高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題 理3 (2)

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石景山區(qū)2016—2017學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末試卷 數(shù) 學(xué)（理） 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)． 1．已知集合,,那么等于（ ） A． B． C． D． 是 否 開始 結(jié)束 2．若，則（ ） A． B． C． D． 3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值是（ ） A． B． C． D． 4．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（ ） A． B． C． D． 5．由直線，和所圍成的三角形區(qū)域（包括邊界），用不等式組可表示為（ ） A． B． C． D． 6．一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示． 已知這個(gè)幾何體的體積為，則（ ） 側(cè)視圖 正視圖 4 h 俯視圖 3 A． B． C． D． 7．將函數(shù)圖象上的點(diǎn)向左平移m(m >0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到 點(diǎn)．若位于函數(shù)的圖象上，則以下說(shuō)法正確的是（ ） A．當(dāng)時(shí)，m的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，m一定為 C．當(dāng)時(shí)，m的最大值為 D．，m一定為 8．六名同學(xué)A、B、C、D、E、F舉行象棋比賽，采取單循環(huán)賽制，即參加比賽的每?jī)蓚€(gè)人之間僅賽一局．第一天，A、B各參加了局比賽，C、D各參加了局比賽，E參加了2局比賽，且A與C沒(méi)有比賽過(guò)，B與D也沒(méi)有比賽過(guò)，那么F在第一天參加的比賽局?jǐn)?shù)為（ ） A． B． C． D． 第二部分（非選擇題共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9．在的展開式中，的系數(shù)是（結(jié)果用數(shù)值表示）． 10．已知中，，，，則的面積為． 11．若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是． 12．等差數(shù)列中，，公差不為零，且，，恰好是某等比數(shù)列的前三項(xiàng)，那么該等比數(shù)列公比的值等于 ． 13．有以下個(gè)條件：①；②；③與的方向相反；④與都是單位向量．其中//的充分不必要條件有．（填正確的序號(hào)）． 14．已知函數(shù)， ①方程有________個(gè)根； ②若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________． 三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程． 15．（本小題共13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在上的最大值． 16．（本小題共13分）年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計(jì)顯示，微信注冊(cè)用戶數(shù)量已經(jīng)突破億．微信用戶平均年齡只有歲，的用戶在歲以下，的用戶在-歲之間．為調(diào)查大學(xué)生這個(gè)微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從北京市大學(xué)生中隨機(jī)抽取位同學(xué)進(jìn)行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下： 微信群數(shù)量 頻數(shù) 頻率 0至5個(gè) 6至10個(gè) 11至15個(gè) 16至20個(gè) 個(gè)以上 合計(jì) （Ⅰ）求，，的值； （Ⅱ）若從這位同學(xué)中隨機(jī)抽取人，求這人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)個(gè)的概率； （Ⅲ）以這個(gè)人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計(jì)概率，若從全市大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記表示抽到的是微信群個(gè)數(shù)超過(guò)個(gè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．（本小題共14分） 如圖1，等腰梯形中，∥，于點(diǎn)，，且． 沿把折起到的位置（如圖2），使． （Ⅰ）求證：⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； P′ A B C D B C A P D （Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得∥平面．若存在，指出點(diǎn)的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖1圖2 18．（本小題共13分） 已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線（不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．直線與軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由． 19．（本小題共14分） 已知函數(shù)，． （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍． 20．（本小題共13分） 集合的若干個(gè)子集的集合稱為集合的一個(gè)子集族．對(duì)于集合的一個(gè)子集族滿足如下條件：若，則，則稱子集族是“向下封閉”的． （Ⅰ）寫出一個(gè)含有集合的“向下封閉”的子集族并計(jì)算此時(shí)的值 （其中表示集合中元素的個(gè)數(shù)，約定；表示對(duì)子集族中所有成員求和）； （Ⅱ）是集合的任一“向下封閉的”子集族，對(duì),記，（其中max表示最大值）， （?。┣螅? （ⅱ）若是偶數(shù)，求． 石景山區(qū)2016—2017學(xué)年第一學(xué)期期末考試 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A B B D 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 題號(hào) 9 10 11 12 13 14 答案 ① ③ 三、解答題共6小題，共80分． 15．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）　 ……1分 ……2分 ， ……4分 因此的最小正周期為． …………6分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，， ………8分 當(dāng)，有最大值． ………10分 即時(shí)，的最大值為． ……………13分 16．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）解得， ，．…………………3分 （Ⅱ）記“人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)個(gè)”為事件， 則． 所以，人中恰有人微信群個(gè)數(shù)超過(guò)個(gè)的概率為．　……………7分 （Ⅲ）依題意可知，微信群個(gè)數(shù)超過(guò)個(gè)的概率為． 的所有可能取值，，，．　　　　　　　　　　　……………8分 則，， ，． 其分布列如下： 所以，．……………13分 17．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以⊥? 因?yàn)樵诘妊菪沃校?，所以在四棱錐中，⊥． 又，所以⊥面． 因?yàn)槊妫浴停?分 因?yàn)榈妊菪沃?，，，且? 所以，，．所以． 所以⊥． 因?yàn)?, 所以⊥平面． ……5分 P’ A B C D x y z （Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥面，⊥， 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系， ，，， ，．…………5分 所以，． 由（Ⅰ）知，平面的法向量為， 設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則,即， 再令，得．==． 所以二面角的余弦值為． …………9分 （Ⅲ）若線段上存在點(diǎn)，使得∥平面． 依題意可設(shè),其中．所以，． 由（Ⅱ）知，平面的一個(gè)法向量． 因?yàn)椤纹矫?，所以? 所以，解得． 所以，線段上存在點(diǎn)，使得∥平面…………………14分 18．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)（）在橢圓上，所以． 又因?yàn)?，所以，? 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：． ……………………5分 （Ⅱ）設(shè)． 設(shè)直線：． ……………………6分 聯(lián)立，得：． 所以，． ……………8分 直線的方程為， ……………9分 令，解得 ………11分 又， 所以． 所以直線與軸的交點(diǎn)是定點(diǎn)，坐標(biāo)為．………分 19．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，．…?分 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是， 單調(diào)遞減區(qū)間是，．　　　　　　　　　…………5分 （Ⅱ）依題意，“對(duì)于任意，恒成立”等價(jià)于 “對(duì)于任意，成立”． 由（Ⅰ）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 因?yàn)?，，所以函?shù)的最小值為． 所以應(yīng)滿足．………………………………………………7分 因?yàn)?，所以．……?分 因?yàn)?，令得，，? （?。┊?dāng)，即時(shí)， 在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 所以函數(shù)． 由得，，所以． ……………11分 （ⅱ）當(dāng)，即時(shí), 在上，在上， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以． 由得，，所以． ……………13分 綜上所述，的取值范圍是． ……………14分 20．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）含有集合的“向下封閉”的子集族　……2分 此時(shí) …………4分 （Ⅱ）設(shè)的所有不超過(guò)個(gè)元素的子集族為 （?。┮字?dāng)時(shí)，達(dá)到最大值， 所以　…6分 （ⅱ）設(shè)是使得的任一個(gè)“向下封閉”的子集族，記，其中為不超過(guò)元的子集族，為元或元的子集 則= 　………8 分 現(xiàn)設(shè)有（）個(gè)的元子集，由于一個(gè)元子集至多出 現(xiàn)在個(gè)的元子集中，而一個(gè)元子集中有個(gè)元子集，故個(gè)元子集至少產(chǎn)生個(gè)不同的元子集． 由（ⅰ）得 …13分 【注：若有其它解法，請(qǐng)酌情給分．】