高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題1 突破點(diǎn)2 解三角形教師用書(shū) 理

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突破點(diǎn)2　解三角形 提煉1 常見(jiàn)解三角形的題型及解法 (1)已知兩角及一邊，利用正弦定理求解． (2)已知兩邊及一邊的對(duì)角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情況可能不唯一． (3)已知兩邊及其夾角，利用余弦定理求解． (4)已知三邊，利用余弦定理求解. 提煉2 三角形形狀的判斷 (1)從邊出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． (2)從角出發(fā)，全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系，然后進(jìn)行恒等變形，再判斷． 注意：要靈活選用正弦定理或余弦定理，且在變形的時(shí)候要注意方程的同解性，如方程兩邊同除以一個(gè)數(shù)時(shí)要注意該數(shù)是否為零，避免漏解. 提煉3 三角形的常用面積公式 　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c ，其面積為S. (1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分別表示a，b，c邊上的高)． (2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B． (3)S＝r(a＋b＋c)(r為三角形ABC內(nèi)切圓的半徑)． 回訪1　正、余弦定理的應(yīng)用 1．(2016全國(guó)甲卷)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. 　在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝， ∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝. 又∵＝，∴b＝＝＝.] 2．(2015全國(guó)卷Ⅰ)在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75，BC＝2，則AB的取值范圍是________． (－，＋)　如圖所示，延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AD交AB于點(diǎn)F，則BF0)． 則a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C， 代入＋＝中，有 ＋＝，2分 即sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B).4分 在△ABC中，由A＋B＋C＝π， 有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， 所以sin Asin B＝sin C．6分 (2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根據(jù)余弦定理，有 cos A＝＝，8分 所以sin A＝＝.9分 由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin B＝cos B＋ sin B，11分 故tan B＝＝4.12分 關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見(jiàn)的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口． 變式訓(xùn)練1]　(1)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知a＝2，c＝3，cos B＝，則＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952013】 　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝22＋32－223＝10，所以b＝. 由余弦定理，得cos C＝＝＝. 因?yàn)锽是△ABC的內(nèi)角， 所以sin B＝＝. 由正弦定理＝，得sin A＝，所以＝.] (2)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acos B＋bcos(B＋C)＝0. ①證明：△ABC為等腰三角形； ②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值． 解]?、僮C明：∵acos B＋bcos (B＋C)＝0， ∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos(π－A)＝0， 即sin Acos B－sin Bcos A＝0，3分 ∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分 ∵A，B是△ABC的兩內(nèi)角， ∴A－B＝0，即A＝B，5分 ∴△ABC是等腰三角形.6分 ②由2(b2＋c2－a2)＝bc， 得＝，7分 由余弦定理得cos A＝，8分 cos C＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝1－2cos2 A＝.10分 ∵A＝B，∴cos B＝cos A＝，11分 ∴cos B＋cos C＝＋＝.12分 熱點(diǎn)題型2　三角形面積的求解問(wèn)題 題型分析：三角形面積的計(jì)算及與三角形面積有關(guān)的最值問(wèn)題是解三角形的重要命題點(diǎn)之一，本質(zhì)上還是考查利用正、余弦定理解三角形，難度中等. 　(2015山東高考)設(shè)f(x)＝sin xcos x－cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面積的最大值． 【解題指導(dǎo)】　(1) ―→ (2) 解]　(1)由題意知 f(x)＝－ ＝－＝sin 2x－.2分 由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.4分 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是－＋kπ，＋kπ(k∈Z)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z).6分 (2)由f＝sin A－＝0，得sin A＝，7分 由題意知A為銳角，所以cos A＝.8分 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，10分 即bc≤2＋，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立． 因此bcsin A≤， 所以△ABC面積的最大值為.12分 1．在研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)常先將函數(shù)的解析式利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B，y＝Atan(ωx＋φ)＋B)的形式，進(jìn)而利用函數(shù)y＝sin x(或y＝cos x，y＝tan x)的圖象與性質(zhì)解決問(wèn)題． 2．在三角形中，正、余弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊角互化，尤其在余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A中，有a2＋c2和ac兩項(xiàng)，二者的關(guān)系a2＋c2＝(a＋c)2－2ac經(jīng)常用到，有時(shí)還可利用基本不等式求最值． 變式訓(xùn)練2]　(名師押題)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1. (1)若sin C＝，求a，c； (2)若△ABC是直角三角形，求△ABC的面積． 解]　(1)∵sin C＝，∴cos2C＝1－sin2C＝，cos C＝.1分 ∵4cos C＝a＋， ∴＝a＋，解得a＝或a＝.3分 又＋a＝4cos C＝4＝4， ∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分 ∴當(dāng)a＝時(shí)，c＝2；當(dāng)a＝時(shí)，c＝.6分 (2)由(1)可知2c2＝a2＋1. 又△ABC為直角三角形，C不可能為直角． ①若角A為直角，則a2＝b2＋c2＝c2＋1， ∴2c2－1＝c2＋1， ∴c＝，a＝，8分 ∴S＝bc＝1＝.9分 ②若角B為直角，則b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1. ∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1， ∴c2＝，a2＝，即c＝，a＝，11分 ∴S＝ac＝＝.12分