高三數(shù)學上學期期末考試試題 理4

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天津市部分區(qū)2016～2017學年度第一學期期末考試 高三數(shù)學（理科）試卷 溫馨提示：使用答題卡的區(qū)，學生作答時請將答案寫在答題卡上；不使用答題卡的區(qū)，學生作答時請將答案寫在試卷上. 題 號 一 二 三 總 分 15 16 17 18 19 20 得 分 本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第I卷1至2頁，第Ⅱ卷2至4頁. 答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘帖考試用條形碼.答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 祝各位考生考試順利！ 第Ⅰ卷（選擇題，共40分） 注意事項： 1．選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號. 2．本卷共8小題，每小題5分，共40分. 參考公式： 如果事件互斥，那么． 如果事件相互獨立，那么． 錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高. 柱體的體積公式，其中表示柱體的底面面積，表示柱體的高. 一、選擇題:在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. （1）已知集合，則 （A） （B） （C） （D） （2）設變量，滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為 （A） （B） （C） （D） （3）閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為 （A） （B） （C） （D） （4）已知是鈍角三角形，若 ，且的面積為， 則 （A） （B） （C） （D） （5）設{}是公比為的等比數(shù)列，則 “” 是“{}為單調(diào)遞增數(shù)列”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 （6）已知雙曲線（）的焦點到漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為 （A） （B） （C） （D） （7）在中，在上，，為中點，、相交于點，連結(jié)．設，則，的值分別為 （A） （B） （C） （D） （8）已知（其中，是自然對數(shù)的底數(shù)），當時，關(guān)于的方程恰好有5個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非選擇題，共110分） 注意事項： 1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上. 2．本卷共12小題，共110分. 二、填空題：本大題共有6小題，每小題5分，共30分. （9）已知，R，是虛數(shù)單位，若，則的值為__________. （10）在的展開式中，的系數(shù)為__________. （用數(shù)字作答） 2 4 2 4 4 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 （11）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是__________. （12）在平面直角坐標系中，由曲線（） 與直線和所圍成的封閉圖形的面積為 __________. （13）在直角坐標系中，已知曲線 (為參數(shù))，曲線 (為參數(shù)，)，若恰好經(jīng)過的焦點，則的值為__________. （14）已知 若方程有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________. 三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. （15）（本小題滿分13分） 已知函數(shù)（）. （I）求的最小正周期； （II）當時，的最小值為2，求的值. （16）（本小題滿分13分） 某區(qū)選派7名隊員代表本區(qū)參加全市青少年圍棋錦標賽，其中3名來自A學校且1名為女棋手，另外4名來自B學校且2名為女棋手.從這7名隊員中隨機選派4名隊員參加第一階段的比賽． （I）求在參加第一階段比賽的隊員中，恰有1名女棋手的概率； （II）設為選出的4名隊員中A、B兩校人數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望. P A B E C D （17）（本小題滿分13分） 如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，在上，且，側(cè)棱平面. （I）求證：平面平面； （II）若為等腰直角三角形. （i）求直線與平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的余弦值. （18）（本小題滿分13分） 已知數(shù)列的前項和（），（），數(shù)列的前項和為. （I）求數(shù)列的通項公式； （II）設（），求數(shù)列的前項和； （III）證明： （）. （19）（本小題滿分14分） 已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，若的周長為，且點到直線的距離為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設是橢圓長軸的兩個端點，點是橢圓上不同于的任意一點，直線交直線于點，若以為直徑的圓過點，求實數(shù)的值. （20）（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（），函數(shù)的圖象記為曲線. （I）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍； （II）若函數(shù)有兩個零點，且為的極值點，求的值； （III）設曲線在動點處的切線與交于另一點，在點處的切線為，兩切線的斜率分別為，是否存在實數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 天津市部分區(qū)2016～2017學年度第一學期期末考試 高三數(shù)學（理科）參考答案 一、選擇題: 1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空題: 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題: 15.（本小題滿分13分） 解：（I）函數(shù) ， ……………………4分 故函數(shù)的最小正周期為. ………………………6分 （II）由題意得， ……………………10分 故，所以. ……………………13分 16.