高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題限時(shí)集訓(xùn)13 專題5 突破點(diǎn)13 直線與圓 理
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專題限時(shí)集訓(xùn)(十三) 直線與圓 建議A、B組各用時(shí):45分鐘] A組 高考達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1.已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C的一條切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=( ) A.2 B.4 C.6 D.2 C 圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4,圓心為C(2,1),半徑為r=2,因此2+a1-1=0,所以a=-1,從而A(-4,-1), |AB|===6.] 2.(2016衡水一模)已知圓x2+y2+mx-=0與拋物線y=x2的準(zhǔn)線相切,則m=( ) A.2 B. C. D. B 拋物線的準(zhǔn)線為y=-1,將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2+y2=,圓心到準(zhǔn)線的距離為1=?m=.] 3.(2016長春一模)若動(dòng)點(diǎn)A,B分別在直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上運(yùn)動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離最小值為( ) A. B.2 C.3 D.4 C 由題意知AB的中點(diǎn)M的集合為到直線l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0的距離相等的直線,則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離.設(shè)點(diǎn)M所在的直線方程為:x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式得, =,解得m=-6,即l:x+y-6=0,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值為=3.] 4.(2016承德二模)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為( ) 【導(dǎo)學(xué)號:85952048】 A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- D 由光的反射原理知,反射光線的反向延長線必過點(diǎn)(2,-3),設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0. 又因?yàn)楣饩€與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,所以=1, 整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-,故選D.] 5.(2016湘潭二模)兩圓x2+y2+2ax+a2-4=0和x2+y2-4by-1+4b2=0恰有三條公切線,若a∈R,b∈R且ab≠0,則+的最小值為( ) A.1 B.3 C. D. A x2+y2+2ax+a2-4=0,即(x+a)2+y2=4,x2+y2-4by-1+4b2=0,即x2+(y-2b)2=1,依題意可得,兩圓外切,則兩圓心距離等于兩圓的半徑之和,則=1+2=3,即a2+4b2=9,所以+==≥=1,當(dāng)且僅當(dāng)=即a=b時(shí)取等號,故選A.] 二、填空題 6.(2016赤峰高三統(tǒng)考)已知⊙O:x2+y2=1,若直線y=kx+2上總存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P的⊙O的兩條切線互相垂直,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. (-∞,-1]∪1,+∞) 因?yàn)閳A心為O(0,0),半徑R=1. 設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A,B, 則由題意可得四邊形PAOB為正方形, 故有PO=R=, 由題意知圓心O到直線y=kx+2的距離小于或等于PO=,即≤,即1+k2≥2,解得k≥1或k≤-1.] 7.(2016合肥一模)設(shè)點(diǎn)P在直線y=2x+1上運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作圓(x-2)2+y2=1的切線,切點(diǎn)為A,則切線長|PA|的最小值是________. 2 圓心C(2,0)到直線2x-y+1=0的距離d=,所以|PA|=≥=2.] 8.(2016長沙二模)若直線l1:y=x+a和直線l2:y=x+b將圓(x-1)2+(y-2)2=8分成長度相等的四段弧,則a2+b2=________. 18 由題意得直線l1:y=x+a和直線l2:y=x+b截得圓的弦所對圓周角相等,皆為直角,因此圓心到兩直線距離皆為r=2,即==2?a2+b2=(2+1)2+(-2+1)2=18.] 三、解答題 9.(2016南昌一模)已知圓C:x2+y2-4x-6y+12=0,點(diǎn)A(3,5). (1)求過點(diǎn)A的圓的切線方程; (2)O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),連接OA,OC,求△AOC的面積S. 解] (1)由圓C:x2+y2-4x-6y+12=0,配方得(x-2)2+(y-3)2=1,圓心C(2,3).2分 當(dāng)斜率存在時(shí), 設(shè)過點(diǎn)A的圓的切線方程為y-5=k(x-3), 即kx-y+5-3k=0. 由d==1,得k=.4分 又斜率不存在時(shí)直線x=3也與圓相切,5分 故所求切線方程為x=3或3x-4y+11=0.6分 (2)直線OA的方程為y=x,即5x-3y=0,8分 點(diǎn)C到直線OA的距離為d==.10分 又|OA|==,∴S=|OA|d=.12分 10.(2016洛陽一模)已知點(diǎn)P(0,5)及圓C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為4,求l的方程; (2)求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 解] (1)如圖所示, |AB|=4,將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-6)2=16,2分 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(-2,6),半徑r=4,設(shè)D是線段AB的中點(diǎn),則CD⊥AB, 所以|AD|=2,|AC|=4,C點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,6). 在Rt△ACD中,可得|CD|=2. 若直線l的斜率存在,設(shè)為k,則直線l的方程為y-5=kx,即kx-y+5=0. 由點(diǎn)C到直線AB的距離公式:=2,得k=. 