九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷(含解析) 新人教版9 (6)
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2016-2017學(xué)年江西省贛州市潭東中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a21=0的一個根是0,則a的值是()A1B1C1或1D1或02已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x26x+8=0的根,則該三角形的周長為()A8B10C8或10D123如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,其對稱軸為x=1,下列結(jié)論:abc0;2a+b=0;4a+2b+c0;若(),()是拋物線上兩點,則y1y2其中結(jié)論正確的是()ABCD4圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m,水面寬4m如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系,則拋物線的關(guān)系式是()Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x25下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()ABCD6已知如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于E,CD=6,AE=1,則O的直徑為()A6B8C10D12二、填空題7關(guān)于x的一元二次方程x2+(2a1)x+5a=ax+1的一次項系數(shù)為4,則常數(shù)項為:8已知m是關(guān)于x的方程x22x3=0的一個根,則2m24m=9拋物線y=2x2+3x1向右平移2個單位,再向上平移3個單位,得到新的拋物線解析式是10如圖,已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,10),M是AOB外接圓C上的一點,且AOM=30,則點M的坐標(biāo)為11如圖,在RtABC中,ABC=90,AB=BC=,將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到ADE,連接BE,則BE的長是12自主學(xué)習(xí),請閱讀下列解題過程解一元二次不等式:x25x0解:設(shè)x25x=0,解得:x1=0,x2=5,則拋物線y=x25x與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0)和(5,0)畫出二次函數(shù)y=x25x的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x0,或x5時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y0,即x25x0,所以,一元二次不等式x25x0的解集為:x0或x5通過對上述解題過程的學(xué)習(xí),按其解題的思路和方法解答下列問題:(1)上述解題過程中,滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和(只填序號)轉(zhuǎn)化思想 分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想(2)一元二次不等式x25x0的解集為(3)用類似的方法寫出一元二次不等式的解集:x22x30三、計算題13解方程:(1)x22x2=0;(2)(x2)23(x2)=014先化簡,再求值:(),其中,a是方程x2+3x+1=0的根15如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點E,點M在O上,MD恰好經(jīng)過圓心O,連接MB(1)若CD=16,BE=4,求O的直徑;(2)若M=D,求D的度數(shù)16已知關(guān)于x的方程x2+ax+a2=0(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根;(2)求證:不論a取何實數(shù),該方程都有兩個不相等的實數(shù)根四、作圖題17如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點)和點A1畫出ABC關(guān)于點A1的中心對稱圖形五、解答題18已知關(guān)于x的一元二次方程x22x+m1=0有兩個實數(shù)根x1,x2(1)求m的取值范圍;(2)當(dāng)x12+x22=6x1x2時,求m的值19某文具店購進一批紀(jì)念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀(jì)念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊每周的銷售量y(本)與每本紀(jì)念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價為22元時,銷售量為36本;當(dāng)銷售單價為24元時,銷售量為32本(1)請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時,每本紀(jì)念冊的銷售單價是多少元?