高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理

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成都龍泉中學(xué)高2014級高三上期12月月試題 數(shù) 學(xué)（理） （滿分：150分 時(shí)間：120分鐘） 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇），考生作答時(shí)，須將答案答答題卡上，在本試卷、草稿紙上答題無效。滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 第Ⅰ卷(選擇題，共60分) 注意事項(xiàng)： 1．必須使用2B鉛筆在答題卡上將所選答案對應(yīng)的標(biāo)號涂黑. 2．考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。 1、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．函數(shù)的定義域?yàn)? ） A． B． C． D． 2．已知雙曲線C：的一條漸近線過點(diǎn)（一1，2），則C的離心率為（ ） A． B． C、 D． 3．已知等差數(shù)列｛｝中，，且，則此等差數(shù)列的公差d＝（ ） A、－4 B、－3 C、－2 D、 4．已知且滿足約束條件，則的最小值為（ ） A、6 B、5 C、4 D、3 5．一個(gè)棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為正三角形，則四棱錐側(cè)面中最大側(cè)面的面積是（ ） A、1 B、 C、 D、 6．已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，則（ ） A、 B、 C、 D、 7．已知，則“”是“”的（ ） A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件 8．已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，則的值為（ ） A、－ B、－ C、 D、 9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入a＝1，則輸出的k＝（ ） A、8 B、9 C、10 D、11 10．已知三棱錐的頂點(diǎn)A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，，當(dāng)△與的面積之和最大時(shí)，三棱錐的體積為( ） A、 B、 C、 D、 11．已知圓C：，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則｜PC｜的最大值為（ ） A、 B、 C、2 D、2 12．已知函數(shù)，若與同時(shí)滿足條件：①；②，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A、（－，－1）（，2） B、（－，－1）（0，）（，2） C、（－，0）（，2） D、（－，0）（0，）（，2） 第Ⅱ卷 非選擇題（90分） 二、填空題（每小題5分，共20分） 13．已知復(fù)數(shù)則｜z｜＝ ． 14．若函數(shù)是奇函數(shù)，則a＝ ． 15．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，設(shè)集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，則集合M中元素的個(gè)數(shù)為 ． 16．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意的x，y都有，且當(dāng)x＞0時(shí)，，若數(shù)列滿足，且（），則 ． 三、解答題（本題包括6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 17．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，A＝，． （1）求B，C的值； （2）求的面積． 18．（本小題滿分12分）如圖，多面體ABCDEF中，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直線BE與平面ABCD所成的角的正切值等于 （1）求證：平面BCE⊥平面BDE； （2）求平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值． 19．（本小題滿分12分）為了了解中學(xué)生的體能狀況，某校抽取了n名高一學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖），圖中第二小組頻數(shù)為14． （1）求頻率分布直方圖中a的值及抽取的學(xué)生人數(shù)n； （2）現(xiàn)從跳繩次數(shù)在179．5，199．5］內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記3人中跳繩次數(shù)在189．5，199．5］內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 20．（本小題滿分12分）已知拋物線：與橢圓： 的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且 （1）求p，t，m的值； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C2上是否存在點(diǎn)A（不考慮點(diǎn)A為的頂點(diǎn)），使得過點(diǎn)O作線段OA的垂線與拋物線交于點(diǎn)B，直線AB交y軸于點(diǎn)E,滿足∠OAE＝∠EOB?若存在，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，． （1）若為曲線的一條切線，求a的值； （2）已知，若存在唯一的整數(shù)使得，求a的取值范圍． 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（本小題滿分10分）【選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 已知在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線：（為參數(shù)），在以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)）為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標(biāo)系中，曲線：． （1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）曲線上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到曲線的距離相等，分別求這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)． 