高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理8

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普寧市華僑中學(xué)2017屆高三級(jí)上學(xué)期期末考 理科數(shù)學(xué)試題 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卷上。 2.用2B鉛筆將選擇題答案在答題卷對(duì)應(yīng)位置涂黑；答案不能答在試卷上。 3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不準(zhǔn)使用鉛筆或涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。 4.考生必須保持答題卷的整潔。 一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確答案填在答題卡相應(yīng)位置．） 1．設(shè)集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，則A∩B=（　?。? A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7} 2．復(fù)數(shù)i（3﹣i）的共軛復(fù)數(shù)是（　?。? A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．已知向量=（1，2），=（a，﹣1），若⊥，則實(shí)數(shù)a的值為（　?。? A．﹣2 B．﹣ C． D．2 4．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（　　） A．若l⊥m，m?α，則l⊥α B．若l⊥α，l∥m，則m⊥α C．若l∥α，m?α，則l∥m D．若l∥α，m∥α，則l∥m 5．下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　　） A．y= B．y=x2 C．y=x3 D．y=sinx 6．要得到函數(shù)y=sin2x的圖象，只要將函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象（　?。? A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位 B．向左平行移動(dòng)個(gè)單位 C．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位 7．不等式組，所表示的平面區(qū)域的面積等于（　?。? A． B． C． D． 8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值等于（　?。? A．1 B． C．0 D．﹣ 9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。? A．96 B． C． D． 10．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上二人所得與下三人等．問(wèn)各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”（“錢(qián)”是古代的一種重量單位）．這個(gè)問(wèn)題中，甲所得為（　?。? A．錢(qián) B．錢(qián) C．錢(qián) D．錢(qián) 11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1： +=1（a＞b＞0）與雙曲線C2：﹣=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，∠F1MF2=90，若橢圓的離心率e=，則雙曲線C2的離心率e1為（　?。? A． B． C． D． 12．若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1處有極值，則ab的最大值（　?。? A．2 B．3 C．6 D．9 　 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡相應(yīng)題中的橫線上． 13．已知等比數(shù)列{an}的公比q為正數(shù)，且a3a9=2a52，則q=　　． 14．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax2，且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率是，則a=　?。? 15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F為拋物線x2=8y的焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到雙曲線x2﹣=1的漸近線的距離為　?。? 16．下列四個(gè)命題： ①一個(gè)命題的逆命題為真，則它的否命題一定為真； ②等差數(shù)列{an}中，a1=2，a1，a3，a4成等比數(shù)列，則公差為﹣； ③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則+的最小值為5+2； ④在△ABC中，若sin2A＜sin2B+sin2C，則△ABC為銳角三角形． 其中正確命題的序號(hào)是　?。ò涯阏J(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上） 三.解答題（共6題，共70分） 17.（本題滿分12分） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban﹣2n=（b﹣1）Sn （Ⅰ）證明：當(dāng)b=2時(shí)，{an﹣n?2n﹣1}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求{an}的通項(xiàng)公式． 18.（本題滿分12分） 如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證： （1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直線A1F∥平面ADE． 19.（本題滿分12分） 某學(xué)校高三年級(jí)800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖． （1）若成績(jī)小于13秒被認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)； （2）請(qǐng)估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第三組的人數(shù)； （3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組，求所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率． 20.（本題滿分12分） 如圖，已知橢圓+y2=1的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A1，A2，B1，B2，左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若圓C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足=． （1）求圓C的半徑r； （2）若點(diǎn)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線QB1交橢圓于點(diǎn)D，交直線A2B2于點(diǎn)E，求的最大值． 21.（本題滿分12分） 已知函數(shù)f（x）=﹣，（x∈R），其中m＞0 （Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線的方程； （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍 （Ⅲ）已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x1，x2且x1＜x2，若對(duì)任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍 【選做題】請(qǐng)考生從22、23題中任選一題作答，共10分 22.