高三數(shù)學(xué)12月月考試題 (2)
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江蘇省泰州市第二中學(xué)2017屆高三數(shù)學(xué)12月月考試題 一、填空題： 每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上． 1．若函數(shù)的最小正周期是，則 ． 2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是 ． 3．已知平面向量，，且，則實(shí)數(shù) 4．.已知集合,若,則實(shí)數(shù)= . 開(kāi)始 結(jié)束 是 否 輸出 （第5題） 5．右圖是某程序的流程圖，則其輸出結(jié)果為 ． 6．給出下列四個(gè)命題： （1）如果平面與平面相交，那么平面內(nèi)所有的直線都與平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 （3）如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與平面也不垂直 （4）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 真命題的序號(hào)是 ．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)） 7設(shè)直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為2， 則a＝________. 8．已知二次函數(shù)的值域是，則的最小值是 ． 9．設(shè)函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 10．若動(dòng)點(diǎn)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是 ． 11．在中，邊上的中線，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最小值是 ． 12．設(shè)是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，若存在，使，則稱是的一個(gè)“次不動(dòng)點(diǎn)”，也稱在區(qū)間上存在次不動(dòng)點(diǎn)．若函數(shù)在區(qū)間上存在次不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 13．已知函數(shù)，給定條件：，條件：，若是的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的等差數(shù)列及任意的正整數(shù)都有不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為 二、解答題： 15．（本小題滿分14分） 已知△中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為，且． （1）求角的大?。? 20070316 （2）設(shè)向量，，求當(dāng)取最大值時(shí)，的值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，，，． （1）求證：是二面角的平面角； A B C D D1 C1 B1 A1 （2）在A1B1上是否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論． 17．（本小題滿分14分） 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過(guò)細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A1，A2，A3。點(diǎn)C為上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A1，A2，A3，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA1，CA2，CA3的長(zhǎng)度相等。設(shè)細(xì)繩的總長(zhǎng)為 （1）設(shè)∠CA1O = (rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式； （2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，細(xì)繩總長(zhǎng)y最小，并指明此時(shí) BC應(yīng)為多長(zhǎng)。 B A1 A2 C O A3 18．（本小題滿分16分） 如圖，已知：橢圓M的中心為O，長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5． （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）已知圓O：=1，直線=1，試證明：當(dāng)點(diǎn)P(m，n)在橢圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長(zhǎng)的取值范圍． x O F AF1 B C y 19．（本小題滿分16分） 已知 (1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式； (2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)P(1,1)的切線方程； (3)對(duì)一切的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 20．（本小題滿分16分） 各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，=16，單調(diào)增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（）． （Ⅰ）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并說(shuō)明理由． (Ⅲ) 證明中任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列． 試題答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分． 1．【解析】本題主要考查三角函數(shù)的周期性． 【答案】2 2．【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算． 【答案】 3．【解析】本題主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】3 5．【解析】本題主要考查流程圖． 【答案】 6．【解析】本題主要考查立體幾何中的平行與垂直關(guān)系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】 【答案】0 8．【解析】本題主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)． O 1 - 1 - 4 2 x y 【答案】 10．【解析】本題主要考查線性規(guī)劃． 【答案】 解答如下： 畫(huà)出可行域（如圖所示陰影部分），而，其中表示與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，故 11．【解析】本題主要考查平面向量的概念與數(shù)量積． 【答案】 解答如下： 因?yàn)榍遥渣c(diǎn)P在線段上，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取最小值 12．【解析】本題主要考查函數(shù)的概念和最值． 【答案】 解答如下： 由題意，存在，使．當(dāng)時(shí)，使；當(dāng)時(shí)，解得．設(shè)，則由，得或（舍去），且在上遞增，在上遞減．因此當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是． 13 【答案】 解答如下： 可以求得通項(xiàng)，所以且，從而，解得，于是，故 14．【解析】 【答案】 解答如下： 由題可知?jiǎng)又本€過(guò)定點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)，由可求得點(diǎn)的軌跡方程為圓，故線段長(zhǎng)度的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分． 15．本題主要考查平面向量的數(shù)量積、邊角關(guān)系的互化，考查運(yùn)算求解能力． 解：（1）由題意， …………………………………… 2分 所以. …………………………………… 3分 因?yàn)?，所? 所以. ………………………………………………………………………………… 5分 因?yàn)椋? ………………………………………………………………… 6分 （2）因?yàn)? …………………………………………………………… 8分 所以……………………………… 10分 所以當(dāng)時(shí)，取最大值 此時(shí)（），于是 …………………………………………… 12分 所以 …………………………………………………………… 14分 16．本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力． 證明：（1） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．…………………… 2分 又∠BAD＝∠ADC＝90，， ∴，∴BC⊥AC．…………………………………………… 5分 ∴平面，∴ 是二面角的平面角．………………………………………… 7分 （2）存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn)．………………………………………………………… 8分 由P為A1B1的中點(diǎn)，有PB1‖AB，且PB1＝AB． 又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1， ∴DC PB1為平行四邊形，從而CB1∥DP． ……………………………………… 11分 又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1． …………………………… 12分 同理，DP‖面BCB1． ………………………………………………………………… 14分 17．（Ⅰ）解：在△COA1中， B A1 A2 C O A3 ，， ………2分 = （）……7分 （Ⅱ）， 令，則 ………………10分 當(dāng)時(shí)，；時(shí)，， ∵在上是增函數(shù) ∴當(dāng)角滿足時(shí)，y最小，最小為；此時(shí)BCm …14分 18．Ⅰ）由題意設(shè)橢圓方程為，半焦距為c， 由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由題意CF⊥AB，設(shè) 點(diǎn)C坐標(biāo)（c，y），C在M上，代入得 ∴． 由△ABC的面積為5，得，=5.（2） 解（1）（2）得a=3， c=2. ∴=9—4=5．∴所求橢圓M的方程為：． (Ⅱ) 圓O到直線=1距離d=，由點(diǎn)P(m,n)在橢圓M上，則，顯然，∴1，>1, ∴d =<1， 而圓O的半徑為1，直線l與圓O恒相交． 弦長(zhǎng)t=2=2,由得， ∴, t=2, ，∴，，∴ ，弦長(zhǎng)t的取值范圍是[]． 19．(1) 由題意的解集是即的兩根分別是 將或代入方程得， ∴ ……………4分 (2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是.有 將代入上式整理得 得或. 函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)P(1,1)的切線方程為或. ……………10分 (3)由題意： 在上恒成立 即可得 設(shè),則 令,得 (舍)，當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí), ∴當(dāng)時(shí),取得最大值, =-2， .∴，即的取值范圍是. ……………16分 20．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2， ∴ ∴b3=＝8. ∵+2?、? 當(dāng)n≥2時(shí)，+2 ② ①-②得即 ∵ ∴=3，∴是公差為3的等差數(shù)列． 當(dāng)n＝1時(shí)，+2，解得=1或=2， 當(dāng)=1時(shí)，，此時(shí)=7，與矛盾；當(dāng)時(shí)，此時(shí)此時(shí)=8=，∴． （Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面證明當(dāng)n≥5時(shí)， 事實(shí)上，當(dāng)n≥5時(shí)，＝＜0 即，∵<1 ∴當(dāng)n≥5時(shí)，， 故滿足條件的所有n的值為1，2，3，4． (Ⅲ)假設(shè)中存在三項(xiàng)p,q,r (p下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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