九年級數(shù)學上學期期中試卷(含解析) 新人教版0 (4)
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2016-2017學年浙江省杭州市余杭區(qū)九年級(上)期中數(shù)學試卷 一、選擇題(每題3分,共30分) 1.下列函數(shù)解析式中,一定為二次函數(shù)的是( ?。? A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 2.下列事件是必然事件的是( ?。? A.若a是實數(shù),則|a|≥0 B.拋一枚硬幣,正面朝上 C.明天會下雨 D.打開電視,正在播放新聞 3.已知一個二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象經(jīng)過(﹣2,6),則下列點中不在該函數(shù)的圖象上的是( ?。? A.(2,6) B.(1,1.5) C.(﹣1,1.5) D.(2,8) 4.下列說法正確的是( ?。? A.半圓是弧,弧也是半圓 B.三點確定一個圓 C.平分弦的直徑垂直于弦 D.直徑是同一圓中最長的弦 5.設A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣(x+1)2+3上的三點,則y1,y2,y3的大小關系為( ?。? A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 6.如圖,已知半徑OD與弦AB互相垂直,垂足為點C,若AB=8,CD=3,則⊙O的半徑為( ) A.4 B.5 C. D. 7.在一個不透明的盒子中裝有n個小球,它們除了顏色不同外,其余都相同,其中有4個白球,每次試驗前,將盒子中的小球搖勻,隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中.大量重復上述試驗后發(fā)現(xiàn),摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4,那么可以推算出n大約是( ) A.10 B.14 C.16 D.40 8.如圖所示的暗礁區(qū),兩燈塔A,B之間的距離恰好等于圓的半徑,為了使航船(S)不進入暗礁區(qū),那么S對兩燈塔A,B的視角∠ASB必須( ) A.大于60 B.小于60 C.大于30 D.小于30 9.如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為( ?。? A. B.2 C. D. 10.如圖,直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過y軸上的D點,拋物線與x軸交于A、B兩點,其對稱軸為直線x=1,且OA=OD.直線y=kx+c與x軸交于點C(點C在點B的右側).則下列命題中正確命題的是( ) ①abc>0; ②3a+b>0; ③﹣1<k<0; ④4a+2b+c<0; ⑤a+b<k. A.①②③ B.②③⑤ C.②④⑤ D.②③④⑤ 二、填空題(本題有6個小題,每小題4分,共24分) 11.從長度為2,3,5,7的四條線段中任意選取三條,這三條線段能構成三角形的概率等于 ?。? 12.拋物線y=﹣(x﹣2)2+1的頂點坐標是 ?。? 13.已知△ABC的邊BC=2cm,且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O,則∠A= 度. 14.如圖,△COD是△AOB繞點O順時針旋轉40后得到的圖形,若點C恰好落在AB上,且∠AOD的度數(shù)為90,則∠B的度數(shù)是 ?。? 15.已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,弦PQ∥AB交弦CD于點M,BE=18,CD=PQ=24,則OM的長為 ?。? 16.在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為60,在射線OC上取一點A,過點A作AH⊥x軸于點H,在拋物線y=x2(x>0)上取一點P,在y軸上取一點Q,使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等,則符合條件的點A的坐標是 ?。? 三、解答題(6+8+8+10+10+12+12=66分) 17.如圖, (1)作△ABC的外接⊙O(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若AB=6cm,AC=BC=5cm,求⊙O的半徑. 18.甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯,兩人到1至4層的任意一層出電梯, (1)請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率; (2)小亮和小芳打賭說:“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯,則小亮勝,否則小芳勝”.