(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤為w元,將該紀(jì)念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?20如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A(3,0)和點B,交y軸于點C(0,3)(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)若點P在拋物線上,且SAOP=4SBOC,求點P的坐標(biāo);(3)如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點,作DQx軸,交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值21把邊長分別為4和6的矩形ABCO如圖放在平面直角坐標(biāo)系中,將它繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角,旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形EDCF在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)如圖,當(dāng)點E在射線CB上時,E點坐標(biāo)為;(2)當(dāng)CBD是等邊三角形時,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是(a為銳角時);(3)如圖,設(shè)EF與BC交于點G,當(dāng)EG=CG時,求點G的坐標(biāo);(4)如圖,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=90時,請判斷矩形EDCF的對稱中心H是否在以C為頂點,且經(jīng)過點A的拋物線上六、解答題22(1)如圖,在正方形ABCD中,AEF的頂點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求EAF的度數(shù)(2)如圖,在RtABD中,BAD=90,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且MAN=45,將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADH位置,連接NH,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由(3)在圖中,連接BD分別交AE,AF于點M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的長23如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點,且與x軸交于另一點C(1)求b、c的值;(2)如圖1,點D為AC的中點,點E在線段BD上,且BE=2ED,連接CE并延長交拋物線于點M,求點M的坐標(biāo);(3)將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15后交y軸于點G,連接CG,如圖2,P為ACG內(nèi)一點,連接PA、PC、PG,分別以AP、AG為邊,在他們的左側(cè)作等邊APR,等邊AGQ,連接QR求證:PG=RQ;求PA+PC+PG的最小值,并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標(biāo)六、附加題24如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,且BE=DF,點P是AF的中點,點Q是直線AC與EF的交點,連接PQ、PD(1)求證:AC垂直平分EF;(2)試判斷PDQ的形狀,并加以證明;(3)如圖2,若將CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180,其余條件不變,則(2)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由25如圖,在ABC中,AB=AC=13厘米,BC=10厘米,ADBC于點D,動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動設(shè)動點運動時間為t秒(1)求AD的長;(2)當(dāng)PDC的面積為15平方厘米時,求t的值;(3)動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動點M與點P同時出發(fā),且當(dāng)點P運動到終點D時,點M也停止運動是否存在t,使得SPMD=SABC?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由2016-2017學(xué)年江西省贛州市潭東中學(xué)九年級(上)期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a21=0的一個根是0,則a的值是()A1B1C1或1D1或0【考點】一元二次方程的解【分析】將x=0代入關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a21=0即可求得a的值注意,二次項系數(shù)a10【解答】解:關(guān)于x的一元二次方程(a1)x2+x+a21=0的一個根是0,(a1)0+0+a21=0,且a10,解得a=1;故選A【點評】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立2已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x26x+8=0的根,則該三角形的周長為()A8B10C8或10D12【考點】解一元二次方程-因式分解法;三角形三邊關(guān)系;等腰三角形的性質(zhì)【分析】用因式分解法可以求出方程的兩個根分別是4和2,根據(jù)等腰三角形的三邊關(guān)系,腰應(yīng)該是4,底是2,然后可以求出三角形的周長【解答】解:x26x+8=0(x4)(x2)=0x1=4,x2=2,由三角形的三邊關(guān)系可得:腰長是4,底邊是2,所以周長是:4+4+2=10故選:B【點評】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程,用十字相乘法因式分解求出方程的兩個根,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出三角形的周長3如