)外銷售由于樓盤滯銷,房地產(chǎn)商為了加快資金周轉(zhuǎn),決定進(jìn)行降價(jià)促銷,經(jīng)過連續(xù)兩年下調(diào)后,2015年該樓盤的均價(jià)為每平方米9720元(1)求平均每年下調(diào)的百分率;(2)假設(shè)2016年該樓盤的均價(jià)仍然下調(diào)相同的百分率,李強(qiáng)準(zhǔn)備購買一套100平方米的住房,他持有現(xiàn)金30萬元,可在銀行貸款50萬元,李強(qiáng)的愿望能否實(shí)現(xiàn)?(房價(jià)按照均價(jià)計(jì)算,不考慮其它因素)【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用【專題】增長率問題【分析】(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率為x,根據(jù)題意列出方程,求出方程的解即可得到結(jié)果;(2)如果下調(diào)的百分率相同,求出2016年的房價(jià),進(jìn)而確定出100平方米的總房款,即可做出判斷【解答】解(1)設(shè)平均每年下調(diào)的百分率x,由題意得:12000(1x)2=9720,(1x)2=0.811x=0.9或1x=0.9,x1=0.1,x2=1.9(舍去),答:平均每年下調(diào)的百分率10% (2)由(1)得:9720(110%)=8748(元),8748100=874800(元),500000+300000=800000(元),874800800000,李強(qiáng)的愿望不能實(shí)現(xiàn)【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用,基本數(shù)量關(guān)系:預(yù)訂每平方米銷售價(jià)格(1每次下調(diào)的百分率)2=開盤每平方米銷售價(jià)格26如圖1,在直角坐標(biāo)系xoy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A在x正半軸上,OA=12cm,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,OB=12cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開始沿OA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為t(0t6)s(1)求OAB的度數(shù)(2)以O(shè)B為直徑的O與AB交于點(diǎn)M,當(dāng)t為何值時(shí),PM與O相切?(3)是否存在RPQ為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出t值;若不存在,請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】(1)在RtOAB中,已知了OA、OB的長,即可求出OAB的正切值,由此可得到OAB的度數(shù);(2)連接OM,當(dāng)PM與O相切時(shí),PM、PO同為O的切線,易證得OOPMOP,則OOP=MOP;在(1)中易得OBA=60,即OBM是等邊三角形,由此可得到BOM=POM=POO=60;在RtOPO中,根據(jù)POO的度數(shù)及OO的長即可求得OP的長,已知了P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度,即可根據(jù)時(shí)間=路程速度求得t的值;(3)存在RPQ為等腰三角形,由于QPQ的腰和底不確定,需分類討論:PR=RQ,PR=PQ,RQ=PQ時(shí)分別求出符合題意的t值即可,【解答】解:(1)在RtAOB中:tanOAB=,OAB=30(2)如圖,連接OP,OM當(dāng)PM與O相切時(shí),有:PMO=POO=90,PMOPOO由(1)知OBA=60,OM=OB,OBM是等邊三角形,BOM=60可得OOP=MOP=60OP=OOtanOOP=6tan60=6,又OP=2t,2t=6,t=3即:t=3時(shí),PM與O相切(3)存在RPQ為等腰三角形,理由如下:由題意可知:PR2=16t248t,PQ2=52t2288t,RQ2=28t2240t+576,當(dāng)PR=RQ時(shí),可得t=82(t=8+舍去);當(dāng)PR=PQ時(shí),可得t=;當(dāng)RQ=PQ時(shí),可得t=1+(t=1舍去)綜上可知:當(dāng)t=82,1+時(shí),RPQ為等腰三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),需注意的是(3)題在不確定等腰三角形腰和底的情況下,要充分考慮到各種可能的情況,以免漏解27如圖,已知l1l2,O與l1,l2都相切,O的半徑為2cm,矩形ABCD的邊AD、AB分別與l1,l2重合,AB=4cm,AD=4cm,若O與矩形ABCD沿l1同時(shí)向右移動(dòng),O的移動(dòng)速度為3cm/s,矩形ABCD的移動(dòng)速度為4cm/s,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)如圖,連接OA、AC,則OAC的度數(shù)為105;(2)如圖,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后,O到達(dá)O1的位置,矩形ABCD到達(dá)A1B1C1D1的位置,此時(shí)點(diǎn)O1,A1,C1恰好在同一直線上,求圓心O移動(dòng)的距離(即OO1的長);(3)在移動(dòng)過程中,圓心O到矩形對(duì)角線AC所在直線的距離在不斷變化,設(shè)該距離為d(cm),當(dāng)d2時(shí),求t的取值范圍(解答時(shí)可以利用備用圖畫出相關(guān)示意圖)【考點(diǎn)】圓的綜合題【專題】幾何綜合題;壓軸題【分析】(1)利用切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