該游戲是否公平?說明理由. 19.如圖,點A、B、C、D、E都在⊙O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,求證:AD=CE. 20.某商店購進一種商品,每件商品進價30元.試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y(件)與每件銷售價x(元)的關系數(shù)據(jù)如下: x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 (1)已知y與x滿足一次函數(shù)關系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關系式(不寫出自變量x的取值范圍); (2)如果商店銷售這種商品,每天要獲得150元利潤,那么每件商品的銷售價應定為多少元? (3)設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w(元),求出w與x之間的關系式,并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大? 21.如圖,在平面直角坐標系內(nèi),已知點A(2,2),B(﹣6,﹣4),C(2,﹣4). (1)求△ABC的外接圓的圓心點M的坐標; (2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長. 22.一座橋如圖,橋下水面寬度AB是20米,高CD是4米.要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米. (1)如圖1,若把橋看做是拋物線的一部分,建立如圖坐標系. ①求拋物線的解析式; ②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米? (2)如圖2,若把橋看做是圓的一部分. ①求圓的半徑;②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米? 23.如圖,在平面直角坐標系中,將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標軸上,直角頂點C的坐標為(﹣1,0),點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上. (1)點A的坐標為 ,點B的坐標為 ??; (2)拋物線的解析式為 ; (3)設(2)中拋物線的頂點為D,求△DBC的面積; (4)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由. 2016-2017學年浙江省杭州市余杭區(qū)九年級(上)期中數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題(每題3分,共30分) 1.下列函數(shù)解析式中,一定為二次函數(shù)的是( ?。? A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+ 【考點】二次函數(shù)的定義. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義,可得答案. 【解答】解:A、y=3x﹣1是一次函數(shù),故A錯誤; B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函數(shù),故B錯誤; C、s=2t2﹣2t+1是二次函數(shù),故C正確; D、y=x2+不是二次函數(shù),故D錯誤; 故選:C. 2.下列事件是必然事件的是( ) A.若a是實數(shù),則|a|≥0 B.拋一枚硬幣,正面朝上 C.明天會下雨 D.打開電視,正在播放新聞 【考點】隨機事件. 【分析】根據(jù)必然事件指在一定條件下,一定發(fā)生的事件,可得答案. 【解答】解:A、若a是實數(shù),則|a|≥0是必然事件,故A正確; B、是隨機事件,故B錯誤; C、是隨機事件,故C錯誤; D、是隨機事件,故D錯誤; 故選:A. 3.已知一個二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象經(jīng)過(﹣2,6),則下列點中不在該函數(shù)的圖象上的是( ?。? A.(2,6) B.(1,1.5) C.(﹣1,1.5) D.(2,8) 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】先利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,再依次將各選項的點代入解析式即可作出判斷. 【解答】解:把(﹣2,6)代入y=ax2(a≠0)中得:4a=6, a=, ∴這個二次函數(shù)的解析式為:y=, A、當x=2時,y=22=6,所以點(2,6)在該函數(shù)的圖象上; B、當x=1時,y=12=1.5,所以點(1,1.5)在該函數(shù)的圖象上; C、當x=﹣1時,y=(﹣1)2=1.5,所以點(﹣1,1.5)在該函數(shù)的圖象上; D、當x=2時,y=22=6,所以點(2,8)不在該函數(shù)的圖象上; 故選D. 4.