高中數(shù)學(xué) 1_4 計數(shù)應(yīng)用題教案2 蘇教版選修2-31

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計數(shù)應(yīng)用題 教學(xué)目標(biāo) （1）對排列組合的知識有一個系統(tǒng)的了解，從而進(jìn)一步掌握； （2）能運用排列組合概念及兩個原理解決排列組合的綜合題； （3）提高合理選用知識分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點，難點 排列、組合綜合問題． 教學(xué)過程 一．?dāng)?shù)學(xué)運用 1．例題： 例1．從0，1，2，…，9這10個數(shù)字中選出5個不同的數(shù)字組成五位數(shù)，其中大于13000的有多少個？ 解：方法一：（直接法） 滿足條件的五位數(shù)有兩類： 第一類：萬位數(shù)大于1，這樣的五位數(shù)共有個； 第二類：萬位數(shù)為1，千位數(shù)不小于3，這樣的五位數(shù)共有個． 根據(jù)分類計數(shù)原理，大于13000的五位數(shù)共有個． 方法二：（間接法） 由0，1，2，…，9這10個數(shù)字中不同的5個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，其中不大于13000的五位數(shù)的萬位數(shù)都是1，且千位數(shù)小于3，這樣的數(shù)共有個， 所以，滿足條件的五位數(shù)共有個． 例2．九張卡片分別寫著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問可以組成多少個三位數(shù)？ 解：可以分為兩類情況：① 若取出6，則有種方法； ②若不取6，則有種方法， 根據(jù)分類計數(shù)原理，一共有+＝602種方法． 例3．如圖是由12個小正方形組成的矩形網(wǎng)格，一質(zhì)點沿網(wǎng)格線從點到點的不同路徑之中，最短路徑有 條． 解： 總攬全局：把質(zhì)點沿網(wǎng)格線從點A到點的最 短路徑分為七步， 其中四步向右，三步向上，不同走法的區(qū)別在于哪三步向上， 因此，本題的結(jié)論是：． 例4．圓周上有個不同的點，過其中任意兩點作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點個數(shù)最多是多少？ 解：要使交點個數(shù)最多，則只需所有的交點都不重合。顯然，并不是每兩條弦都在圓內(nèi)有交點，但如果兩條弦相交，則交點就是以這兩條弦的四個端點為頂點的四邊形的對角線的交點，也就是說，弦在圓內(nèi)的交點與以圓上四點為頂點的四邊形是一一對應(yīng)的。 因此只需求以圓上四點為頂點的四邊形的個數(shù)，即個。 例5．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： （1）分給甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分為三份，每份2本； （3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本． 解：（1）根據(jù)分步計數(shù)原理得到：種； （2）分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有種方法．根據(jù)分步計數(shù)原理可得：，所以． 因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法． 說明：本題是分組中的“均勻分組”問題． 一般地，將個元素均勻分成組（每組個元素），共有 種方法． （3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法． （4）在（3）的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有種方法． （5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”即（1）中的情況，有種方法； ②“1、2、3型”即（4）中的分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法， 所以，一共有90+360+90＝540種方法． 五．回顧小結(jié)： （1）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理組合應(yīng)用題的基本思想方法； （2）需要注意的是，均勻分組（不計組的順序）問題不是簡單的組合問題，如：將個人分成 組，每組一個人，顯然只有種分法，而不是種 ．一般地，將個不同元素均勻分成組，有種分法． 六．課外作業(yè)：