（選修4-4.坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C 的極坐標(biāo)方程為． （1）寫(xiě)出直線l的普通方程及圓C 的直角坐標(biāo)方程； （2）點(diǎn)P是直線l上的，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)，使P 到圓心C 的距離最小． 23.（選修4-5.不等式選講） 已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在實(shí)數(shù)x使f（x）＜2成立． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值； （Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求證： +≥． 普寧市華僑中學(xué)2017屆高三級(jí)上學(xué)期期末考 理科數(shù)學(xué)參考答案 1．B． 2．B． 3．D． 4．B . 5．C． 6．B． 7．C． 8．A． 9．C． 10．B． 11．B． 12．D． 13．． 14． 15．． 16．①③． 17.解：（Ⅰ）當(dāng)b=2時(shí)，由題意知2a1﹣2=a1，解得a1=2， 且ban﹣2n=（b﹣1）Sn ban+1﹣2n+1=（b﹣1）Sn+1 兩式相減得b（an+1﹣an）﹣2n=（b﹣1）an+1 即an+1=ban+2n①（3分） 當(dāng)b=2時(shí)，由①知an+1=2an+2n 于是an+1﹣（n+1）?2n=2an+2n﹣（n+1）?2n=2（an﹣n?2n﹣1） 又a1﹣1?20=1≠0，所以{an﹣n?2n﹣1}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．（6分） （Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，由（Ⅰ）知an﹣n?2n﹣1=2n﹣1， 即an=（n+1）2n﹣1 當(dāng)b≠2時(shí)，由①得 == 因此= 即（10分） 所以．（12分） 18. （1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴AD⊥平面BCC1B1， ∵AD?平面ADE ∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（6分） （2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn) ∴A1F⊥B1C1， ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線 ∴A1F⊥平面BCC1B1 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直線A1F∥平面ADE．（12分） 19. （1）由頻率分布直方圖，得成績(jī)小于13秒的頻率為0.06， ∴該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為： 0.0650=3（人）．（3分） 由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38， ∴估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第三組的人數(shù)為： 8000.38=304（人）．（6分） （2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08， ∴第一組有500.06=3人，第五組有500.08=4人， ∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生， ∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生， 現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組， 基本事件總數(shù)n==12，（9分） 所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個(gè)數(shù)m==7，（10分） ∴所求概率為p=．（12分） 20. （1）由橢圓+y2=1可得F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）， 設(shè)P（x，y），∵=，∴=，化為：x2﹣3x+y2+1=0，即=． 又（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（0＜r＜3）， ∵圓C上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足=． ∴上述兩個(gè)圓外切， ∴=r+，解得r=．（4分） （2）直線A2B2方程為：，化為=． 設(shè)直線B1Q：y=kx﹣1， 由圓心到直線的距離≤，可得：k∈． 聯(lián)立，解得E．（6分） 聯(lián)立，化為：（1+2k2）x2﹣4kx=0，解得D．（7分） ∴|DB1|==． |EB1|==， ∴===|1+|，（9分） 令f（k）=，f′（k）=≤0， 因此函數(shù)f（k）在k∈上單調(diào)遞減．（10分） ∴k=時(shí)， =|1+|=取得最大值．（12分） 21. （Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=x3+x2+3x， ∴f′（x）=﹣x2+2x+3， 故k=f′（3）=0， 又∵f（3）=9， ∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為：y=9，（3分） （Ⅱ）若f（x）在（）上存在單調(diào)遞增區(qū)間， 即存在某個(gè)子區(qū)間（a，b）?（，+∞）使得f′（x）＞0， ∴只需f′（）＞0即可， f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1， 由f′（）＞0解得m＜﹣或m＞， 由于m＞0，∴m＞．（6分） （Ⅲ）由題設(shè)可得， ∴方程有兩個(gè)相異的實(shí)根x1，x2， 故x1+x2=3，且 解得：（舍去）或，（8分） ∵x1＜x2，所以2x2＞x1+x2=3，∴， 若 x1≤1＜x2， 則， 而f（x1）=0，不合題意． 若1＜x1＜x2，對(duì)任意的x∈， 有x＞0，x﹣x1≥0，x﹣x2≤0， 則， 又f（x1）=0，所以 f（x）在上的最小值為0， 于是對(duì)任意的x∈，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是， 解得； （10分） 綜上，m的取值范圍是．（12分） 22. （1）∵在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為， ∴t=x﹣3，∴y=， 整理得直線l的普通方程為=0， ∵，∴， ∴， ∴圓C的直角坐標(biāo)方程為：．（5分） （2）圓C：的圓心坐標(biāo)C（0，）． ∵點(diǎn)P在直線l： =0上，設(shè)P（3+t，）， 則|PC|==， ∴t=0時(shí)，|PC|最小，此時(shí)P（3，0）．（5分） 23. （I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|， ∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，則|m|＜2，解得﹣2＜m＜2． ∵m∈N*，∴m=1．（5分） （II）證明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2， ∴α+β=2． ∴+==≥=，當(dāng)且僅當(dāng)α=2β=時(shí)取等號(hào)．（10分）