高三數學上學期期末考試試題 理1 (2)

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豐臺區(qū)2016—2017學年度第一學期期末練習 高三數學（理科） 第一部分 （選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項． 1．已知集合，，那么等于 （A） （B） （C） （D） 2．已知，則下列不等式一定成立的是 （A） （B） （C） （D） 3．如果平面向量，，那么下列結論中正確的是 （A） （B） （C） （D） 4．已知直線，和平面，如果，那么“”是“”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 5．在等比數列中，，9，則等于 （A）9 （B）72 （C）9或72 （D） 9或72 6． 如果函數的兩個相鄰零點間的距離為，那么的值為 （A）1 （B）1 （C） （D） 7. 中國歷法推測遵循以測為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經》和《易經》里對二十四節(jié)氣的晷(guǐ)影長的記錄中，冬至和夏至的晷影長是實測得到的，其它節(jié)氣的晷影長則是按照等差數列的規(guī)律計算得出的．下表為《周髀算經》對二十四節(jié)氣晷影長的記錄，其中寸表示115寸分（1寸=10分）． 節(jié)氣 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 驚蟄 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (處暑) 立夏 (立秋) 小滿 (大暑) 芒種 (小暑) 夏至 晷影長 （寸） 135 16.0 已知《易經》中記錄的冬至晷影長為130.0寸，夏至晷影長為14.8寸，那么《易經》中所記錄的驚蟄的晷影長應為 （A）72.4寸 （B）81.4寸 （C）82.0寸 （D）91.6寸 8. 對于任何集合S，用表示集合S中的元素個數，用表示集合S的子集個數. 若集合A，B滿足條件：2017，且，則等于 （A）2017 （B）2016 （C）2015 （D）2014 第二部分 （非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9. i是虛數單位，復數= ． 10. 設橢圓C：的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，如果，那么橢圓C的離心率為 ． 11．在的展開式中，常數項是 （用數字作答）． 12．若滿足 則的最大值為 ． 13．如圖，邊長為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標系xOy中，AC在x軸上，頂點B與y軸上的定點P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動，即先以頂點C為旋轉中心順時針旋轉，當頂點B落在軸上時，再以頂點B為旋轉中心順時針旋轉，如此繼續(xù)．當△ABC滾動到△時，頂點B運動軌跡的長度為 ；在滾動過程中，的最大值為 ． 14．已知為偶函數，且時，（表示不超過x的最大整數）．設，若，則函數有____個零點；若函數三個不同的零點，則的取值范圍是____． 三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15.（本小題共13分） 如圖，在△ABC中，D是BC上的點，，，，. （Ⅰ）求角的大??； （Ⅱ）求邊AB的長. 16.（本小題共14分） 如圖所示的多面體中，面是邊長為2的正方形，平面⊥平面，，分別為棱的中點. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）已知二面角的余弦值為， 求四棱錐的體積． 17.（本小題共14分） 數獨游戲越來越受人們喜愛，今年某地區(qū)科技館組織數獨比賽，該區(qū)甲、乙、丙、丁四所學校的學生積極參賽，參賽學生的人數如下表所示： 中學 甲 乙 丙 丁 人數 為了解參賽學生的數獨水平，該科技館采用分層抽樣的方法從這四所中學的參賽學生中抽取30名參加問卷調查． （Ⅰ）問甲、乙、丙、丁四所中學各抽取多少名學生？ （Ⅱ）從參加問卷調查的30名學生中隨機抽取2名，求這2名學生來自同一所中學的概率； （Ⅲ）在參加問卷調查的30名學生中，從來自甲、丙兩所中學的學生中隨機抽取2名，用X表示抽得甲中學的學生人數，求X的分布列． 18.（本小題共13分） 已知函數與函數的圖象在點處有相同的切線. （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）設，求函數在上的最小值. 19.（本小題共13分） 已知拋物線：的焦點為F，且經過點，過點的直線與拋物線交于，兩點. （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）為坐標原點，直線，與直線分別交于，兩點，試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由. 20. （本小題共13分） 已知無窮數列滿足. （Ⅰ）若，寫出數列的前4項； （Ⅱ）對于任意，是否存在實數M，使數列中的所有項均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，請說明理由； （Ⅲ）當為有理數，且時，若數列自某項后是周期數列，寫出的最大值.