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,其對稱軸為x=1,下列結(jié)論:abc0;2a+b=0;4a+2b+c0;若(),()是拋物線上兩點,則y1y2其中結(jié)論正確的是()ABCD【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【專題】數(shù)形結(jié)合【分析】由拋物線開口方向得到a0,有對稱軸方程得到b=2a0,由拋物線與y軸的交點位置得到c0,則可對進行判斷;由b=2a可對進行判斷;利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點為(3,0),則可判斷當(dāng)x=2時,y0,于是可對進行判斷;通過比較點()與點()到對稱軸的距離可對進行判斷【解答】解:拋物線開口向下,a0,拋物線的對稱軸為直線x=1,b=2a0,拋物線與y軸的交點在x軸上方,c0,abc0,所以錯誤;b=2a,2a+b=0,所以正確;拋物線與x軸的一個交點為(1,0),拋物線的對稱軸為直線x=1,拋物線與x軸的另一個交點為(3,0),當(dāng)x=2時,y0,4a+2b+c0,所以錯誤;點()到對稱軸的距離比點()對稱軸的距離遠(yuǎn),y1y2,所以正確故選C【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系:對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小,當(dāng)a0時,拋物線向上開口;當(dāng)a0時,拋物線向下開口;一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置:當(dāng)a與b同號時(即ab0),對稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號時(即ab0),對稱軸在y軸右;常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點:拋物線與y軸交于(0,c);拋物線與x軸交點個數(shù)由決定:=b24ac0時,拋物線與x軸有2個交點;=b24ac=0時,拋物線與x軸有1個交點;=b24ac0時,拋物線與x軸沒有交點4圖(1)是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當(dāng)水面在l時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2m,水面寬4m如圖(2)建立平面直角坐標(biāo)系,則拋物線的關(guān)系式是()Ay=2x2By=2x2Cy=x2Dy=x2【考點】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式【專題】壓軸題【分析】由圖中可以看出,所求拋物線的頂點在原點,對稱軸為y軸,可設(shè)此函數(shù)解析式為:y=ax2,利用待定系數(shù)法求解【解答】解:設(shè)此函數(shù)解析式為:y=ax2,a0;那么(2,2)應(yīng)在此函數(shù)解析式上則2=4a即得a=,那么y=x2故選:C【點評】根據(jù)題意得到函數(shù)解析式的表示方法是解決本題的關(guān)鍵,關(guān)鍵在于找到在此函數(shù)解析式上的點5下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()ABCD【考點】中心對稱圖形;軸對稱圖形【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180后能夠與原圖形完全重合即是中心對稱圖形,以及軸對稱圖形的定義即可判斷出【解答】解:A、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,故本選項正確;B、該圖形是軸對稱圖形,但不是中心對稱圖形,故本選項錯誤;C、該圖形是中心對稱圖形,但不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;D、該圖形既不是中心對稱圖形,也不是軸對稱圖形,故本選項錯誤;故選:A【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱的定義,根據(jù)定義得出圖形形狀是解決問題的關(guān)鍵6已知如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于E,CD=6,AE=1,則O的直徑為()A6B8C10D12【考點】垂徑定理;勾股定理【分析】連接OC,根據(jù)題意OE=OC1,CE=3,結(jié)合勾股定理,可求出OC的長度,即可求出直徑的長度【解答】解:連接OC,弦CDAB于E,CD=6,AE=1,OE=OC1,CE=3,OC2=(OC1)2+32,OC=5,AB=10故選C【點評】本題主要考查了垂徑定理、勾股定理,解題的關(guān)鍵在于連接OC,構(gòu)建直角三角形,根據(jù)勾股定理求半徑OC的長度二、填空題7關(guān)于x的一元二次方程x2+(2a1)x+5a=ax+1的一次項系數(shù)為4,則常數(shù)項為:1【考點】一元二次方程的一般形式【分析】移項并整理,然后根據(jù)一次項系數(shù)列方程求出a的值,再求解即可【解答】解:移項得,x2+(2a1)x+5aax1=0,x2+(a1)x+4a=0,一次項系數(shù)為4,a1=4,解得a=5,所以,常數(shù)項為4a=45=1故答案為:1【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常數(shù)且a0)8已知m是關(guān)于x的方程x22x3=0的一個根,則2m24m=6【考點】一元二次方程的解【專題】推理填空題【分析】根據(jù)m是關(guān)于x的方程x22x3=0的一個根,通過變形可以得到2m24m值,本題得以解決【解答】解:m是關(guān)于x的方程x22x3=0的一個根,m22m3=0,m22m=3,2m24m=6,故答案為:6【點評】本題考查一元二次方程的解,解題