高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理3 (3)

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廣東省普寧市第一中學(xué)2017屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卷上。 2.用2B鉛筆將選擇題答案在答題卷對應(yīng)位置涂黑；答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4.考生必須保持答題卷的整潔。 第Ⅰ卷 （選擇題 共60分） 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求的. 1．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（ ） A．1 B． C.． D． 2．設(shè)非空集合滿足，則（ ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 3．已知，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則的面積等于（ ） A．1 B． C．2 D． 4．一種放射性元素的質(zhì)量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期（剩留量為最初質(zhì)量的一半所需的時(shí)間叫做半衰期）是（ ）年（精確到0.1，已知）． A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3 5．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ） A． B． C． D．或 6．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 7．幾何體的俯視圖為一邊長為2的正三角形，則該幾何體的各個(gè)面中，面積最大的面的面積為（ ） A． B．2 C． D．3 8．已知變量滿足，若目標(biāo)函數(shù)取到最大值，則的展開式中的系數(shù)為（ ） A．-144 B．-120 C．-80 D．-60 9．橢圓的左焦點(diǎn)為為上頂點(diǎn)，為長軸上任意一點(diǎn)，且在原點(diǎn)的右側(cè)，若的外接圓圓心為，且，橢圓離心率的范圍為（ ） A． B． C． D． 10．在直角坐標(biāo)系中, 設(shè)是曲線上任意一點(diǎn), 是曲線在點(diǎn)處的切線, 且交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn), 則以下結(jié)論正確的是（ ） A．的面積為定值 B．的面積有最小值為 C．的面積有最大值為 D．的面積的取值范圍是 11．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù), 對任意,都有,且當(dāng)時(shí),, 若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 12．已知定義在上的函數(shù)和分別滿足，，則下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非選擇題 共90分） 二、填空題：本題共4小題，每小題5分 13．設(shè)a>0,b>0.若a+b=1,則的最小值是 . 14．在的展開式中，的系數(shù)為_________（用數(shù)字作答）． 15.在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,E為BC的中點(diǎn)，若F為該矩形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則的最大值為_______ 16.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+1-an=sin,記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2 017=　　　　. 三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 17.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=cos x(sin x+cos x)-. (1)若0<α<,且sin α=,求f(α)的值; (2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令，為的前項(xiàng)和，求證：…… 19.（本小題滿分12分）如圖，已知是邊上一點(diǎn). （1）若，且，求的面積； （2）當(dāng)時(shí)，若，且，求的長. 20．(本小題滿分12分） 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1=,D是AA1的中點(diǎn),BD與AB1交于點(diǎn)O,且CO⊥平面ABB1A1. (1)證明BC⊥AB1; (2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值. 21. （本小題滿分12分）已知a是實(shí)常數(shù),函數(shù)f(x)=xln x+ax2. (1)若曲線y=f(x)在x=1處的切線過點(diǎn)A(0,-2),求實(shí)數(shù)a的值; (2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2(x1f(x1)>-. 22. （本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，，的極坐標(biāo)分別為，． （Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)為曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值． 普寧一中高三級理科數(shù)學(xué)參考答案 1-5DBBBB 6-10 BDBAA 11-12 BD 13. 4 14. 120 15.18 16. 1009 17 .（本小題滿分12分） （1）解:(方法一)(1)因?yàn)?<α<,sin α=,所以cos α=.---------------2分 所以f(α)=.-------------------------------------------5分 (2)因?yàn)閒(x)=sin xcos x+cos2x- =sin 2x+---------------------------------------6分 =sin 2x+cos 2x=sin,----------------------7分 所以T==π.-----------------------------------------------9分 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.------------------------------------ -------11分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.-------------12分 （其它解法酌情給分） 18（本小題滿分12分） 解析：（Ⅰ）由，令，可得：； ---------------2分 當(dāng)時(shí)，可得-----4分 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 故：=----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ），=----------------8分 --------11分 ==---------------------12分 19. （本小題滿分12分）過A點(diǎn)作AE求得AE=則---------------------------------6分 （2）--9分 在-------------------------------------12分 （其它解法酌情給分） 20. （本小題滿分12分） 解:(1)證明:由題意,因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1是矩形, D為AA1中點(diǎn),AB=1,AA1=,AD=,所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B=, 在直角三角形ABD中,tan∠ABD=,所以∠AB1B=∠ABD. 又∠BAB1+∠AB1B=90,∠BAB1+∠ABD=90, 所以在三角形ABO中,∠BOA=90,即BD⊥AB1.-------------------------------4分 又因?yàn)镃O⊥平面ABB1A1,AB1?平面ABB1A1, 所以CO⊥AB1.所以AB1⊥面BCD, 因?yàn)锽C?面BCD,所以BC⊥AB1. -------------------------6分 (2)如圖,分別以O(shè)D,OB1,OC所在的直線為x,y,z軸,以O(shè)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則A,B,C,B1,D,----------------------------7分 又因?yàn)?2,所以C1. 所以. 設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z), 則根據(jù)可得n=(1,,-)是平面ABC的一個(gè)法向量,----------10分 設(shè)直線CD與平面ABC所成角為α,則sin α=, 所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為.-----------------------------------12分 21（本小題滿分12分） (1)解:由已知可得,f(x)=ln x+1+2ax(x>0),切點(diǎn)P(1,a),---------------1分 f(x)在x=1處的切線斜率為k=1+2a, 切線方程:y-a=(2a+1)(x-1),---------------------------------------3分 把(0,-2)代入得a=1.---------------------------------------------4分 (2)證明:①依題意:f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(x10). 當(dāng)a≥0時(shí),有g(shù)(x)>0,所以g(x)是增函數(shù),不符合題意;---------5分 當(dāng)a<0時(shí),g(x) =0,得x=->0, 依題意:g=ln>0,解得-f(x1). 又f(1)=g(1)=1+2a>0,故x1∈(0,1), 由(1)知:ax1=,f(x1)=x1ln x1+a(x1ln x1-x1)(0h(1)=-,也就是f(x1)>-. 綜上所證:f(x2)>f(x1)>-成立.-------------------------------------12分 22．（本小題滿分10分） 解析：（Ⅰ） 將、化為直角坐標(biāo)為、， 即、的直角坐標(biāo)分別為、,------2分 ，∴直線的方程為， 即為.----------------------------------5分 （Ⅱ）設(shè)，它到直線距離 =，（其中） ---------------------8分 ∴---------------------------------------10分