高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 文2 (2)

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北京臨川育人學(xué)校2016—2017學(xué)年上學(xué)期期末考試高三文科數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，則A∩B=（　?。? A．{0} B．{0，1} C．{0，3} D．{0，1，3} 2．已知z=（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（　?。? A．﹣1 B．l C．i D．﹣i 3．設(shè)命題p：?x＞0，x＞lnx．則￢p為（　?。? A．?x＞0，x≤lnx B．?x＞0，x＜lnx C．?x0＞0，x0＞lnx0 D．?x0＞0，x0≤lnx0 4．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，則向量和的夾角是（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的為某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（　?。? A． B．1 C． D．2 6．已知2sin2α=1+cos2α，則tan（α+）的值為（　?。? A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3 7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的c的值為（　?。? A．6 B．8 C．13 D．21 8．同步通訊衛(wèi)星B定位于地球赤道上一點(diǎn)C的上空，且與地面的距離等于地球的半徑，點(diǎn)C與地球上某點(diǎn)A在同一條子午線上，若A點(diǎn)的緯度60，則從A點(diǎn)看B點(diǎn)的結(jié)果是（　?。? A．在地平線上 B．仰角為30 C．仰角為45 D．仰角為60 9．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），則f（x）的最大值為（　?。? A．1 B． C．2 D．2 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若Sn+1，Sn+2，Sn+3成等差數(shù)列，且a2=﹣2，則a7=（　?。? A．16 B．32 C．64 D．128 11．設(shè)雙曲線=1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若PF1與雙曲線的一條漸近線平行，則?=（　?。? A． B． C． D． 12．已知f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，滿足f′（x）=f（x），且f（0）=2，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一個(gè)零點(diǎn)為x0，則以下正確的是（　?。? A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，2） C．x0∈（2，3） D．x0∈（3，4） 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分 13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若x﹣y的最大值為6，則實(shí)數(shù)m=　　　　　?。? 14．曲線f（x）=x3+x在（1，f（1））處的切線方程為　　　　　?。? 15．已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，滿足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若對于每一個(gè)正整數(shù)n，均有an=a1+logabn，則常數(shù)a=　　　　　?。? 16．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線y2=x上，邊AC的中線BM∥x軸，|BM|=2，則△ABC的面積為　　　　　?。? 　 三、解答題：第17-21題每題12分，解答贏下答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB （1）求cosA （2）若a=3，求△ABC的面積的最大值． 18．如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是AA1和CC1的中點(diǎn)，且BE⊥B1F． （Ⅰ）求證B1F⊥平面BEC1； （Ⅱ）求三棱錐B1﹣BEC1的體積． 19．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的原始記錄如下： 甲運(yùn)動(dòng)員得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10 乙運(yùn)動(dòng)員得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36 （Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩名運(yùn)動(dòng)員成績的平均值及穩(wěn)定程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可） （Ⅱ）若從甲運(yùn)動(dòng)員的9次比賽的得分中選2個(gè)得分，求兩個(gè)得分都超過25分的概率． 20．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2+y2=4上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0y0＞0）處的切線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，以A，B為頂點(diǎn)且以O(shè)為中心的橢圓記作C，直線OP交C于M，N兩點(diǎn)． （Ⅰ）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），求橢圓C的離心率； （Ⅱ）證明|MN|＜4． 21．已知函數(shù)f（x）=+elnx﹣ax在x=1處取的極值． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）求證：f（x）≥0． 　 