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件9拋物線y=2x2+3x1向右平移2個單位,再向上平移3個單位,得到新的拋物線解析式是y=2(x)2+【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】根據(jù)題意易得新拋物線的頂點,根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式【解答】解:y=2x2+3x1=2(x+)2,其頂點坐標(biāo)為(,)向右平移2個單位長度,再向上平移3個單位長度后的頂點坐標(biāo)為(,),得到的拋物線的解析式是y=2(x)2+故答案為:y=2(x)2+【點評】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換,要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減10如圖,已知A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,10),M是AOB外接圓C上的一點,且AOM=30,則點M的坐標(biāo)為(4,4)【考點】三角形的外接圓與外心;坐標(biāo)與圖形性質(zhì)【分析】由勾股定理求出AB的長,由圓周角定理得出AB為直徑,求出半徑和圓心C的坐標(biāo),過點C作CFOA,過點P作MEOA于E交CF于F,作CNOE于N,設(shè)ME=x,得出OE=x,在CMF中,根據(jù)勾股定理得出方程,解方程即可【解答】解:A,B兩點的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,10),OB=10,OA=2,AB=4,AOB=90,AB是直徑,CM=2,RtAOB外接圓的圓心為AB中點,C點坐標(biāo)為(,5),過點C作CFOA,過點M作MEOA于E交CF于F,作CNOE于N,如圖所示:則ON=AN=OA=,設(shè)ME=x,AOM=30,OE=xCFM=90,MF=5x,CF=x,CM=2,在CMF中,根據(jù)勾股定理得:( x)2+(5x)2=(2)2,解得:x=4或x=0(舍去),OE=x=4故答案為:(4,4)【點評】本題考查的是圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理;熟練掌握圓周角定理,由勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵11如圖,在RtABC中,ABC=90,AB=BC=,將ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60,得到ADE,連接BE,則BE的長是2+2【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【專題】綜合題【分析】首先考慮到BE所在的三角形并不是特殊三角形,所以猜想到要求BE,可能需要構(gòu)造直角三角形由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AC=AE,CAE=60,故ACE是等邊三角形,可證明ABE與CBE全等,可得到ABE=45,AEB=30,再證AFB和AFE是直角三角形,然后在根據(jù)勾股定理求解【解答】解:連結(jié)CE,設(shè)BE與AC相交于點F,如下圖所示,RtABC中,AB=BC,ABC=90BCA=BAC=45RtABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60與RtADE重合,BAC=DAE=45,AC=AE又旋轉(zhuǎn)角為60BAD=CAE=60,ACE是等邊三角形AC=CE=AE=4在ABE與CBE中,ABECBE (SSS)ABE=CBE=45,CEB=AEB=30在ABF中,BFA=1804545=90AFB=AFE=90在RtABF中,由勾股定理得, BF=AF=2又在RtAFE中,AEF=30,AFE=90 FE=AF=2BE=BF+FE=2+2 故,本題的答案是:2+2【點評】此題是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)題,解決此題,關(guān)鍵是思路要明確:“構(gòu)造”直角三角形在熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的基礎(chǔ)上,還要應(yīng)用全等的判定及性質(zhì),直角三角形的判定及勾股定理的應(yīng)用12自主學(xué)習(xí),請閱讀下列解題過程解一元二次不等式:x25x0解:設(shè)x25x=0,解得:x1=0,x2=5,則拋物線y=x25x與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0)和(5,0)畫出二次函數(shù)y=x25x的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x0,或x5時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y0,即x25x0,所以,一元二次不等式x25x0的解集為:x0或x5通過對上述解題過程的學(xué)習(xí),按其解題的思路和方法解答下列問題:(1)上述解題過程中,滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和(只填序號)轉(zhuǎn)化思想 分類討論思想 