（本小題滿分13分） 解：（I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手， 設事件A=“恰有1位女棋手”，則，………………………4分 所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為.…………5分 （II）隨機變量的所有可能取值為其中 ， ， . ………………………………9分 所以，隨機變量分布列為 隨機變量的數(shù)學期望. ………………………………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△△，知，且 故. 同理可得，且，,. ………2分 又∵平面∴ ……3分 而∴平面. 平面,故平面平面； ……4分 法二：∵平面∴ 又∵，故可建立建立如圖所示坐標系. 由已知，，，（）∴，， ∴，.……3分， ∴，，∴平面，平面,平面平面；……4分 （Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面的一個法向量是，因為為等腰直角三角形，故，. 設直線與平面所成的角為，則………8分 （ii）設平面的一個法向量為，， 由，∴，令，則， ………10分 ∴，. ………11分 顯然二面角的平面角是銳角， ∴二面角的余弦值為. ………13分（其他方法可酌情給分） 18．（本小題滿分13分） 解：（I）當時，，， 兩式相減：； 當時，，也適合， 故數(shù)列的通項公式為；. ………3分 （II）由題意知：，，， ，兩式相減可得：， ……… 4分 即， ，. ………7分 （III），顯然， 即，； ………9分 另一方面，， 即，，…，，， 即：. ………13分 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知得，解得. 所以橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）由題意知， ……………6分 設，則，得. 且由點在橢圓上，得. ……………8分 若以為直徑的圓過點，則， ……………9分 所以 ……………12分 因為點是橢圓上不同于的點，所以. 所以上式可化為，解得. ……………14分 20．（本小題滿分14分） 解法一:（I），當時 所以，而在處取得最小值， 所以，；……………4分 （II）因為為的極值點， 所以，所以， 又因為有不同的零點，所以， 即， 整理得：， 所以．……………9分 （III）滿足條件的實數(shù)存在， 由， 知過 點與曲線相切的直線為： ，且 將與聯(lián)立即得點得橫坐標， 所以 即： 整理得： 由已知,所以 所以，即B點的橫坐標為 所以過點B的曲線的切線斜率為 因此當且僅當 時，、成比例， 這時 即存在實數(shù)，使為定值．……………14分 解法二：（I），當時， 所以對任意的恒成立，故， 即，故的取值范圍是；…………… 4分 （II）因為為的極值點，且有兩個零點， 所以的三個實數(shù)根分別為， 由根與系數(shù)的關(guān)系得；……………9分 （III）滿足條件的實數(shù)存在，因為，所以過點且與曲線相切的直線為：，其中. 設與交于另一點，則必為方程的三個實數(shù)根 由得 因為上述方程的右邊不含三次項和二次項， 所以 ，所以 所以 . 因此當且僅當 時，、成比例， 這時，即存在實數(shù)，使為定值. ……………14分 天津市部分區(qū)2016～2017學年度第一學期期末考試 高三數(shù)學（理科）參考答案 一、選擇題: 1-4 DACB 5-8 DACD 二、填空題: 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答題: 15.（本小題滿分13分） 解：（I）函數(shù) ， ……………………4分 故函數(shù)的最小正周期為. ………………………6分 （II）由題意得， ……………………10分 故，所以. ……………………13分 16.（本小題滿分13分） 解：（I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手， 設事件A=“恰有1位女棋手”，則，………………………4分 所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為.…………5分 （II）隨機變量的所有可能取值為其中 ， ， . ………………………………9分 所以，隨機變量分布列為 隨機變量的數(shù)學期望. ………………………………13分 17.（本小題滿分13分） 解：（Ⅰ）法一：∵△△，知，且 故. 同理可得，且，,. ………2分 又∵平面∴ ……3分 而∴平面. 平面,故平面平面； ……4分 法二：∵平面∴ 又∵，故可建立建立如圖所示坐標系. 由已知，，，（）∴，， ∴，.……3分， ∴，，∴平面，平面,平面平面；……4分 （Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面的一個法向量是，因為為等腰直角三角形，故，. 設直線與平面所成的角為，則………8分 （ii）設平面的一個法向量為，， 由，∴，令，則， ………10分 ∴，. ………11分 顯然二面角的平面角是銳角， ∴二面角的余弦值為. ………13分（其他方法可酌情給分） 18．（本小題滿分13分） 解：（I）當時，，， 兩式相減：； 當時，，也適合， 故數(shù)列的通項公式為；. ………3分 （II）由題意知：，，， ，兩式相減可得：， ……… 4分 即， ，. ………7分 （III），顯然， 即，； ………9分 另一方面，， 即，，…，，， 即：. ………13分 19．（本小題滿分14分） 解：（Ⅰ）由已知得，解得. 所以橢圓的方程為. ……………5分 （Ⅱ）由題意知， ……………6分 設，則，得. 且由點在橢圓上，得. ……………8分 若以為直徑的圓過點，則， ……………9分 所以 ……………12分 因為點是橢圓上不同于的點，所以. 所以上式可化為，解得. ……………14分 20．（本小題滿分14分） 解法一:（I），當時 所以，而在處取得最小值， 所以，；……………4分 （II）因為為的極值點， 所以，所以， 又因為有不同的零點，所以， 即， 整理得：， 所以．……………9分 （III）滿足條件的實數(shù)存在， 由， 知過 點與曲線相切的直線為： ，且 將與聯(lián)立即得點得橫坐標， 所以 即： 整理得： 由已知,所以 所以，即B點的橫坐標為 所以過點B的曲線的切線斜率為 因此當且僅當 時，、成比例， 這時 即存在實數(shù)，使為定值．……………14分 解法二：（I），當時， 所以對任意的恒成立，故， 即，故的取值范圍是；…………… 4分 （II）因為為的極值點，且有兩個零點， 所以的三個實數(shù)根分別為， 由根與系數(shù)的關(guān)系得；……………9分 （III）滿足條件的實數(shù)存在，因為，所以過點且與曲線相切的直線為：，其中. 設與交于另一點，則必為方程的三個實數(shù)根 由得 因為上述方程的右邊不含三次項和二次項， 所以 ，所以 所以 . 因此當且僅當 時，、成比例， 這時，即存在實數(shù)，使為定值. ……………14分