下列說法正確的是( ) A.半圓是弧,弧也是半圓 B.三點確定一個圓 C.平分弦的直徑垂直于弦 D.直徑是同一圓中最長的弦 【考點】確定圓的條件;垂徑定理. 【分析】利用圓的有關定義分別判斷后即可確定正確的選項. 【解答】解:A、半圓是弧,但弧不一定是半圓,故本選項錯誤; B、不在同一直線上的三點確定一個圓,故本選項錯誤; C、當被平分的弦為直徑時,兩直徑不一定垂直,故本選項錯誤; D、直徑是同一圓中最長的弦,故本選項正確, 故選D. 5.設A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是拋物線y=﹣(x+1)2+3上的三點,則y1,y2,y3的大小關系為( ) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y3>y2>y1 D.y3>y1>y2 【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征. 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性,可利用對稱性,找出點A的對稱點A′,再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大?。? 【解答】解:∵函數(shù)的解析式是y=﹣(x+1)2+3,如右圖, ∴對稱軸是x=﹣1, ∴點A關于對稱軸的點A′是(0,y1), 那么點A′、B、C都在對稱軸的右邊,而對稱軸右邊y隨x的增大而減小, 于是y1>y2>y3. 故選A. 6.如圖,已知半徑OD與弦AB互相垂直,垂足為點C,若AB=8,CD=3,則⊙O的半徑為( ?。? A.4 B.5 C. D. 【考點】垂徑定理;勾股定理. 【分析】連接OA,設⊙O的半徑為r,則OC=r﹣3,再根據(jù)垂徑定理求出AC的長,由勾股定理即可得出結論. 【解答】解:連接OA,設⊙O的半徑為r,則OC=r﹣3, ∵半徑OD與弦AB互相垂直,AB=8, ∴AC=AB=4. 在Rt△AOC中,OA2=OC2+AC2,即r2=(r﹣3)2+42,解得r=. 故選C. 7.在一個不透明的盒子中裝有n個小球,它們除了顏色不同外,其余都相同,其中有4個白球,每次試驗前,將盒子中的小球搖勻,隨機摸出一個球記下顏色后再放回盒中.大量重復上述試驗后發(fā)現(xiàn),摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.4,那么可以推算出n大約是( ?。? A.10 B.14 C.16 D.40 【考點】利用頻率估計概率. 【分析】利用大量重復實驗時,事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動,并且擺動的幅度越來越小,根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理,可以用頻率的集中趨勢來估計概率,這個固定的近似值就是這個事件的概率. 【解答】解:∵通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn),摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.4, ∴=0.4, 解得:n=10. 故選A. 8.如圖所示的暗礁區(qū),兩燈塔A,B之間的距離恰好等于圓的半徑,為了使航船(S)不進入暗礁區(qū),那么S對兩燈塔A,B的視角∠ASB必須( ?。? A.大于60 B.小于60 C.大于30 D.小于30 【考點】圓周角定理;三角形的外角性質(zhì). 【分析】連接OA,OB,AB及BC,由AB等于圓的半徑,得到三角形AOB為等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60,由同弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半,求出∠ACB的度數(shù),再由∠ACB為△SCB的外角,根據(jù)三角形的外角性質(zhì):三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角,可得∠ASB小于∠ACB,即可得到正確的選項. 【解答】解:連接OA,OB,AB,BC,如圖所示: ∵AB=OA=OB,即△AOB為等邊三角形, ∴∠AOB=60, ∵∠ACB與∠AOB所對的弧都為, ∴∠ACB=∠AOB=30, 又∠ACB為△SCB的外角, ∴∠ACB>∠ASB,即∠ASB<30. 故選D 9.如圖,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC內(nèi)部的一個動點,且滿足∠PAB=∠PBC,則線段CP長的最小值為( ?。? A. B.2 C. D. 