高考大題分層練 8 解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組) 理 新人教版

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高考大題分層練 8.解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(D組) 大題集訓(xùn)練，練就慧眼和規(guī)范，占領(lǐng)高考制勝點！ 1.設(shè)橢圓C：+=1(a>b>0)，定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為x2+y2=，若拋物線y2=4x的焦點與橢圓C的一個焦點重合，且橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形. (1)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程. (2)過“相關(guān)圓”E上任意一點P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點.證明∠AOB為定值. 【解析】(1)因為若拋物線y2=4x的焦點為(1，0)與橢圓C的一個焦點重合， 所以c=1，又因為橢圓C短軸的一個端點和其兩個焦點構(gòu)成直角三角形，所以b=c=1， 故橢圓C的方程為+y2=1， “相關(guān)圓”E的方程為x2+y2=. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，不妨設(shè)直線AB方程為x=， 則A，B，所以∠AOB=. 當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立方程組得x2+2(kx+m)2=2， 即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0， Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2) =8(2k2-m2+1)>0， 即2k2-m2+1>0(*)， 因為直線與相關(guān)圓相切，所以d===， 所以3m2=2+2k2， 所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2 =-+m2==0， 所以O(shè)A⊥OB，所以∠AOB=為定值. 2.已知函數(shù)f(x)=x-1-a(x-1)2-lnx(a∈R). (1)當(dāng)a=0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)若存在k∈(1，2)，使得當(dāng)x∈(0，k]時，f(x)的值域是[f(k)，+∞)，求a的取值范圍.(注：自然對數(shù)的底數(shù)e=2.71828…) 【解析】(1)f(x)的定義域為(0，+∞) 當(dāng)a=0時，f′(x)=1-=.由f′(x)<0，解得00，解得x>1. 所以，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(1，+∞)，減區(qū)間為(0，1). (2)f′(x)=1-2a(x-1)-=-=-. ①當(dāng)a≤0時，<0.當(dāng)01時，f′(x)>0，f(x)在(1，+∞)上為增函數(shù). 所以，當(dāng)x∈(0，k](10時，f′(x)=-. (i)當(dāng)<1，即a>時，當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下： x 1 (1，+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 若滿足題意，只需滿足f>f(2)， 即-1-a-ln>1-a-ln2. 整理得+ln2a+ln2-1>0. 令F(a)=+ln2a+ln2-1，當(dāng)a>時，F(xiàn)′(a)=-=>0， 所以F(a)在上為增函數(shù)， 所以，當(dāng)a>時，F(xiàn)(a)>F=ln2->ln-=0. 可見，當(dāng)a>時，f>f(2)恒成立. 故若a>，當(dāng)x∈(0，k](1滿足題意. (ⅱ)當(dāng)=1，即a=時，f′(x)=-≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號. 所以f(x)在(0，+∞)上為減函數(shù).從而f(x)在(0，k]上為減函數(shù).符合題意. (ⅲ)當(dāng)>1，即01-ln2，且a>. 又1-ln2>，所以a>1-ln2.此時，1-ln21-ln2. 所以實數(shù)a的取值范圍是(1-ln2，+∞).