數(shù)形結(jié)合思想(2)一元二次不等式x25x0的解集為0x5(3)用類似的方法寫出一元二次不等式的解集:x22x30x1或x3【考點】二次函數(shù)與不等式(組);拋物線與x軸的交點【分析】(1)根據(jù)題意容易得出結(jié)論;(2)由圖象可知:當(dāng)0x5時函數(shù)圖象位于x軸下方,此時y0,即x25x0,即可得出結(jié)果;(3)設(shè)x22x3=0,解方程得出拋物線y=x22x3與x軸的交點坐標(biāo),畫出二次函數(shù)y=x2,2x3的大致圖象,由圖象可知:當(dāng)x1,或x5時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y0,即x25=2x30,即可得出結(jié)果【解答】解:(1)上述解題過程中,滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的和;故答案為:,;(2)由圖象可知:當(dāng)0x5時函數(shù)圖象位于x軸下方,此時y0,即x25x0,一元二次不等式x25x0的解集為:0x5;故答案為:0x5(3)設(shè)x22x3=0,解得:x1=3,x2=1,拋物線y=x22x3與x軸的交點坐標(biāo)為(3,0)和(1,0)畫出二次函數(shù)y=x22x3的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x1,或x3時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y0,即x22x30,一元二次不等式x22x30的解集為:x1或x3故答案為x1或x3【點評】本題考查了二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象、拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、一元二次方程的解法等知識;熟練掌握二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵三、計算題13解方程:(1)x22x2=0;(2)(x2)23(x2)=0【考點】解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-因式分解法【分析】觀察各題特點,確定求解方法:(1)用配方法解方程,首先移項,把常數(shù)項移到等號的右邊,然后在方程的左右兩邊同時加上一次項系數(shù)的一半,即可使左邊是完全平方式,右邊是常數(shù),即可求解;(2)用提公因式法解方程,方程左邊可以提取公因式x2,即可分解,轉(zhuǎn)化為兩個式子的積是0的形式,從而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解【解答】解:(1)x22x+1=3(x1)2=3x1=x1=1+,x2=1(2)(x2)(x23)=0x2=0或x5=0x1=2,x2=5【點評】靈活掌握解一元二次方程的方法,根據(jù)方程的特點選取合適的求解方法14先化簡,再求值:(),其中,a是方程x2+3x+1=0的根【考點】分式的化簡求值;一元二次方程的解【專題】計算題【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算,同時利用除法法則變形,約分得到最簡結(jié)果,將a代入方程求出a2+3a的值,代入計算即可求出值【解答】解:原式=+=(+)=,a是方程x2+3x+1=0的根,a2+3a=1,則原式=【點評】此題考查了分式的化簡求值,熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵15如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點E,點M在O上,MD恰好經(jīng)過圓心O,連接MB(1)若CD=16,BE=4,求O的直徑;(2)若M=D,求D的度數(shù)【考點】垂徑定理;勾股定理;圓周角定理【專題】幾何綜合題【分析】(1)先根據(jù)CD=16,BE=4,得出OE的長,進而得出OB的長,進而得出結(jié)論;(2)由M=D,DOB=2D,結(jié)合直角三角形可以求得結(jié)果;【解答】解:(1)ABCD,CD=16,CE=DE=8,設(shè)OB=x,又BE=4,x2=(x4)2+82,解得:x=10,O的直徑是20(2)M=BOD,M=D,D=BOD,ABCD,D=30【點評】本題考查了圓的綜合題:在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角相等,直徑所對的圓周角為直角;垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的弧16已知關(guān)于x的方程x2+ax+a2=0(1)若該方程的一個根為1,求a的值及該方程的另一根;(2)求證:不論a取何實數(shù),該方程都有兩個不相等的實數(shù)根【考點】根的判別式;一元二次方程的解;根與系數(shù)的關(guān)系【專題】判別式法【分析】(1)將x=1代入方程x2+ax+a2=0得到a的值,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出另一根;(2)寫出根的判別式,配方后得到完全平方式,進行解答【解答】解:(1)將x=1代入方程x2+ax+a2=0得,1+a+a2=0,解得,a=;方程為x2+x=0,即2x2+x3=0,設(shè)另一根為x1,則1x1=,x1=(2)=a24(a2)=a24a+8=a24a+4+4=(a2)2+40,不論a取何實數(shù),該方程都有兩個不相等的實數(shù)根【點評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,要記牢公式,靈活運用四、作圖題17如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點)和點A1畫出ABC關(guān)于點A1的中心對稱圖形【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換【專題】作圖題【分析】延長AA1到A,使A1A=AA1,則點A為A的對應(yīng)點,同樣方法作出B、C的對應(yīng)點B、C,從而得到ABC【解答】解:如圖,ABC為所作【點評】本題考查了作圖旋轉(zhuǎn)變換:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角,對應(yīng)線段也相等,由此可以通過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應(yīng)點,順