（直接寫出結果，無需證明） 豐臺區(qū)2016~2017學年度第一學期期末練習 高三數學（理科）參考答案及評分參考 2017．01 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C B D A C B 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分． 9． 10． 11． 15 12．4 13．； 14．2； 三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． 15.（本小題共13分） 解：（Ⅰ）在△中，由余弦定理，得 ……………….2分 ……………….4分 因為，所以. ……………….6分 （Ⅱ）因為，所以. ……………….8分 在△中，由正弦定理，得 ， ……………….10分 即，所以邊的長為. ……………….13分 16.（本小題共14分） 證明：（Ⅰ）取中點，連接，， 因為是正方形，所以，. 因為分別是,中點，所以,. 又因為且， 所以，， 所以四邊形是平行四邊形, ………….3分 所以. 又因為平面，平面 所以平面． ……………….5分 （Ⅱ）因為平面⊥平面， 平面平面， ，平面， 所以平面． ……………….6分 如圖，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x,y,z軸正方向，建立空間直角坐標系． 設，則 ． ………………7分 因為⊥底面，所以平面的一個法向量為. ……………….8分 設平面PFB的一個法向量為， , 則 即 令x=1，得，所以． ……………….10分 由已知，二面角的余弦值為， 所以得 ， ……………….11分 解得a =2,所以． ……………….13分 因為是四棱錐的高， 所以其體積為． ……………….14分 17．（本小題共14分） 解：（Ⅰ）由題意知，四所中學報名參加數獨比賽的學生總人數為100名， 抽取的樣本容量與總體個數的比值為， 所以甲、乙、丙、丁四所中學各抽取的學生人數分別為9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）設“從30名學生中隨機抽取兩名學生，這兩名學生來自同一所中學”為事件， 從30名學生中隨機抽取兩名學生的取法共有種， ………………5分 來自同一所中學的取法共有． ………………7分 所以． 答：從30名學生中隨機抽取兩名學生來自同一所中學的概率為． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名學生中，來自甲、丙兩所中學的學生人數分別為9，6． 依題意得，的可能取值為， ………………9分 ， ，． ……………12分 所以的分布列為： 0 1 2 ……………….14分 18．（本小題共13分） 解：（Ⅰ）因為，所以. ……………….2分 因為，所以. ……………….4分 因為與的圖象在（0,0）處有相同的切線，所以，所以. …….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知, , 令，， 則． ……………….6分 (1)當時，，，所以在[1,2]上是增函數， 故的最小值為； ……………….7分 (2)當時，由得，， ……………….8分 ①若，即，則，，所以在[1,2]上是增函數， 故的最小值為. ……………….9分 ②若，即，則，，，， 所以在上是減函數，在上是增函數， 故的最小值為； ……………….11分 ③若，即，則，，所以在上是減函數， 故的最小值為. ……………….12分 綜上所述，當時，的最小值為， 當時，的最小值為， 當時，的最小值為. ……………….13分 19.（本小題共13分） 解：（Ⅰ）把點代入拋物線的方程，得，解得， 所以拋物線的方程為. ……………….4分 （Ⅱ）因為，所以直線為，焦點的坐標為 設直線的方程為，，， 則直線的方程為,直線的方程為. ……………….5分 由得，同理得． ……………….7分 所以，，則． ……………….9分 由得，所以， ……………….11分 則． 所以，的值是定值，且定值為0. ……………….13分 20．（本小題共13分） 解：（Ⅰ） ……………….4分 （Ⅱ）存在滿足題意的實數, 且的最小值為1. 解法一：猜想，下面用數學歸納法進行證明. （1）當時,，結論成立. （2）假設當時結論成立，即， 當時, ,所以, 即,所以, 故. 又因為, 所以, 所以時結論也成立. 綜上,由（1）,（2）知,成立 所以,當時,可得當時, ,此時, 的最小值為1 故的最小值為1. 解法二：當時，若存在滿足,且. 顯然，則 時，與矛盾； 時，與矛盾； 所以 所以,當時,可得當時, ,此時, 的最小值為1 故的最小值為1. ……………………10分 （Ⅲ） ………………13分 （若用其他方法解題，請酌情給分）