請考生在第23、24題中任選一題作答，并將所選的題號下的“○”涂黑，如果多做，則按所做的第一題記分，滿分10分.[選修4-1：幾何證明選講] 　[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線，（t為參數(shù)）與拋物線y2=2px（p＞0）相交于橫坐標(biāo)分別為x1，x2的A，B兩點(diǎn) （1）求證：x02=x1x2； （2）若OA⊥OB，求x0的值． 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知a，b∈R+，設(shè)x=，y=，求證： （1）xy≥ab； （2）x+y≤a+b． 　 北京臨川育人學(xué)校2016—2017學(xué)年上學(xué)期期末考試高三文科數(shù)學(xué)答案 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，則A∩B=（　?。? A．{0} B．{0，1} C．{0，3} D．{0，1，3} 【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算． 【分析】求出B中方程的解確定出B，找出A與B的交集即可． 【解答】解：由B中方程變形得：x（x﹣3）=0， 解得：x=0或x=3，即B={0，3}， ∵A={0，1，3}， ∴A∩B={0，3}， 故選：C． 　 2．已知z=（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=（　?。? A．﹣1 B．l C．i D．﹣i 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案． 【解答】解：z==． 故選：C． 　 3．設(shè)命題p：?x＞0，x＞lnx．則￢p為（　?。? A．?x＞0，x≤lnx B．?x＞0，x＜lnx C．?x0＞0，x0＞lnx0 D．?x0＞0，x0≤lnx0 【考點(diǎn)】命題的否定． 【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷． 【解答】解；∵命題是全稱命題的否定，是特稱命題，只否定結(jié)論． ∴￢p：x0≤lnx0 故選：D． 　 4．已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，則向量和的夾角是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角． 【分析】利用向量垂直的數(shù)量積為0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的數(shù)量積公式將方程用模與夾角表示求出夾角． 【解答】解：設(shè)兩個(gè)向量的夾角為θ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∵θ∈[0，π] ∴ 故選A 　 5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的為某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（　?。? A． B．1 C． D．2 【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積． 【分析】依三視圖知該幾何體為三棱錐，畫出直觀圖、判斷出位置關(guān)系和求出長度，利用椎體的體積公式求出答案． 【解答】解：依三視圖知該幾何體為三棱錐P﹣ABC， 且PD⊥平面ABD，AD⊥BD，C是AD的中點(diǎn)，PD=AD=BD=2， 所以其體積， 故選：A． 　 6．已知2sin2α=1+cos2α，則tan（α+）的值為（　?。? A．﹣3 B．3 C．﹣3或3 D．﹣1或3 【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)． 【分析】由倍角公式求得sinα與cosα的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合正弦、余弦以及正切函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α， ∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1， 即2sinαcosα=cos2α， ①當(dāng)cosα=0時(shí)，，此時(shí)， ②當(dāng)cosα≠0時(shí)，，此時(shí)， 綜上所述，tan（α+）的值為﹣1或3． 故選：D． 　 7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的c的值為（　?。? A．6 B．8 C．13 D．21 【考點(diǎn)】程序框圖． 【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的c，a，b，k的值，當(dāng)k=6時(shí)不滿足條件k＜6，退出循環(huán)，輸出c的值即可得解． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得 a=1，b=1，k=0 k=1， 滿足條件k＜6，執(zhí)行循環(huán)體，c=2，a=1，b=2，k=2 滿足條件k＜6，執(zhí)行循環(huán)體，c=3，a=2，b=3，k=3 滿足條件k＜6，執(zhí)行循環(huán)體，c=5，a=3，b=5，k=4 滿足條件k＜6，執(zhí)行循環(huán)體，c=8，a=5，b=8，k=5 滿足條件k＜6，執(zhí)行循環(huán)體，c=13，a=8，b=13，k=6 不滿足條件k＜6，退出循環(huán)，輸出c的值為13． 故選：C． 　 8．同步通訊衛(wèi)星B定位于地球赤道上一點(diǎn)C的上空，且與地面的距離等于地球的半徑，點(diǎn)C與地球上某點(diǎn)A在同一條子午線上，若A點(diǎn)的緯度60，則從A點(diǎn)看B點(diǎn)的結(jié)果是（　　） A．在地平線上 B．仰角為30 C．仰角為45 D．仰角為60 【考點(diǎn)】球面距離及相關(guān)計(jì)算． 【分析】在三角形ABC中利用余弦定理求出AC值，再利用勾股定理得出BA⊥AC，即可得出結(jié)論． 【解答】解：在△ABC中，∠B=60，AB=R，BC=2R， 由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcos60=R2+（2R）2﹣2R?2R=3R2， ∴AC=R， ∴BC2=AB2+AC2， 則BA⊥AC， ∴從A點(diǎn)看B點(diǎn)的結(jié)果是在地平線上． 