高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)3 平面向量教師用書 理
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突破點(diǎn)3 平面向量 提煉1 平面向量共線、垂直的兩個(gè)充要條件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則: (1)a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. 提煉2 數(shù)量積常見的三種應(yīng)用 已知兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 (1)證明向量垂直:a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. (2)求向量的長度:|a|==. (3)求向量的夾角:cos〈a,b〉==. 提煉3 平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論 (1)A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,μ,有=λ+μ,且λ+μ=1. (2)C是線段AB中點(diǎn)的充要條件是=(+). (3)G是△ABC的重心的充要條件為++=0,若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標(biāo)為,. (4)==?P為△ABC的垂心. (5)非零向量a,b垂直的充要條件:a⊥b?ab=0?|a+b|=|a-b|?x1x2+y1y2=0. (6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ=, 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ=. 回訪1 平面向量的線性運(yùn)算 1.(2015全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- A ∵=3,∴-=3(-), 即4-=3 ,∴=-+.] 2.(2015全國卷Ⅱ)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=________. ∵λa+b與a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b), 即λa+b=ta+2tb,∴解得] 回訪2 平面向量的數(shù)量積 3.(2016全國乙卷)設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=________. -2 ∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=|a|2+|b|2, ∴ab=0. 又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2.] 4.(2014全國卷Ⅰ)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為________. 90 ∵=(+), ∴點(diǎn)O是△ABC中邊BC的中點(diǎn), ∴BC為直徑,根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有〈,〉=90.] 5.(2012全國卷)已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________. 3 ∵a,b的夾角為45,|a|=1, ∴ab=|a||b|cos 45=|b|, |2a-b|2=4-4|b|+|b|2=10, ∴|b|=3.] 回訪3 數(shù)量積的綜合應(yīng)用 6.(2013全國卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,則t=________. 2 |a|=|b|=1,〈a,b〉=60. ∵c=ta+(1-t)b,∴bc=tab+(1-t)b2=t11+(1-t)1=+1-t=1-. ∵bc=0,∴1-=0,∴t=2.] 熱點(diǎn)題型1 平面向量的運(yùn)算 題型分析:該熱點(diǎn)是高考的必考點(diǎn)之一,考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面:一是以平面圖形為載體考查向量的線性運(yùn)算;二是以向量的共線與垂直為切入點(diǎn),考查向量的夾角、模等. (1)(2016深圳二模)如圖31,正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ=( ) 圖31 A. B. C. D.2 (2)(2016天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則的值為( ) A.- B. C. D. (1)B (2)B (1)法一:建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),M(2,1),D(0,2),所以=(2,2),=(2,1),=(-2,2).由=λ+μ,得(2,2)=λ(2,1)+μ(-2,2),即(2,2)=(2λ-2μ,λ+2μ),所以解得 所以λ+μ=,故選B. 法二:因?yàn)椋溅耍蹋溅?+)+μ(+)=λ+μ(-+)=(λ-μ)+,所以得所以λ+μ=,故選B. (2)如圖所示,=+. 又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 且DE=2EF,所以=,=+=, 所以=+. 又=-, 則=(-) =-2+2- =2-2-. 又||=||=1,∠BAC=60, 故=--11=.故選B.] 1.平面向量的線性運(yùn)算要抓住兩條主線:一是基于“形”,通過作出向量,結(jié)合圖形分析;二是基于“數(shù)”,借助坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn). 2.正確理解并掌握向量的概念及運(yùn)算,強(qiáng)化“坐標(biāo)化”的解題意識(shí),注重?cái)?shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 提醒:運(yùn)算兩平面向量的數(shù)量積時(shí),務(wù)必要注意兩向量的方向. 變式訓(xùn)練1] (1)已知向量a=(-1,2),b=(3,1),c=(x,4),若(a-b)⊥c,則c(a+b)=( ) A.(2,12) B.(-2,12) C.14 D.10 (2)已知e1,e2是不共線向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0.若a∥b,則=__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):85952017】 (1)C (2)-2 (1)易知a-b=(-4,1),由(a-b)⊥c,可得(-4)x+14=0,即-4x+4=0,解得x=1,∴c=(1,4). 而a+b=(2,3),∴c(a+b)=12+43=14.故選C. (2)∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),則解得=-2.] 熱點(diǎn)題型2 三角與向量的綜合問題 題型分析:平面向量作為解決問題的工具,具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”,高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題,通過向量運(yùn)算作為題目條件. (名師押題)已知向量a=,b=(cos x,-1). (1)當(dāng)a∥b時(shí),求cos2x-sin 2x的值; (2)設(shè)函數(shù)f(x)=2(a+b)b,已知在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=,b=2,sin B=,求y=f(x)+4cos 的取值范圍. 解] (1)∵a∥b,∴cos x+sin x=0,2分 ∴tan x=-,4分 ∴cos2x-sin 2x===.6分 (2)f(x)=2(a+b)b=sin +,8分 由正弦定理得=, 可得sin A=.9分 ∵b>a, ∴A=,10分 y=f(x)+4cos=sin-.11分 ∵x∈, ∴2x+∈, ∴-1≤y≤-, 即y的取值范圍是.12分 平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式,多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合,計(jì)算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關(guān)鍵點(diǎn). 變式訓(xùn)練2] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為,求x的值. 解] (1)若m⊥n,則mn=0. 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin x-cos x=0,4分 ∴tan x=1.6分 (2)∵m與n的夾角為,∴mn=|m||n|cos ,即sin x-cos x=,8分 ∴sin =.10分 又∵x∈,∴x-∈, ∴x-=,即x=.12分- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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