高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題13_1 幾何證明選講試題 文（含解析）

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專題1 幾何證明選講（文科） 【三年高考】 1. 【2016高考天津】如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為__________. 【答案】 2.【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120.以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓. (I)證明：直線AB與O相切； (II)點(diǎn)C,D在⊙O上,且A,B,C,D四點(diǎn)共圓,證明：AB∥CD. 【解析】（Ⅰ）設(shè)是的中點(diǎn),連結(jié),因?yàn)?所以,．在中,,即到直線的距離等于圓的半徑,所以直線與⊙相切． （Ⅱ）因?yàn)?所以不是四點(diǎn)所在圓的圓心,設(shè)是四點(diǎn)所在圓的圓心,作直線．由已知得在線段的垂直平分線上,又在線段的垂直平分線上,所以．同理可證,．所以． 3．【2016高考新課標(biāo)2】如圖，在正方形中，分別在邊上（不與端點(diǎn)重合），且，過點(diǎn)作，垂足為． (Ⅰ) 證明：四點(diǎn)共圓； (Ⅱ)若，為的中點(diǎn)，求四邊形的面積． 4．【2016高考新課標(biāo)3】如圖，中的中點(diǎn)為，弦分別交于兩點(diǎn)． （I）若，求的大小； （II）若的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，證明． 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，則.因?yàn)?，所以，又，所?又，所以， 因此. （Ⅱ）因?yàn)?，所以，由此知四點(diǎn)共圓，其圓心既在的垂直平分線上，又在的垂直平分線上，故就是過四點(diǎn)的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，又也在的垂直平分線上，因此． 5.【2015高考新課標(biāo)2，】如圖，為等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)，圓與的底邊交于、兩點(diǎn)與底邊上的高交于點(diǎn)，與、分別相切于、兩點(diǎn)． （Ⅰ）證明：； （Ⅱ） 若等于的半徑，且，求四邊形的面積． 【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分線．又因?yàn)榉謩e與、相切于、兩點(diǎn)，所以，故．從而． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分線，又是的弦，所以在上．連接，，則．由等于的半徑得，所以．所以和都是等邊三角形．因?yàn)?，所以，? 因?yàn)椋?，所以．于是，．所以四邊形的面積． 6．【2015高考陜西，】如圖，切于點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，，垂足為． （I）證明：； （II）若，，求的直徑． 7.【2015高考新課標(biāo)1】如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，BC交O于E. （Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是O的切線； （Ⅱ）若，求∠ACB的大小. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE， 連結(jié)OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90，∴∠DEC+∠OEB=90，∴∠OED=90，∴DE是圓O的切線. （Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，， ∴，解得=，∴∠ACB=60. 8.【2015高考湖南】如圖，在圓中，相交于點(diǎn)的兩弦，的中點(diǎn)分別是，，直線與直線相交于點(diǎn)，證明： （1）； （2） 【解析】（1）如圖所示， ∵，分別是弦，的中點(diǎn)，∴，， 即， ，，又四邊形的內(nèi)角和等于，故； （2）由（I）知，，，，四點(diǎn)共圓，故由割線定理即得 9. 【2014高考遼寧第22題】如圖，EP交圓于E、C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且，連接DG并延長交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F. （Ⅰ）求證：AB為圓的直徑； （Ⅱ）若AC=BD，求證：AB=ED. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)镻D=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,從而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90，于是∠BDA=90，故AB是直徑. (Ⅱ)連接BC，DC.由于AB是直徑，故∠BDA=∠ACB=90，在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD， 從而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA與∠DAB=∠CBA.又因?yàn)椤螪CB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB. 由于ED是直徑，由（Ⅰ）得ED=AB. 10. 【2014高考全國2第22題】如圖，P是O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與O相交于點(diǎn)B，C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交O于點(diǎn)E. 證明：（Ⅰ）BE=EC； （Ⅱ）ADDE=2 【解析】（Ⅰ）連結(jié)AB，AC，由題意知PA=PD，故，因?yàn)椋? ，，所以，從而，因此BE=EC. （Ⅱ）由切割線定理得：，因?yàn)椋?，? 由相交弦定理得：== =，所以等式成立. 11. 【2014高考全國1第22題】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，的延長線與的延長線交于點(diǎn)，且. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）設(shè)不是的直徑，的中點(diǎn)為，且，證明：為等邊三角形. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對(duì)幾何證明的考查，主要考查有關(guān)三角形相似、全等、面積、線段長度及角相等的求解及證明，以平行線等分線段定理，平行線截割定理，相似三角形的判定與性質(zhì)定理，直角三角形射影定理，圓心角、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定定理，圓的割線定理，切割線定理，弦切角定理，相交弦定理等為主要考查內(nèi)容，題目難度一般為中、低檔，備考中應(yīng)嚴(yán)格控制訓(xùn)練題的難度． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出, 高考對(duì)這部分要求不是太高，要求會(huì)以圓為幾何背景，利用直角三角形射影定理，圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理，相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理、切割線定理證明三角形相似，全等，求線段長等，預(yù)測(cè)2017年高考還會(huì)以圓為幾何背景，考查相交線定理，切割線定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力.“幾何證明選講”是選修系列4的一個(gè)專題,該專題在高考中只考查“相似三角形”和“圓”這兩部分平面幾何內(nèi)容,且與另三個(gè)選修4的專題一起命題,供考生選擇作答.其核心內(nèi)容為:線段成比例與相似三角形,圓的切線及其性質(zhì),與圓有關(guān)的相似三角形等.對(duì)同學(xué)們來說,“幾何證明選講”是初中所學(xué)知識(shí)的深化,因而倍感親切.試題題型為解答題,且難度不大.題型以比例問題為主，平行線分線段成比例定理、相似形、角平分線定理、直角三角形中的射影定理、圓中的割線定理、切割線定理和相交弦定理等,都涉及線段成比例,因此比例問題是本專題中所占比重最大的題型.解決這類問題,主要方法就是設(shè)法利用上述定理,并靈活變形.復(fù)習(xí)建議：圓內(nèi)接四邊形的重要結(jié)論：內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形；內(nèi)接于圓的菱形是正方形；內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.應(yīng)用這些性質(zhì)可以大大簡化證明有關(guān)幾何題的推證過程.與圓有關(guān)的比例線段的證明要訣：相交弦、切割線定理是法寶，相似三角形中找訣竅，聯(lián)想射影定理分角線，輔助線來搭橋，第三比作介紹，代數(shù)方法不可少，分析綜合要記牢，十有八九能見效. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 幾何證明選講的內(nèi)容涉及的考點(diǎn)可歸納為:①相似三角形的定義與性質(zhì);②平行線截割定理;③直角三角形射影定理;④圓周角與圓心角定理;⑤圓的切線的判定定理及性質(zhì)定理;⑥弦切角的性質(zhì);⑦相交弦定理;⑧圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和判定定理;⑨切割線定理. 【考點(diǎn)1】相似三角形的判定與性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1．平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊． 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰． 2．平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例． 3．相似三角形的判定與性質(zhì) (1)判定定理： 內(nèi)容 判定定理1 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 判定定理2 兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 判定定理3 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似 (2)性質(zhì)定理： 內(nèi)容 性質(zhì)定理1 相似三角形對(duì)應(yīng)高、中線、角平分線和它們周長的比都等于相似比 性質(zhì)定理2 相似三角形的面積比等于相似比的平方 結(jié)論 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方 射影定理 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng) 【規(guī)律方法技巧】 1．判定兩個(gè)三角形相似的常規(guī)思路 (1)先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等； (2)若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，則判斷相等的角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例； (3)若找不到角相等，就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例，否則考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性”． 2．借助圖形判斷三角形相似的方法 (1)有平行線的可圍繞平行線找相似； (2)有公共角或相等角的可圍繞角做文章，再找其他相等的角或?qū)?yīng)邊成比例； (3)有公共邊的可將圖形旋轉(zhuǎn)，觀察其特征，找出相等的角或成比例的對(duì)應(yīng)邊． 3.比例線段常用平行線產(chǎn)生，利用平行線轉(zhuǎn)移比例是常用的證題技巧，當(dāng)題中沒有平行線條件而有必要轉(zhuǎn)移比例時(shí)，也常添加輔助平行線，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移比例的目的. 4.判定兩個(gè)三角形相似要注意結(jié)合圖形特征靈活選擇判定定理，特別要注意對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊．在一個(gè)題目中，相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理可能多次用到．相似三角形的性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等；也可間接證明線段相等． 5.．在使用直角三角形射影定理時(shí)，要學(xué)會(huì)將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”．證題時(shí)，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法． 6.相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 7.