【考點】點與圓的位置關系;圓周角定理. 【分析】首先證明點P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC與⊙O交于點P,此時PC最小,利用勾股定理求出OC即可解決問題. 【解答】解:∵∠ABC=90, ∴∠ABP+∠PBC=90, ∵∠PAB=∠PBC, ∴∠BAP+∠ABP=90, ∴∠APB=90, ∴點P在以AB為直徑的⊙O上,連接OC交⊙O于點P,此時PC最小, 在RT△BCO中,∵∠OBC=90,BC=4,OB=3, ∴OC==5, ∴PC=OC﹣OP=5﹣3=2. ∴PC最小值為2. 故選B. 10.如圖,直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象都經(jīng)過y軸上的D點,拋物線與x軸交于A、B兩點,其對稱軸為直線x=1,且OA=OD.直線y=kx+c與x軸交于點C(點C在點B的右側).則下列命題中正確命題的是( ?。? ①abc>0; ②3a+b>0; ③﹣1<k<0; ④4a+2b+c<0; ⑤a+b<k. A.①②③ B.②③⑤ C.②④⑤ D.②③④⑤ 【考點】拋物線與x軸的交點;一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系;二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系. 【分析】由拋物線的開口判斷a的符號;由對稱軸判斷b及b與2a的關系;由拋物線與y軸的交點判斷c的符號;由拋物線和直線圖象上點的坐標判斷有關代數(shù)式的符號. 【解答】解:∵拋物線開口向上, ∴a>0. ∵拋物線對稱軸是x=1, ∴b<0且b=﹣2a. ∵拋物線與y軸交于正半軸, ∴c>0. ∴①abc>0錯誤; ∵b=﹣2a, ∴3a+b=3a﹣2a=a>0, ∴②3a+b>0正確; ∵b=﹣2a, ∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c>0, ∴④4a+2b+c<0錯誤; ∵直線y=kx+c經(jīng)過一、二、四象限, ∴k<0. ∵OA=OD, ∴點A的坐標為(c,0). 直線y=kx+c當x=c時,y>0, ∴kc+c>0可得k>﹣1. ∴③﹣1<k<0正確; ∵直線y=kx+c與拋物線y=ax2+bx+c的圖象有兩個交點, ∴ax2+bx+c=kx+c, 得x1=0,x2=. 由圖象知x2>1, ∴>1 ∴k>a+b, ∴⑤a+b<k正確, 即正確命題的是②③⑤. 故選B. 二、填空題(本題有6個小題,每小題4分,共24分) 11.從長度為2,3,5,7的四條線段中任意選取三條,這三條線段能構成三角形的概率等于 ?。? 【考點】概率公式;三角形三邊關系. 【分析】三角形的任意兩邊的和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,本題只要把三邊代入,看是否滿足即可.把滿足的個數(shù)除以4即可得出概率. 【解答】解:長度為2,3,5,7的四條線段中任意選取三條共有: 2,3,5;2,3,7;2,5,7;3,5,7, 能構成三角形的為:3、5、7,只有1組,因此概率為. 12.拋物線y=﹣(x﹣2)2+1的頂點坐標是?。?,1)?。? 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì). 【分析】根據(jù)拋物線的頂點式,即可找出拋物線的頂點坐標. 【解答】解:∵拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+1, ∴該拋物線的頂點坐標為(2,1). 故答案為:(2,1). 13.已知△ABC的邊BC=2cm,且△ABC內(nèi)接于半徑為2cm的⊙O,則∠A= 60或120 度. 【考點】圓周角定理. 【分析】連接OB、OC,作OD⊥BC于D,則∠ODB=90,由垂徑定理得出BD=CD=BC=cm,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BOD=∠COD=∠BOC,由三角函數(shù)求出∠BOD=60,得出∠BOC=120,由圓周角定理即可得出結果. 【解答】解:分兩種情況: ①當△ABC是銳角三角形時;連接OB、OC,作OD⊥BC于D,如圖1所示: 則∠ODB=90,BD=CD=BC=cm,∠BOD=∠COD=∠BOC, ∵sin∠BOD=, ∴∠BOD=60, ∴∠BOC=120, ∴∠A=∠BOC=60 ②當△ABC是鈍角三角形時,如圖2所示: ∠A=180﹣60=120; 綜上所述:∠A的度數(shù)為60或120, 故答案為:60或120. 14.如圖,△COD是△AOB繞點O順時針旋轉40后得到的圖形,若點C恰好落在AB上,且∠AOD的度數(shù)為90,則∠B的度數(shù)是 60?。? 【考點】旋轉的性質(zhì). 【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠AOC=∠BOD=40,AO=CO,再求出∠BOC,∠ACO,然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解. 