故選：A． 　 9．已知f（x）=asinx+cosx，若f（+x）=f（﹣x），則f（x）的最大值為（　　） A．1 B． C．2 D．2 【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用． 【分析】由題意得f（x）的對稱軸為，及f（x）=sin（x+α），由此得到f（x）的最值的關(guān)系式，得到a=1，由此得到f（x）的最大值． 【解答】選B．解：由題意得f（x）的對稱軸為， f（x）=asinx+cosx=sin（x+α） 當(dāng)時(shí)，f（x）取得最值 即，得a=1， ∴f（x）的最大值為． 故選B． 　 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若Sn+1，Sn+2，Sn+3成等差數(shù)列，且a2=﹣2，則a7=（　　） A．16 B．32 C．64 D．128 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和． 【分析】由題意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2=﹣2an+1，從而得到{an}從第二項(xiàng)起是公比為﹣2的等比數(shù)列，由此能求出結(jié)果． 【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列，且a2=﹣2， ∴由題意得Sn+2+Sn+1=2Sn，得an+2+an+1+an+1=0，即an+2=﹣2an+1， ∴{an}從第二項(xiàng)起是公比為﹣2的等比數(shù)列， ∴a7=a2q5=64． 故選：C． 　 11．設(shè)雙曲線=1的兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上的一點(diǎn)，若PF1與雙曲線的一條漸近線平行，則?=（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】求得雙曲線的a，b，c，可得兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)和漸近線方程，可設(shè)PF1與直線平行，求得平行線的方程代入雙曲線的方程，求得P的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到所求值． 【解答】解：由雙曲線=1的a=，b=1，c=2， 得F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0）， 漸近線為， 由對稱性，不妨設(shè)PF1與直線平行， 可得， 由得， 即有，， ?=﹣+（﹣）2=﹣． 故選B． 　 12．已知f′（x）是函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，滿足f′（x）=f（x），且f（0）=2，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一個(gè)零點(diǎn)為x0，則以下正確的是（　?。? A．x0∈（0，1） B．x0∈（1，2） C．x0∈（2，3） D．x0∈（3，4） 【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理． 【分析】求出f（x）的表達(dá)式，得到g（x）的表達(dá)式，求出g（0）和g（1）的值，從而求出x0的范圍． 【解答】解：設(shè)f（x）=kex， 則f（x）滿足f′（x）=f（x）， 而f（0）=2，∴k=2， ∴f（x）=2ex， ∴g（x）=2ex﹣3x﹣3ln2， ∴g（0）=2﹣3ln2＜0，g（1）=2e﹣3﹣3ln2＞0， 即在（0，1）上存在零點(diǎn)， 故選：A． 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分 13．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若x﹣y的最大值為6，則實(shí)數(shù)m=　8　． 【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃． 【分析】依題意，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線x﹣y=6，結(jié)合圖形可知，要使直線x﹣y=6經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，其在x軸上的截距達(dá)到最大，直線x+y﹣m=0必經(jīng)過直線x﹣y=6與直線y=1的交點(diǎn)（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8． 【解答】解：由約束條件作出可行域如圖， 圖形可知，要使直線x﹣y=6經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，其在x軸上的截距達(dá)到最大， 直線x+y﹣m=0必經(jīng)過直線x﹣y=6與直線y=1的交點(diǎn)A（7，1），于是有7+1﹣m=0，即m=8． 故答案為：8． 　 14．曲線f（x）=x3+x在（1，f（1））處的切線方程為　4x﹣y﹣2=0?。? 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程． 【解答】解：f（x）=x3+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+1， 可得在（1，f（1））處的切線斜率為4，切點(diǎn)為（1，2）， 即切線的方程為y﹣2=4（x﹣1）， 即為4x﹣y﹣2=0． 故答案為：4x﹣y﹣2=0． 　 15．已知{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，滿足a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3，若對于每一個(gè)正整數(shù)n，均有an=a1+logabn，則常數(shù)a=　?。? 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意列式求得d，q的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求，代入an=a1+logabn，求解即可得到a值． 