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形五、解答題18已知關(guān)于x的一元二次方程x22x+m1=0有兩個實數(shù)根x1,x2(1)求m的取值范圍;(2)當(dāng)x12+x22=6x1x2時,求m的值【考點】根與系數(shù)的關(guān)系;根的判別式【分析】(1)根據(jù)一元二次方程x22x+m1=0有兩個實數(shù)根,可得0,據(jù)此求出m的取值范圍;(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2,x1x2的值,代入x12+x22=6x1x2求解即可【解答】解:(1)原方程有兩個實數(shù)根,=(2)24(m1)0,整理得:44m+40,解得:m2;(2)x1+x2=2,x1x2=m1,x12+x22=6x1x2,(x1+x2)22x1x2=6x1x2,即4=8(m1),解得:m=m=2,符合條件的m的值為【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式,解答本題的關(guān)鍵是掌握兩根之和與兩根之積的表達方式19某文具店購進一批紀(jì)念冊,每本進價為20元,出于營銷考慮,要求每本紀(jì)念冊的售價不低于20元且不高于28元,在銷售過程中發(fā)現(xiàn)該紀(jì)念冊每周的銷售量y(本)與每本紀(jì)念冊的售價x(元)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系:當(dāng)銷售單價為22元時,銷售量為36本;當(dāng)銷售單價為24元時,銷售量為32本(1)請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時,每本紀(jì)念冊的銷售單價是多少元?(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤為w元,將該紀(jì)念冊銷售單價定為多少元時,才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用;一元二次方程的應(yīng)用【專題】應(yīng)用題;二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)【分析】(1)設(shè)y=kx+b,根據(jù)題意,利用待定系數(shù)法確定出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合銷量每本的利潤=150,進而求出答案;(3)根據(jù)題意結(jié)合銷量每本的利潤=w,進而利用二次函數(shù)增減性求出答案【解答】解:(1)設(shè)y=kx+b,把(22,36)與(24,32)代入得:,解得:,則y=2x+80;(2)設(shè)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時,每本紀(jì)念冊的銷售單價是x元,根據(jù)題意得:(x20)y=150,則(x20)(2x+80)=150,整理得:x260x+875=0,(x25)(x35)=0,解得:x1=25,x2=35(不合題意舍去),答:每本紀(jì)念冊的銷售單價是25元;(3)由題意可得:w=(x20)(2x+80)=2x2+120x1600=2(x30)2+200,此時當(dāng)x=30時,w最大,又售價不低于20元且不高于28元,x30時,y隨x的增大而增大,即當(dāng)x=28時,w最大=2(2830)2+200=192(元),答:該紀(jì)念冊銷售單價定為28元時,才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大,最大利潤是192元【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識,正確利用銷量每本的利潤=w得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵20(2015阜新)如圖,拋物線y=x2+bx+c交x軸于點A(3,0)和點B,交y軸于點C(0,3)(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)若點P在拋物線上,且SAOP=4SBOC,求點P的坐標(biāo);(3)如圖b,設(shè)點Q是線段AC上的一動點,作DQx軸,交拋物線于點D,求線段DQ長度的最大值【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】壓軸題【分析】(1)把點A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)的方程組,通過解方程組求得系數(shù)的值;(2)設(shè)P點坐標(biāo)為(x,x22x+3),根據(jù)SAOP=4SBOC列出關(guān)于x的方程,解方程求出x的值,進而得到點P的坐標(biāo);(3)先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3,再設(shè)Q點坐標(biāo)為(x,x+3),則D點坐標(biāo)為(x,x2+2x3),然后用含x的代數(shù)式表示QD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值【解答】解:(1)把A(3,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c,得,解得故該拋物線的解析式為:y=x22x+3(2)由(1)知,該拋物線的解析式為y=x22x+3,則易得B(1,0)SAOP=4SBOC,3|x22x+3|=413整理,得(x+1)2=0或x2+2x7=0,解得x=1或x=12則符合條件的點P的坐標(biāo)為:(1,4)或(1+2,4)或(12,4);(3)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t,將A(3,0),C(0,3)代入,得,解得即直線AC的解析式為y=x+3設(shè)Q點坐標(biāo)為(x