【解答】解:∵△COD是△AOB繞點O順時針旋轉40后得到的圖形, ∴∠AOC=∠BOD=40,AO=CO, ∵∠AOD=90, ∴∠BOC=90﹣402=10, ∠ACO=∠A===70, 由三角形的外角性質(zhì)得,∠B=∠ACO﹣∠BOC=70﹣10=60. 故答案為:60. 15.已知AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,弦PQ∥AB交弦CD于點M,BE=18,CD=PQ=24,則OM的長為 5?。? 【考點】垂徑定理;勾股定理. 【分析】作OF⊥PQ于F,連接OP,根據(jù)已知和圖形證明四邊形MEOF為正方形,設半徑為x,用x表示出OF,在直角△OPF中,根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值,得到答案. 【解答】解:作OF⊥PQ于F,連接OP, ∴PF=PQ=12, ∵CD⊥AB,PQ∥AB, ∴CD⊥PQ, ∴四邊形MEOF為矩形, ∵CD=PQ,OF⊥PQ,CD⊥AB, ∴OE=OF, ∴四邊形MEOF為正方形, 設半徑為x,則OF=OE=18﹣x, 在直角△OPF中, x2=122+(18﹣x)2, 解得x=13, 則MF=OF=OE=5, ∴OM=5. 故答案為:5. 16.在第一象限內(nèi)作射線OC,與x軸的夾角為60,在射線OC上取一點A,過點A作AH⊥x軸于點H,在拋物線y=x2(x>0)上取一點P,在y軸上取一點Q,使得以P、O、Q為頂點的三角形與△AOH全等,則符合條件的點A的坐標是?。?,3)或(,)或(,)或(2,2)?。? 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】由于兩三角形的對應邊不能確定,故應分四種情況進行討論: ①∠POQ=∠OAH=30,此時A、P重合,可聯(lián)立直線OA和拋物線的解析式,即可得A點坐標,由三角形的面積公式即可得出結論; ②∠POQ=∠AOH=60,此時∠POH=30,即直線OP:y=x,聯(lián)立拋物線的解析式可得P點坐標,進而可求出OQ、PQ的長,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到點A的坐標,由三角形的面積公式即可得出結論; ③當∠OPQ=90,∠POQ=∠AOH=60時,此時△QOP≌△AOH,得到點A的坐標,由三角形的面積公式即可得出結論; ④當∠OPQ=90,∠POQ=∠OAH=30,此時△OQP≌△AOH,得到點A的坐標,由三角形的面積公式即可得出結論. 【解答】解:①如圖1,當∠POQ=∠OAH=30,若以P,O,Q為頂點的三角形與△AOH全等,那么A、P重合; ∵∠AOH=60, ∴直線OA:y=x, 聯(lián)立拋物線的解析式得:, 解得:或, 故A(,3); ②當∠POQ=∠AOH=60,此時△POQ≌△AOH, 易知∠POH=30,則直線y=x,聯(lián)立拋物線的解析式, 得:, 解得:或, 故P(,),那么A(,); ③當∠OPQ=90,∠POQ=∠AOH=60時,此時△QOP≌△AOH; 易知∠POH=30,則直線y=x,聯(lián)立拋物線的解析式, 得:, 解得:或, 故P(,), ∴OP==,QP=, ∴OH=OP=,AH=QP=, 故A(,); ④當∠OPQ=90,∠POQ=∠OAH=30,此時△OQP≌△AOH; 此時直線y=x,聯(lián)立拋物線的解析式, 得:, 解得:或, ∴P(,3), ∴QP=2,OP=2, ∴OH=QP=2,AH=OP=2, 故A(2,2). 綜上可知:符合條件的點A有四個,分別為:(,3)或(,)或(,)或(2,2). 故答案為:(,3)或(,)或(,)或(2,2). 三、解答題(6+8+8+10+10+12+12=66分) 17.如圖, (1)作△ABC的外接⊙O(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法); (2)若AB=6cm,AC=BC=5cm,求⊙O的半徑. 【考點】作圖—復雜作圖. 【分析】(1)作線段AB于BC的垂直平分線相交于點O,則點O即為圓心,OA為半徑,作△ABC的外接圓即可; (2)先根據(jù)勾股定理求出CD的長,設OC=OA=r,則OD=CD﹣r,在Rt△AOD中,利用勾股定理求出r的值即可. 【解答】解:(1)如圖,⊙O即為所求; (2)∵AB=6cm,AC=BC=5cm, ∴AD=AB=3cm, ∴CD===4cm. 設OC=OA=r,則OD=4﹣r, 在Rt△AOD中, ∵AD2+OD2=OA2,即32+(4﹣r)2=r2,解得r=. 18.甲、乙兩人同在如圖所示的地下車庫等電梯,兩人到1至4層的任意一層出電梯, (1)請你用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率; (2)小亮和小芳打賭說:“若甲、乙在同一層或相鄰樓層出電梯,則小亮勝,否則小芳勝”.