【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， ∵a1=3，b1=1，a2=b2，3a5=b3， ∴，解得d=6，q=9， ∴an=3+6（n﹣1）=6n﹣3，， 代入an=a1+logabn得， ， 即loga9=6， ∴． 故答案為：． 　 16．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線y2=x上，邊AC的中線BM∥x軸，|BM|=2，則△ABC的面積為　?。? 【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】作AH⊥BM交BM的延長線于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC的面積． 【解答】解：根據(jù)題意設(shè)A（a2，a），B（b2，b），C（c2，c），不妨設(shè)a＞c， ∵M(jìn)為邊AC的中點(diǎn)，∴，又BM∥x軸，則， 故， ∴（a﹣c）2=8，即， 作AH⊥BM交BM的延長線于H． 故． 故答案為：． 　 三、解答題：第17-21題每題12分，解答贏下答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3acosA=bcosC+ccosB （1）求cosA （2）若a=3，求△ABC的面積的最大值． 【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理． 【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊化角，利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡得出cosA； （2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面積公式求出面積最大值． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵3acosA=bcosC+ccosB， ∴3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，即3sinAcosA=sinA， 又A∈（0，π），∴sinA≠0， ∴． （2）∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即，∴b2+c2=9+bc≥2bc，∴． ∵sinA==， ∴△ABC的面積，（時(shí)取等號） ∴． 　 18．如圖，已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是AA1和CC1的中點(diǎn)，且BE⊥B1F． （Ⅰ）求證B1F⊥平面BEC1； （Ⅱ）求三棱錐B1﹣BEC1的體積． 【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定． 【分析】（I）分別取BC1，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)DE，AG，DG，則可證四邊形AGDE是平行四邊形，AG⊥平面BCC1B1，于是AG⊥B1F，從而DE⊥B1F，結(jié)合BE⊥B1F得出B1F⊥平面BEC1； （II）由B1F⊥平面BEC1得出B1F⊥BC1，從而Rt△B1C1F∽Rt△BB1C1，根據(jù)相似比求出BB1，于是V=V=S?AG． 【解答】證明：（Ⅰ）分別取BC1，BC中點(diǎn)D，G，連結(jié)DE，AG，DG， ∵D，G分別是BC1，BC的中點(diǎn)， ∴DGCC1，又AECC1， ∴四邊形AGDE是平行四邊形， ∴DE∥AG． ∵△ABC是等邊三角形，G是BC的中點(diǎn)， ∴AG⊥BC， ∵BB1⊥平面ABC，AG?平面ABC， ∴AG⊥BB1，又BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BB1∩BC=B， ∴AG⊥平面BCC1B1，∵B1F?平面BCC1B1， ∴AG⊥B1F，又∵DE∥AG． ∴DE⊥B1F，又B1F⊥BE，BE?平面BEC1，DE?平面BEC1，BE∩DE=E， ∴B1F⊥平面BEC1． （Ⅱ）∵B1F⊥平面BEC1．BC1?平面BEC1， ∴B1F⊥BC1，∴Rt△B1C1F∽Rt△BB1C1，∴， 設(shè)BB1=a，則C1F=，∴，解得a=2． ∵G是BC的中點(diǎn)，∴AG=． ∴V=V=S?AG==． 　 19．某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的原始記錄如下： 甲運(yùn)動(dòng)員得分：34，21，13，30，29，33，28，27，10 乙運(yùn)動(dòng)員得分：49，24，12，31，31，44，36，15，37，25，36 （Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩名運(yùn)動(dòng)員成績的平均值及穩(wěn)定程度；（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可） （Ⅱ）若從甲運(yùn)動(dòng)員的9次比賽的得分中選2個(gè)得分，求兩個(gè)得分都超過25分的概率． 【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；莖葉圖． 【分析】（Ⅰ）由某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場比賽得分的原始記錄能用出莖葉圖，由莖葉圖得，乙的平均值大于甲的平均數(shù)，甲比乙穩(wěn)定． （Ⅱ）從9次比賽的得分中選2個(gè)得分，利用列舉法能求出兩個(gè)得分都超過25分的概率． 【解答】 解：（Ⅰ）莖葉圖 由莖葉圖得，乙的平均值大于甲的平均數(shù)，甲比乙穩(wěn)定． … （Ⅱ）從9次比賽的得分中選2個(gè)得分，共有{34，21}，{34，13}，{34，30}，{34，29}，{34，33}， {34，28}，{34，27}，{34，10}，{21，13}，{21，30}，{21，29}，{21，33}，{21，28}，{21，27}， {21，10}，{13，30}，{13，29}，{13，33}，{13，28}，{13，27}，{13，10}，{30，29}，{30，33}， {30，28}，{30，27}，{30，10}，{29，33}，{29，28}，{29，27}，{29，10}，{33，28}，{33，27}， {33，10}，{28，27}，{28，10}，{27，10}，共36種， 得分都超過25分的有15種， ∴兩個(gè)得分都超過25分的概率p==．