輔助線作法：幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆河南省鄭州一中高三考前沖刺四】如圖所示，已知圓O外有一點(diǎn)P，作圓O的切線PM，M為切點(diǎn)，過PM的中點(diǎn)N作割線NAB，交圓O于A，B兩點(diǎn)，連接PA并延長，交圓O于點(diǎn)C，連接PB交圓O于點(diǎn)D，若MC=BC. （1）求證：△APM△ABP； （2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形. 2.【2016年山西省右玉一中高考沖刺壓軸卷三】如圖，已知⊙和⊙相交于兩點(diǎn)，為⊙的直徑，直線交⊙于點(diǎn)，點(diǎn)為弧中點(diǎn)，連結(jié)分別交⊙、于點(diǎn)，連結(jié). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求證：. 【解析】（Ⅰ）連結(jié)，∵為⊙的直徑，∴，∵為⊙的直徑，∴，∵，∴，∵為弧中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴. 【考點(diǎn)2】圓的有關(guān)問題 【備考知識(shí)梳理】 1．圓周角定理 (1)圓周角：頂點(diǎn)在圓周上且兩邊都與圓相交的角． (2)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半． (3)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)性質(zhì)： 定理1：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． 定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角． (2)判定： 判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 另外：若兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)且對(duì)該線段張角相等，則此兩點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)共圓，特別的，對(duì)定線段張角為直角的點(diǎn)共圓． 3.圓的切線 (1)直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 直線到圓心的距離d與圓的半徑r的關(guān)系 相交 兩個(gè) d＜r 相切 一個(gè) d＝r 相離 無 d＞r (2) 圓的切線性質(zhì)及判定定理 性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (3)切線長定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線長相等． 3．弦切角 (1)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角． (2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數(shù)等于所夾弧的度數(shù)的一半． ②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． 4．與圓有關(guān)的比例線段 定理名稱 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P (1)PAPB＝PCPD； (2)△ACP∽ △DBP (1)在PA、PB、PC、PD四線段中知三求一； (2)求弦長及角 切割線定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線 (1)PA2＝PBPC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA、PB、PC知二可求一； (2)求解AB、AC 割線定理 PAB、PCD是⊙O的割線　 (1)PAPB＝PCPD； (2)△PAC∽△PDB (1)求線段PA、PB、PC、PD及AB、CD； (2)應(yīng)用相似求AC、BD (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等． (2)割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等． (3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)． (4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角． 【規(guī)律方法技巧】 1. 與圓有關(guān)的比例線段： (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明．解決問題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用． (3)相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長定理統(tǒng)稱為圓冪定理：圓的兩條弦或其延長線若相交，各弦被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.當(dāng)兩交點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)為相交弦定理，當(dāng)兩交點(diǎn)在圓外時(shí)為割線定理，兩交點(diǎn)重合時(shí)為切線，一條上兩點(diǎn)重合時(shí)為切割線定理，兩條都重合時(shí)為切線長定理，應(yīng)用此定理一定要分清兩條線段是指哪兩條． 2. 弦切角定理及推論的應(yīng)用 (1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大?。? (2)涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 3. 證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 4.涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角． 5.一般地，涉及圓內(nèi)兩條相交弦時(shí)首先要考慮相交弦定理，涉及兩條割線時(shí)要想到割線定理，涉及切線和割線時(shí)要注意應(yīng)用切割線定理，要注意相交弦定理中線段之間的關(guān)系與切割線定理線段關(guān)系之間的區(qū)別． 6.在平面幾何的有關(guān)計(jì)算中往往要使用比例線段，產(chǎn)生比例線段的一個(gè)主要根據(jù)是兩三角形相似．在涉及兩圓的公共弦時(shí)，通常是作出兩圓的公共弦．如果有過公共點(diǎn)的切線就可以使用弦切角定理．在兩個(gè)圓內(nèi)實(shí)現(xiàn)角的等量代換，這是解決兩個(gè)圓相交且在交點(diǎn)處有圓的切線問題的基本思考方向． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆湖北七市教研協(xié)作體高三4月聯(lián)考】已知中，，是外接圓劣弧上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），延長至，延長至. （1）求證：； （2）若，中邊上的高為，求外接圓的面積. 