23．（本小題滿分一10分）【選修4一5：不等式選講】 已知 （1）求不等式的解集； （2）設(shè)m，n，p為正實(shí)數(shù)，且，求證：． 成都龍泉中學(xué)高2014級高三上期12月月試題 數(shù) 學(xué)（理）參考答案 一、選擇題（每小題5分，共60分） 1.答案：D 試題分析：由題意得，即，所以或，故選D． 2.答案：A 試題分析：∵點(diǎn)在直線上，∴，，故選A． 3.答案：C 試題分析：是等差數(shù)列， ，由 且得， ，故選C． 4.答案：A 試題分析：如圖1所示畫出可行域，注意到x，，在點(diǎn)處取得最優(yōu)解，所以，故選A． 5.答案：D 試題分析：由三視圖可得四棱錐的直觀圖，如圖2所示，底面是邊長為1的正方形，為邊長為1的等邊三角形，，且底面平面PAD，，底面平面， 平面PAD，，是等腰直角三角形， ，同理，∵在等腰中，，，最大，故選D． 6.答案：B 試題分析：如圖所示，由題意得，，所以，故選B． 7.答案：C 試題分析：由得，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，“”是“”的充要條件，故選C． 考點(diǎn)：充分必要條件、函數(shù)的單調(diào)性． 8.答案：A 試題分析：，將的圖象向右平移個(gè)單位后得到 的圖象， ， ，，∴當(dāng)時(shí)，，故選A． 9.答案：C 試題分析：依據(jù)程序框圖，得，，，，又，，，故選C． 10.答案：B 試題分析：設(shè)球O的半徑為R，，∴當(dāng) 時(shí)， 取得最大值，此時(shí)，，平面AOB， ，故選B． 11.答案：C 試題分析：方法一：如圖，連接AC，BC，設(shè)，連接PC與AB交于點(diǎn)D，，是等邊三角形，∴D是AB的中點(diǎn)，，∴在圓C：中，圓C的半徑為， ，，∴在等邊中，， ，故選C． 方法二：設(shè)， 則，記，令 ，得， ，故選C． 12.答案：B 試題分析：如圖，由的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，為滿足條件①，可得 在上恒成立；為滿足條件②，由于在上總有，故，；當(dāng) 時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，考慮函數(shù)的零點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，， 為滿足條件，得解得；當(dāng)時(shí)，（?。┊?dāng)時(shí)，，為滿足條件，得 解得，；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，為滿足條件，得解得 ，；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，不滿足條件．綜上所述，得 ，故選B． 二、填空題（每小題5分，共20分） 13.答案： 試題分析：由題意得，所以． 14.答案：3 試題分析：的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)， ，，經(jīng)驗(yàn)證，為奇函數(shù)． 15.答案：59 試題分析：由題意知，，B中有個(gè)元素，當(dāng)時(shí)，B中的元素都在M中；當(dāng)時(shí)，M中元素各增加7個(gè)；當(dāng)時(shí)，M中元素各增加5個(gè)，所以M中元素共有個(gè)． 16.答案：1009 試題分析：任取且，，，，又由題意，得 ，在R上是減函數(shù)． ，，， ，又在R上是減函數(shù)，，即， ． 三、解答題（本題包括6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程） 17.答案：（1）；（2）． 試題分析：本題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦公式、三角形面積公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，先將已知表達(dá)式的1轉(zhuǎn)化為a，再利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，再利用兩角和的正弦公式將式子展開，代入A＝，再利用兩角和與差的正弦公式化簡出，結(jié)合角B和C的范圍，得出，代入三角形內(nèi)角和中得出A、B、C的值；第二問，已知條件中有a邊和C角，所以需求b邊，利用正弦定理轉(zhuǎn)化b邊，代入中，利用誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡求值． 試題解析：（1）， ， ， ， 又． 又，． （2）由，得， ． 18.答案：（1）證明詳見解析；（2）． 試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力．第一問，由面面垂直的性質(zhì)可知平面ABCD，再由線面垂直的性質(zhì)可知，從而可判斷為BE與平面ABCD所成的角，設(shè)出，用勾股定理先計(jì)算出BD的值，在中，求的值，解方程求出a的值，由勾股定理證明，利用線面垂直的判定得平面BDE，最后利用面面垂直的判定得到結(jié)論；第二問，利用DA，DC，DE兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出有關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)，先求出平面CDE與平面BDF的法向量，再利用夾角公式求平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值． 試題解析：（1）證明：∵平面平面ABCD， 平面平面， ，，∴平面ABCD， 又平面ABCD，． 平面ABCD，為BE與平面ABCD所成的角， 設(shè)，則， 在中，，， 在直角梯形ABCD中，， 在中，， ，， 又，平面BDE， 又，∴平面平面． （2）解：由題知，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則， 取平面CDE的一個(gè)法向量， 設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量， 則即 令，則， 所以． 設(shè)平面BDF與平面CDE所成銳二面角的大小為， 則， 所以平面BDF與平面CDE所成銳二面角的余弦值是． 19.答案：（1），；（2）分布列詳見解析，． 試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，由所有頻率之和為1，得出a的值，再利用頻數(shù)樣本容量=頻率，計(jì)算樣本容量n的值；第二問，先利用第一問的樣本容量求出和內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，利用概率公式計(jì)算出每種情況的概率，列出分布列，最后利用計(jì)算數(shù)學(xué)期望． 