… 　 20．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓x2+y2=4上一點(diǎn)P（x0，y0）（x0y0＞0）處的切線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，以A，B為頂點(diǎn)且以O(shè)為中心的橢圓記作C，直線OP交C于M，N兩點(diǎn)． （Ⅰ）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（，1），求橢圓C的離心率； （Ⅱ）證明|MN|＜4． 【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)． 【分析】（Ⅰ）運(yùn)用直線的斜率公式，可得直線l的方程，求得A，B的坐標(biāo)，可得橢圓的方程，運(yùn)用離心率公式可得； （Ⅱ）直線OP的斜率為k，依題意有k＞0且k≠1，直線OP的方程為y=kx，直線l的方程為，求得A，B的坐標(biāo)，橢圓方程，代入直線y=kx，求得M，N的坐標(biāo)，可得|OM|，運(yùn)用基本不等式，即可得到結(jié)論． 【解答】解：（Ⅰ）kOP=，可得k1=﹣，直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣）， 令x=0，得y=4，令y=0，得x=，可得A（，0）B（0，4）． 即有橢圓C的方程為+=1， 離心率e===； （Ⅱ）證明：直線OP的斜率為k，依題意有k＞0且k≠1， 直線OP的方程為y=kx，直線l的方程為， 令x=0，得，令y=0，得x=ky0+x0， 可得， 橢圓C的方程， 聯(lián)立， 解出， 可得，， 即有 = = =4（1+）＜4（1+）=8， 可得|OM|＜2， 即有|MN|=2|OM|＜4． 　 21．已知函數(shù)f（x）=+elnx﹣ax在x=1處取的極值． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值； （Ⅱ）求證：f（x）≥0． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）=0，解出a即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）≥f（1）=0即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=+﹣a…①， 依題意知f′（1）=0，∴a=e； … （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=+elnx﹣ex，（x＞0）， 則f′（x）=， 令g（x）=ex﹣ex…②， 則g′（x）=ex﹣e，由g′（x）=0，得x=1， ∵當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g′（x）≤0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0， ∴函數(shù)y=g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增， ∴當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g（x）≥g（1）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0， ∴對?x∈（0，+∞），g（x）≥0，即ex≥ex…③ ∴由②③，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，x﹣1≤0，f′（x）≤0， 當(dāng)x＞1時(shí)，x﹣1＞0，f′（x）＞0， ∴函數(shù)y=f（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增， ∴f（x）≥f（1）=0．… 　 請考生在第23、24題中任選一題作答，并將所選的題號下的“○”涂黑，如果多做，則按所做的第一題記分，滿分10分.[選修4-1：幾何證明選講] [選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 23．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線，（t為參數(shù)）與拋物線y2=2px（p＞0）相交于橫坐標(biāo)分別為x1，x2的A，B兩點(diǎn) （1）求證：x02=x1x2； （2）若OA⊥OB，求x0的值． 【考點(diǎn)】拋物線的簡單性質(zhì)；參數(shù)方程化成普通方程． 【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程的方程組，利用參數(shù)的幾何意義化簡求解即可． （2）通過向量垂直的充要條件，化簡求解即可． 【解答】 解：（1）設(shè)直線…①與拋物線y2=2px（p＞0）…② 交于點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），∴α≠0 把①代入②，得關(guān)于t的一元二次方程 t2sin2α﹣2tpcosα﹣2px0=0， 設(shè)點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則，…③ ∴…④ 把③代入④得…． （2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，由（Ⅰ）知， 又y1=t1sinα，y2=t2sinα，∴， 由③知，∴x0=2p． … 　 [選修4-5：不等式選講] 24．已知a，b∈R+，設(shè)x=，y=，求證： （1）xy≥ab； （2）x+y≤a+b． 【考點(diǎn)】基本不等式． 【分析】（1）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． （2）通過平方作差利用乘法公式即可得出． 【解答】證明：（1）∵a，b∈R+，x=，y=， ∴xy=≥=ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號． （2）∵a，b∈R+，x+y=+， 則（a+b）2﹣（x+y）2=（a+b）2﹣=﹣， 而（a+b）4﹣（a﹣b）4=8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）=（a﹣b）4， ∴（a+b）2≥， ∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0， ∴a+b≥x+y．