系分別求出OAD=45,DAC=60,進(jìn)而得出答案;(2)首先得出,C1A1D1=60,再利用A1E=AA1OO12=t2,求出t的值,進(jìn)而得出OO1=3t得出答案即可;(3)當(dāng)直線AC與O第一次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1,當(dāng)直線AC與O第二次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2,分別求出即可【解答】解:(1)l1l2,O與l1,l2都相切,OAD=45,AB=4cm,AD=4cm,CD=4cm,tanDAC=,DAC=60,OAC的度數(shù)為:OAD+DAC=105,故答案為:105;(2)如圖位置二,當(dāng)O1,A1,C1恰好在同一直線上時(shí),設(shè)O1與l1的切點(diǎn)為E,連接O1E,可得O1E=2,O1El1,在RtA1D1C1中,A1D1=4,C1D1=4,tanC1A1D1=,C1A1D1=60,在RtA1O1E中,O1A1E=C1A1D1=60,A1E=,A1E=AA1OO12=t2,t2=,t=+2,OO1=3t=2+6;(3)當(dāng)直線AC與O第一次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t1,如圖位置一,此時(shí)O移動(dòng)到O2的位置,矩形ABCD移動(dòng)到A2B2C2D2的位置,設(shè)O2與直線l1,A2C2分別相切于點(diǎn)F,G,連接O2F,O2G,O2A2,O2Fl1,O2GA2C2,由(2)得,C2A2D2=60,GA2F=120,O2A2F=60,在RtA2O2F中,O2F=2,A2F=,OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+,4t1+3t1=2,t1=2,當(dāng)直線AC與O第二次相切時(shí),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t2,記第一次相切時(shí)為位置一,點(diǎn)O1,A1,C1共線時(shí)位置二,第二次相切時(shí)為位置三,由題意知,從位置一到位置二所用時(shí)間與位置二到位置三所用時(shí)間相等,+2(2)=t2(+2),解得:t2=2+2,綜上所述,當(dāng)d2時(shí),t的取值范圍是:2t2+2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí),利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合t的值是解題關(guān)鍵28(2016秋江陰市校級(jí)期中)已知,如圖,直線y=x4與x軸,y軸分別交于B、A,將該直線繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),且tan=,旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn)(1)求A、B、C的坐標(biāo);(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著APC的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng),試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置(不寫作法,保留作圖痕跡),并求出所用的最短時(shí)間t【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】(1)過B作BDAB交AC于D,過D作DEx軸于E,則AOBBED,得到=,求出點(diǎn)D坐標(biāo),求出AC的解析式即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)(2)過點(diǎn)(0,4)作AC的垂線垂足為Q,該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)設(shè)點(diǎn)F(0,4),則A、F關(guān)于x軸對(duì)稱,所以AP=FP,首先證明t=,由此推出點(diǎn)P就是所求的點(diǎn),此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著APC的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),求出FQ的長即可解決問題【解答】解:(1)直線y=x4與x軸,y軸分別交于B、A,A(0,4),B(8,0),過B作BDAB交AC于D,過D作DEx軸于E,則AOBBED=,OA=4,OB=8,BAD=,tan=,BE=1,DE=2D(9,2)直線AC解析式為y=x4C(18,0)(2)過點(diǎn)(0,4)作AC的垂線垂足為Q,該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)設(shè)點(diǎn)F(0,4),則A、F關(guān)于x軸對(duì)稱,所以AP=FP,SACF=AFOC=ACFQ,AF=8,OC=18,AC=2,F(xiàn)Q=,CQPCOA,=,=,=,t=+=+=,F(xiàn)Q是垂線段,點(diǎn)P就是所求的點(diǎn),此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著APC的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),t=【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用相似三角形性質(zhì),根據(jù)垂線段最短,找到點(diǎn)P的位置,屬于中考?jí)狠S題- 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