,x+3),(3x0),則D點坐標(biāo)為(x,x22x+3),QD=(x22x+3)(x+3)=x23x=(x+)2+,當(dāng)x=時,QD有最大值【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題此題難度適中,解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想21把邊長分別為4和6的矩形ABCO如圖放在平面直角坐標(biāo)系中,將它繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a角,旋轉(zhuǎn)后的矩形記為矩形EDCF在旋轉(zhuǎn)過程中,(1)如圖,當(dāng)點E在射線CB上時,E點坐標(biāo)為;(2)當(dāng)CBD是等邊三角形時,旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)是(a為銳角時);(3)如圖,設(shè)EF與BC交于點G,當(dāng)EG=CG時,求點G的坐標(biāo);(4)如圖,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a=90時,請判斷矩形EDCF的對稱中心H是否在以C為頂點,且經(jīng)過點A的拋物線上【考點】二次函數(shù)綜合題【專題】綜合題【分析】(1)依題意得點E在射線CB上,橫坐標(biāo)為4,縱坐標(biāo)根據(jù)勾股定理可得點E(2)已知BCD=60,BCF=30,然后可得=60(3)設(shè)CG=x,則EG=x,F(xiàn)G=6x,根據(jù)勾股定理求出CG的值(4)設(shè)以C為頂點的拋物線的解析式為y=a(x4)2,把點A的坐標(biāo)代入求出a值當(dāng)x=7時代入函數(shù)解析式可得解【解答】解(1)E(4,2)(l分)(2)60(2分)(3)設(shè)CG=x,則EG=x,F(xiàn)G=6x,在RtFGC中,CF2+FG2=CG2,42+(6x)2=x2解得,即(4分)(4)設(shè)以C為頂點的拋物線的解析式為y=a(x4)2,把A(0,6)代入,得6=a(04)2解得a=拋物線的解析式為y=(x4)2矩形EDCF的對稱中心H即為對角線FD、CE的交點,H(7,2)當(dāng)x=7時,點H不在此拋物線上(7分)【點評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,難度較大六、解答題22(1)如圖,在正方形ABCD中,AEF的頂點E,F(xiàn)分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求EAF的度數(shù)(2)如圖,在RtABD中,BAD=90,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且MAN=45,將ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90至ADH位置,連接NH,試判斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由(3)在圖中,連接BD分別交AE,AF于點M,N,若EG=4,GF=6,BM=3,求AG,MN的長【考點】正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理【分析】(1)根據(jù)高AG與正方形的邊長相等,證明三角形全等,進而證明角相等,從而求出解(2)用三角形全等和正方形的對角線平分每一組對角的知識可證明結(jié)論(3)設(shè)出線段的長,結(jié)合方程思想,用數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果【解答】解:(1)在RtABE和RtAGE中,AB=AG,AE=AE,RtABERtAGE(HL)BAE=GAE同理,GAF=DAF(2)MN2=ND2+DH2BAM=DAH,BAM+DAN=45,HAN=DAH+DAN=45HAN=MAN又AM=AH,AN=AN,AMNAHNMN=HNBAD=90,AB=AD,ABD=ADB=45HDN=HDA+ADB=90NH2=ND2+DH2MN2=ND2+DH2(3)由(1)知,BE=EG,DF=FG設(shè)AG=x,則CE=x4,CF=x6在RtCEF中,CE2+CF2=EF2,(x4)2+(x6)2=102解這個方程,得x1=12,x2=2(舍去負(fù)根)即AG=12在RtABD中,在(2)中,MN2=ND2+DH2,BM=DH,MN2=ND2+BM2設(shè)MN=a,則即a 2=(9a) 2+(3) 2,即【點評】本題考查正方形的性質(zhì),四邊相等,對角線平分每一組對角,以及全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理的知識點等23如圖1,已知一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點,且與x軸交于另一點C(1)求b、c的值;(2)如圖1,點D為AC的中點,點E在線段BD上,且BE=2ED,連接CE并延長交拋物線于點M,求點M的坐標(biāo);(3)將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)15后交y軸于點G,連接CG,如圖2,P為ACG內(nèi)一點,連接PA、PC、PG,分別以AP、AG為邊,在他們的左側(cè)作等邊APR,等邊AGQ,連接QR求證:PG=RQ;求PA+PC+PG的最小值,并求出當(dāng)PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標(biāo)【考點】二次函數(shù)綜合題【分析】(1)把A(3,0),B(0,3)代入拋物線y=x2+bx+c即可解決問題(2)首先求出A、C、D坐標(biāo),根據(jù)BE=2ED,求出點E坐標(biāo),求出直線CE,利用方程組求交點坐標(biāo)M(3)欲證明PG=QR,只要證明QARGAP即可當(dāng)Q、R、P、C共線時,PA+PG