該游戲是否公平?說明理由. 【考點】游戲公平性;列表法與樹狀圖法. 【分析】(1)列表得出所有等可能的情況數(shù),找出甲乙在同一個樓層的情況數(shù),即可求出所求的概率; (2)分別求出兩人獲勝的概率比較得到公平與否. 【解答】解:(1)列表如下: 甲 乙 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 一共出現(xiàn)16種等可能結果,其中出現(xiàn)在同一層樓梯的有四種結果, ∴P(甲、乙在同一層樓梯)==; (2)不公平,理由為: 由(1)列知:甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結果 故P(小亮勝)=P(同層或相鄰樓層)==,P(小芳勝)=1﹣=, ∵>, ∴游戲不公平. 19.如圖,點A、B、C、D、E都在⊙O上,AC平分∠BAD,且AB∥CE,求證:AD=CE. 【考點】圓心角、弧、弦的關系. 【分析】欲證明AD=CE,只需證明=即可.如圖,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義易證得∠C=∠CAD,所以=,則+=+,故=. 【解答】證明:如圖,∵AB∥CE, ∴∠ACE=∠BAC. 又∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC, ∴∠C=∠CAD, ∴=, ∴+=+, ∴=, ∴AD=CE. 20.某商店購進一種商品,每件商品進價30元.試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量y(件)與每件銷售價x(元)的關系數(shù)據(jù)如下: x 30 32 34 36 y 40 36 32 28 (1)已知y與x滿足一次函數(shù)關系,根據(jù)上表,求出y與x之間的關系式(不寫出自變量x的取值范圍); (2)如果商店銷售這種商品,每天要獲得150元利潤,那么每件商品的銷售價應定為多少元? (3)設該商店每天銷售這種商品所獲利潤為w(元),求出w與x之間的關系式,并求出每件商品銷售價定為多少元時利潤最大? 【考點】二次函數(shù)的應用. 【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法解出解析式即可; (2)根據(jù)題意列出方程解答即可; (3)根據(jù)題意列出函數(shù)解析式,利用函數(shù)解析式的最值解答即可. 【解答】解:(1)設該函數(shù)的表達式為y=kx+b,根據(jù)題意,得 , 解得:. 故該函數(shù)的表達式為y=﹣2x+100; (2)根據(jù)題意得, (﹣2x+100)(x﹣30)=150, 解這個方程得,x1=35,x2=45, 故每件商品的銷售價定為35元或45元時日利潤為150元; (3)根據(jù)題意,得 w=(﹣2x+100)(x﹣30) =﹣2x2+160x﹣3000 =﹣2(x﹣40)2+200, ∵a=﹣2<0 則拋物線開口向下,函數(shù)有最大值, 即當x=40時,w的值最大, ∴當銷售單價為40元時獲得利潤最大. 21.如圖,在平面直角坐標系內(nèi),已知點A(2,2),B(﹣6,﹣4),C(2,﹣4). (1)求△ABC的外接圓的圓心點M的坐標; (2)求△ABC的外接圓在x軸上所截弦DE的長. 【考點】三角形的外接圓與外心;坐標與圖形性質(zhì). 【分析】(1)根據(jù)三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點解答; (2)連接OM,作MN⊥DE于N,根據(jù)勾股定理求出DN,根據(jù)垂徑定理求出DE. 【解答】解:(1)∵B(﹣6,﹣4),C(2,﹣4), ∴線段BC的垂直平分線是x=﹣2, ∵A(2,2),C(2,﹣4), ∴線段AC的垂直平分線是y=﹣1, ∴△ABC的外接圓的圓心M的坐標為:(﹣2,﹣1); (2)連接OM,作MN⊥DE于N, 由題意得,AC=6,BC=8, 由勾股定理得,AB=10, 則DN==2, 由垂徑定理得,DE=2DN=4. 22.一座橋如圖,橋下水面寬度AB是20米,高CD是4米.要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米. (1)如圖1,若把橋看做是拋物線的一部分,建立如圖坐標系. ①求拋物線的解析式; ②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米? (2)如圖2,若把橋看做是圓的一部分. ①求圓的半徑;②要使高為3米的船通過,則其寬度須不超過多少米? 【考點】二次函數(shù)的應用;垂徑定理的應用. 【分析】(1)①利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可;②根據(jù)題意得出y=3時,求出x的值即可; (2)①構造直角三角形利用BW2=BC2+CW2,求出即可; ②在RT△WGF中,由題可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5,根據(jù)勾股定理知:GF2=WF2﹣WG2,求出即可. 