試題解析：（Ⅰ）由直方圖知，， ， 所以抽取的學(xué)生人數(shù)為(人）． （Ⅱ）跳繩次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)有(人）， 其中跳繩次數(shù)在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)有(人）． 由題意，X的取值可為． ，， ，． 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為． 20.答案：（1）；（2）點(diǎn)，． 試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，利用拋物線的定義，得，解出p的值，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，將P點(diǎn)代入方程中，即可解出t的值；第二問，先通知已知分析直線OA的斜率是否存在，若存在，設(shè)出直線OA、OB的方程，分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，解出x，根據(jù)橢圓及拋物線的對稱性，分別討論點(diǎn)A在第一、二象限的情形，當(dāng)A點(diǎn)在第一象限時(shí)，結(jié)合圖象分析出D是線段AB的中點(diǎn)，列出等式，解出K的值，當(dāng)點(diǎn)A在第二象限時(shí)，結(jié)合圖象分析出，列出等式，解出k的值，即得到A點(diǎn)坐標(biāo)． 試題解析：（1）由拋物線的定義，得， ，； 將點(diǎn)代入：，得，； 將點(diǎn)代入：， 得，，． （2）由題意，直線OA的斜率存在且不為0， 設(shè)直線OA的方程為，， 則直線OB的方程為． 由 得，； 由 得，（舍去）或． 若滿足的點(diǎn)A存在，根據(jù)橢圓及拋物線的對稱性，現(xiàn)考慮點(diǎn)A在第一、第二象限的情形． （?。┊?dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，，如圖7所示， 此時(shí)點(diǎn)，， 且， 設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)D． ，， ，， ，即點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，，即， ，，． （ⅱ）當(dāng)點(diǎn)A在第二象限時(shí)，，如圖8所示， 此時(shí)點(diǎn)，． ，， ， 即，， 即，，，． 綜合（?。ⅲáⅲ┘皺E圓和拋物線的對稱性，得點(diǎn)，． 21.答案：（1）；（2）． 試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，對求導(dǎo)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由縱坐標(biāo)為，斜率為，列出方程，解出的值，從而得到a的值；第二問，構(gòu)造函數(shù)，先證明存在唯一的整數(shù)使得，再求a的取值范圍，對求導(dǎo)，通過和，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由于，且，則存在唯一的整數(shù)使得，再對a進(jìn)行討論，得出結(jié)論． 試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，， 設(shè)切點(diǎn)，則切線的斜率， ∴切線為：， 恒過點(diǎn)，斜率為a，且為的一條切線， ， ，． （2）令，， ， 當(dāng)時(shí)，，，， 又，，， ，又， 則存在唯一的整數(shù)使得，即； 當(dāng)時(shí)，為滿足題意，上不存在整數(shù)使， 即上不存在整數(shù)使， ，， ①當(dāng)時(shí)，， ， ∴當(dāng)時(shí)，， ，； ②當(dāng)時(shí)，，不符合題意． 綜上所述，． 解法2： 令得， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， ∴在上遞減，在上遞增， ． 令，則函數(shù)存在唯一零點(diǎn)， 作出函數(shù)與的大致圖象，如圖9所示． 由題意，存在唯一的整數(shù)使得， 結(jié)合圖象得 即 ． （解法2為數(shù)形結(jié)合的方法，作為解答題的解法不甚嚴(yán)密，評卷時(shí)酌情給分．） 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)的零點(diǎn)． 22.答案：（1），；（2），，． 試題分析：本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離、兩直線間的距離等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，先將曲線的方程平方，利用平方關(guān)系，消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，將曲線的方程利用兩角和的正弦公式展開，再利用，代換，得到曲線的直角坐標(biāo)方程；第二問，結(jié)合第一問知，曲線為圓，曲線為直線，畫出圖形，通過圖形分析得這三個(gè)點(diǎn)分別在平行于直線的兩條直線，上，通過直線的位置得到直線和直線的方程，再與圓的方程聯(lián)立，得到三個(gè)點(diǎn)E、F、G的坐標(biāo)． 試題解析：（1）由題意，得 ∴曲線的普通方程為． ∵曲線：， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為． （2）∵曲線為圓，圓心，半徑為，曲線為直線， ∴圓心C1到直線的距離， ∵圓上恰好存在三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離相等， ∴這三個(gè)點(diǎn)分別在平行于直線的兩條直線，上， 如圖所示， 設(shè)與圓相交于點(diǎn)E，F(xiàn)， 設(shè)與圓相切于點(diǎn)G， ∴直線，分別與直線的距離為， ∴：， ：． 由得或 即，； 由得即， ∴E，F(xiàn)，G這三個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，，． 23.答案：（1）；（2）證明詳見解析． 試題分析：本題主要考查絕對值不等式的解法、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力．第一問，利用零點(diǎn)分段法去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為不等式組，解出x的范圍；第二問，由，所以，平方得（），利用均值不等式得、、，相加得：，代入（）中得到結(jié)論． 試題解析：（1）解：不等式等價(jià)于不等式組 或或 解不等式組，得或或， 所以不等式的解集為． （2）證明：， ， ∵m，n，p為正實(shí)數(shù)， ∴由均值不等式，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）， ， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）． - 21 -