+PC最小,作QNOA于N,AMQC于M,PKOA于K,由sinACM=求出AM,CM,利用等邊三角形性質(zhì)求出AP、PM、PC,由此即可解決問題【解答】解:(1)一次函數(shù)y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點,A(3,0),B(0,3),拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點,解得,b=2,c=3(2),對于拋物線y=x22x+3,令y=0,則x22x+3=0,解得x=3或1,點C坐標(biāo)(1,0),AD=DC=2,點D坐標(biāo)(1,0),BE=2ED,點E坐標(biāo)(,1),設(shè)直線CE為y=kx+b,把E、C代入得到解得,直線CE為y=x+,由解得或,點M坐標(biāo)(,)(3)AGQ,APR是等邊三角形,AP=AR,AQ=AG,QAC=RAP=60,QAR=GAP,在QAR和GAP中,QARGAP,QR=PG如圖3中,PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC,當(dāng)Q、R、P、C共線時,PA+PG+PC最小,作QNOA于N,AMQC于M,PKOA于KGAO=60,AO=3,AG=QG=AQ=6,AGO=30,QGA=60,QGO=90,點Q坐標(biāo)(6,3),在RTQCN中,QN=3,CN=7,QNC=90,QC=2,sinACM=,AM=,APR是等邊三角形,APM=60,PM=PR,cos30=,AP=,PM=RM=MC=,PC=CMPM=,=,CK=,PK=,OK=CKCO=,點P坐標(biāo)(,)PA+PC+PG的最小值為2,此時點P的坐標(biāo)(,)【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識,解題的關(guān)鍵是理解Q、R、P、C共線時,PA+PG+PC最小,學(xué)會添加常用輔助線,屬于中考壓軸題六、附加題24如圖1,在正方形ABCD中,點E、F分別在邊BC、CD上,且BE=DF,點P是AF的中點,點Q是直線AC與EF的交點,連接PQ、PD(1)求證:AC垂直平分EF;(2)試判斷PDQ的形狀,并加以證明;(3)如圖2,若將CEF繞著點C旋轉(zhuǎn)180,其余條件不變,則(2)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請加以證明;若不成立,請說明理由【考點】四邊形綜合題【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD,B=ADF=90,BCA=DCA=45,由BE=DF,得出CE=CF,CEF是等腰直角三角形,即可得出結(jié)論;(2)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再證明DPQ=90,即可得出結(jié)論;(3)由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出PD=AF,PQ=AF,得出PD=PQ,再證明點A、F、Q、P四點共圓,由圓周角定理得出DPQ=2DAQ=90,即可得出結(jié)論【解答】(1)證明:四邊形ABCD是正方形,AB=BC=CD=AD,B=ADF=90,BCA=DCA=45,BE=DF,CE=CF,AC垂直平分EF;(2)解:PDQ是等腰直角三角形;理由如下:點P是AF的中點,ADF=90,PD=AF=PA,DAP=ADP,AC垂直平分EF,AQF=90,PQ=AF=PA,PAQ=AQP,PD=PQ,DPF=PAD+ADP,QPF=PAQ+AQP,DPQ=2PAD+PAQ=2(PAD+PAQ)=245=90,PDQ是等腰直角三角形;(3)成立;理由如下:點P是AF的中點,ADF=90,PD=AF=PA,BE=DF,BC=CD,F(xiàn)CQ=ACD=45,ECQ=ACB=45,CE=CF,F(xiàn)CQ=ECQ,CQEF,AQF=90,PQ=AF=AP=PF,PD=PQ=AP=PF,點A、F、Q、P四點共圓,DPQ=2DAQ=90,PDQ是等腰直角三角形【點評】本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識;本題難度較大,綜合性強,特別是(2)中,需要證明四點共圓,運用圓周角定理才能得出結(jié)論25如圖,在ABC中,AB=AC=13厘米,BC=10厘米,ADBC于點D,動點P從點A出發(fā)以每秒1厘米的速度在線段AD上向終點D運動設(shè)動點運動時間為t秒(1)求AD的長;(2)當(dāng)PDC的面積為15平方厘米時,求t的值;(3)動點M從點C出發(fā)以每秒2厘米的速度在射線CB上運動點M與點P同時出發(fā),且當(dāng)點P運動到終點D時,點M也停止運動是否存在t,使得SPMD=SABC?若存在,請求出t的值;若不存在,請說明理由【考點】勾股定理;三角形的面積【專題】動點型【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和勾股定理解答即可;根據(jù)直角三角形面積求出PDDC=15即可求出t;根據(jù)題意列出PD、MD的表達式解方程組,由于M在D點左右兩側(cè)情況不同,所以進行分段討論即可,注意約束條件【解答】解:(1)AB=AC=13,ADBC,BD=CD=5cm,且ADB=90,AD2=AC2CD2AD=12cm(2)AP=t,PD=12t,又由PDM面積為PDDC=15,解得PD=6,t=6(3)假設(shè)存在t,使得SPMD=SABC若點M在線段CD上,即時,PD=12t,DM=52t,由SPMD=SABC,即,2t229t+50=0解得t1=12.5(舍去),t2=2(2分)若點M在射線DB上,即由SPMD=SABC得,2t229t+70=0解得,(2分)綜上,存在t的值為2或或,使得SPMD=SABC(1分)【點評】此題關(guān)鍵為利用三角形性質(zhì)勾股定理以及分段討論,在解方程時,注意解是否符合約束條件- 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