故直線l的方程為3x-4y+20=0.4分 直線l的斜率不存在時(shí),也滿足題意,此時(shí)方程為x=0.6分 所以所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0.7分 (2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y), 則CD⊥PD,即=0, 所以(x+2,y-6)(x,y-5)=0,10分 化簡得所求軌跡方程為x2+y2+2x-11y+30=0.12分 B組 名校沖刺] 一、選擇題 1.已知圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=9,點(diǎn)P(2,2)是該圓內(nèi)一點(diǎn),過點(diǎn)P的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 D 依題意,圓的最長弦為直徑,最短弦為過點(diǎn)P垂直于直徑的弦,所以|AC|=23=6.因?yàn)閳A心到BD的距離為=,所以|BD|=2=2.則四邊形ABCD的面積為S=|AC||BD|=62=6.故選D.] 2.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-2)2的最小值為( ) A. B.5 C.2 D.10 B 由題意,知圓心M的坐標(biāo)為(-2,-1),所以-2a-b+1=0. 因?yàn)?a-2)2+(b-2)2表示點(diǎn)(a,b)與(2,2)的距離的平方, 而的最小值為=,所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5.故選B.] 3.命題p:4<r<7,命題q:圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離等于1,則p是q的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 B 因?yàn)閳A心(3,-5)到直線4x-3y=2的距離等于5,所以圓(x-3)2+(y+5)2=r2上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離等于1時(shí),4<r<6,所以p是q的必要不充分條件.] 4.(2016蘭州二模)已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|+|≥||,則k的取值范圍是( ) A.(,+∞) B.,2) C.,+∞) D.,2) B 由已知得圓心到直線的距離小于半徑,即<2, 由k>0,得0<k<2.① 如圖,又由|+|≥||,得|OM|≥|BM|?∠MBO≥,因|OB|=2,所以|OM|≥1, 故≥1?k≥.② 綜①②得≤k<2.] 二、填空題 5.已知直線x+y-a=0與圓x2+y2=2交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足|2-3|=|2+3|,則實(shí)數(shù)a的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號:85952049】 由|2-3|=|2+3|得 =0,即OA⊥OB,則直線x+y-a=0過圓x2+y2=2與x軸,y軸正半軸或負(fù)半軸的交點(diǎn),故a=.] 6.已知圓C的圓心與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱,直線4x-3y-2=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=6,則圓C的方程為________. x2+(y-1)2=10 設(shè)所求圓的半徑為r,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1),圓心到直線4x-3y-2=0的距離d==1, 故圓C的方程是x2+(y-1)2=10.] 三、解答題 7.已知半徑為2,圓心在直線y=-x+2上的圓C. (1)當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),且與y軸相切時(shí),求圓C的方程; (2)已知E(1,1),F(xiàn)(1,-3),若圓C上存在點(diǎn)Q,使|QF|2-|QE|2=32,求圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解] (1)∵圓心在直線y=-x+2上,半徑為2, ∴可設(shè)圓的方程為(x-a)2+y-(-a+2)]2=4,2分 其圓心坐標(biāo)為(a,-a+2). ∵圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),且與y軸相切, ∴有 解得a=2,4分 ∴圓C的方程是(x-2)2+y2=4.5分 (2)設(shè)Q(x,y),由|QF|2-|QE|2=32, 得(x-1)2+(y+3)2-(x-1)2+(y-1)2]=32, 解得y=3,∴點(diǎn)Q在直線y=3上.7分 又∵點(diǎn)Q在圓C:(x-a)2+y-(-a+2)]2=4上, ∴圓C與直線y=3必須有公共點(diǎn). ∵圓C圓心的縱坐標(biāo)為-a+2,半徑為2, ∴圓C與直線y=3有公共點(diǎn)的充要條件是 1≤-a+2≤5,即-3≤a≤1.10分 ∴圓心的橫坐標(biāo)a的取值范圍是-3,1].12分 8.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為⊙H. (1)若直線l過點(diǎn)C,且被⊙H截得的弦長為2,求直線l的方程; (2)對于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以點(diǎn)C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求⊙C的半徑r的取值范圍. 解] (1)線段AB的垂直平分線方程為x=0,線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0,所以外接圓圓心為H(0,3),半徑為=, ⊙H的方程為x2+(y-3)2=10. 設(shè)圓心H到直線l的距離為d,因?yàn)橹本€l被⊙H截得的弦長為2,所以d==3.3分 當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然符合題意,即x=3為所求;4分 當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),則=3,解得k=,直線方程為4x-3y-6=0. 綜上,直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0.5分 (2)直線BH的方程為3x+y-3=0, 設(shè)P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn), 所以M, 又M,N都在半徑為r的⊙C上, 所以 即7分 因?yàn)樵撽P(guān)于x,y的方程組有解, 即以(3,2)為圓心,r為半徑的圓與以(6-m,4-n)為圓心, 2r為半徑的圓有公共點(diǎn), 所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2,8分 又3m+n-3=0, 所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對?m∈0,1]成立. 而f(m)=10m2-12m+10在0,1]上的值域?yàn)椋蕆2≤且10≤9r2.10分 又線段BH與圓C無公共點(diǎn), 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2對?m∈0,1]成立, 即r2<. 故⊙C的半徑r的取值范圍為.12分- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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