【解答】解:(1)①設拋物線解析式為:y=ax2+c, ∵橋下水面寬度AB是20米,高CD是4米, ∴A(﹣10,0),B(10,0),D(0,4), ∴, 解得: ∴拋物線解析式為:y=, ②∵要使高為3米的船通過, ∴y=3,則3=, 解得:x=5, ∴EF=10米; (2)①設圓半徑r米,圓心為W, ∵BW2=BC2+CW2, ∴r2=(r﹣4)2+102, 解得:r=14.5; ②在RT△WGF中,由題可知,WF=14.5,WG=14.5﹣1=13.5, 根據(jù)勾股定理知:GF2=WF2﹣WG2, 即GF2=14.52﹣13.52=28, 所以GF=2, 此時寬度EF=4米. 23.如圖,在平面直角坐標系中,將一塊腰長為的等腰直角三角板ABC放在第二象限,且斜靠在兩坐標軸上,直角頂點C的坐標為(﹣1,0),點B在拋物線y=ax2+ax﹣2上. (1)點A的坐標為?。?,2) ,點B的坐標為?。ī?,1) ; (2)拋物線的解析式為 y=x2+x﹣2??; (3)設(2)中拋物線的頂點為D,求△DBC的面積; (4)在拋物線上是否還存在點P(點B除外),使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由. 【考點】二次函數(shù)綜合題. 【分析】(1)先根據(jù)勾股定理求出OA的長,即可得出點A的坐標,再求出OE、BE的長即可求出B的坐標; (2)把點B的坐標代入拋物線的解析式,求出a的值,即可求出拋物線的解析式; (3)先求出點D的坐標,再用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,然后求出CF的長,再根據(jù)S△DBC=S△CEB+S△CED進行計算即可; (4)假設存在點P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形: ①若以點C為直角頂點;則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,過點P1作P1M⊥x軸,由全等三角形的判定定理可得△MP1C≌△FBC,再由全等三角形的對應邊相等可得出點P1點的坐標; ②若以點A為直角頂點;則過點A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,過點P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO,由全等三角形的性質(zhì)可得出點P2的坐標;點P1、P2的坐標代入拋物線的解析式進行檢驗即可. ③以點P為直角頂點,求出點P的坐標,再判斷點P不在拋物線上. 【解答】解:(1)∵C(﹣1,0),AC=, ∴OA===2, ∴A(0,2); 過點B作BF⊥x軸,垂足為F, ∵∠ACO+∠CAO=90,∠ACO+∠BCF=90,∠BCF+∠FBC=90, 在△AOC與△CFB中, ∵, ∴△AOC≌△CFB, ∴CF=OA=2,BF=OC=1, ∴OF=3, ∴B的坐標為(﹣3,1), 故答案為:(0,2),(﹣3,1); (2)∵把B(﹣3,1)代入y=ax2+ax﹣2得: 1=9a﹣3a﹣2, 解得a=, ∴拋物線解析式為:y=x2+x﹣2. 故答案為:y=x2+x﹣2; (3)由(2)中拋物線的解析式可知,拋物線的頂點D(﹣,﹣), 設直線BD的關系式為y=kx+b,將點B、D的坐標代入得: , 解得. ∴BD的關系式為y=﹣x﹣. 設直線BD和x 軸交點為E,則點E(﹣,0),CE=. ∴S△DBC=(1+)=; (4)假設存在點P,使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形: ①若以點C為直角頂點; 則延長BC至點P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1, 過點P1作P1M⊥x軸, ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCF,∠P1MC=∠BFC=90, ∴△MP1C≌△FBC. ∴CM=CF=2,P1M=BF=1, ∴P1(1,﹣1); ②若以點A為直角頂點; i)則過點A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2, 過點P2作P2N⊥y軸,同理可證△AP2N≌△CAO, ∴NP2=OA=2,AN=OC=1, ∴P2(2,1), ii)若以點P為直角頂點. 過P3作P3G⊥y軸于G, 同理,△AGP3≌△CAO, ∴GP3=OA=2,AG=OC=1, ∴P3為(﹣2,3). 經(jīng)檢驗,點P1(1,﹣1)與點P2(2,1)都在拋物線y=x2+x﹣2上,點P3(﹣2,3)不在拋物線上. 故點P的坐標為P1(1,﹣1)與P2(2,1).- 配套講稿:
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