2.【2016屆陜西省高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)檢二】如圖，已知圓與相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線交圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作兩圓的割線，分別交圓、圓于點(diǎn)、，與相交于點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若是圓的切線，且，求的長. 【解析】（Ⅰ）連接．∵是圓的切線，∴.又∵，∴，∴. （Ⅱ）證明：設(shè)，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，聯(lián)立上述方程得到，∴.∵是圓的切線，∴.∴. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1．輔助線作法： 幾何證明題的一個(gè)重要問題就是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，相似關(guān)系的基礎(chǔ)就是平行截割定理，故作輔助線的主要方法就是作平行線，見中點(diǎn)取中點(diǎn)連線利用中位線定理，見比例點(diǎn)取等比的分點(diǎn)構(gòu)造平行關(guān)系，截取等長線段構(gòu)造全等關(guān)系，立體幾何中通過作平行線或連結(jié)異面直線上的點(diǎn)化異為共等等都是常用的作輔助線方法． 2．比例的性質(zhì)的應(yīng)用 相似關(guān)系的證明中，經(jīng)常要應(yīng)用比例的性質(zhì)： 若，則①；②；③；④；⑤；⑥. 3．同一法：先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立． 4.證明多點(diǎn)共圓，當(dāng)兩點(diǎn)在一條線段同側(cè)時(shí)，可證它們對(duì)此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點(diǎn)距離相等；如兩點(diǎn)在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點(diǎn)連成的凸四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 5.與圓有關(guān)的比例線段 (1)應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等． (2)相交弦定理、切割線定理主要是用于與圓有關(guān)的比例線段的計(jì)算與證明．解決問題時(shí)要注意相似三角形知識(shí)及圓周角、弦切角、圓的切線等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用． 二年模擬 1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如圖所示，在中，是的平分線，的外接圓交于點(diǎn)，. （1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求的長. 2. 【2016年湖北八校高三四次聯(lián)考】如圖，在銳角三角形中，，以為直徑的圓與邊另外的交點(diǎn)分別為，且于． （Ⅰ）求證：是的切線； （Ⅱ）若，，求的長． 【解析】（Ⅰ）連結(jié)則又，∴為的中點(diǎn)，而為中點(diǎn)，∴，又，∴，而是半徑，∴是的切線. （Ⅱ）連，則，則，∴，設(shè)，則，由切割線定理得：，即，解得：（舍），∴ 3. 【2016年安徽安慶二?！咳鐖D,以的邊為直徑作圓,圓與邊的交點(diǎn)恰為邊的中點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)． （I）求證：是圓的切線； （II）若,求的值． 【解析】（Ⅰ）如圖,連接.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),是的中點(diǎn),所以 //.因?yàn)?所以,所以是⊙的切線. （Ⅱ）因?yàn)槭恰训闹睆?點(diǎn)在⊙上,所以. 又是的中點(diǎn),所以 . 故.因?yàn)?所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,. 于是. 4.【2016年江西高三九校聯(lián)考】如圖所示，為的直徑，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)． （1）求證：； （2）求證：． 5. 【2016年安徽淮北一中高三?？肌咳鐖D，是圓上的兩點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，連結(jié)分別交圓于點(diǎn)，且，連結(jié)并延長至，使． （1）求證：； （2）若，且，求． 【解析】（1）連結(jié)，因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以? （2）因?yàn)椋?，則，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以? 6. 【2016年江西南昌高三一?！咳鐖D， 圓M與圓N交于A， B兩點(diǎn)， 以A為切點(diǎn)作兩圓的切線分別交圓M和圓N于C、D兩點(diǎn)，延長DB交圓M于點(diǎn)E， 延長CB交圓N于點(diǎn)F．已知BC=5， DB=10. (I)求AB的長； （II）求. 【解析】（Ⅰ）根據(jù)弦切角定理，知，，∴△∽△ ，則，故. （Ⅱ）根據(jù)切割線定理，知，，兩式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得． 7. 【2016年河南八市高三三?！恳阎?，內(nèi)接于圓，延長到點(diǎn)，使得交圓于點(diǎn). （1）求證：； （2）若，求證：. 【解析】(1）如圖，連結(jié)．．又 （2） 8.【2016屆河北省石家莊市高三二?！咳鐖D，內(nèi)接于⊙，，弦交線段于，為的中點(diǎn)，在點(diǎn)處作圓的切線與線段的延長線交于，連接. （I）求證：； （II）若，⊙的半徑為，求切線的長. 【解析】（I）證明：在中，弦相交于E，， 又E為AC的中點(diǎn)，所以， 又因?yàn)?，根據(jù)射影定理可得,; （II）因?yàn)闉橹睆?，所以，又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形?，根據(jù)勾股定理得，解得， 所以，由（I）得所以，所以． 9. 【2016屆陜西省高三高考全真模擬四】如下圖,是圓的兩條互相垂直的直徑,是圓上的點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線交的延長 線于.連結(jié)交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若圓的半徑為,求的長. 【解析】（1）證明：連接,由弦切角定理知，又,即.由切割線定理得,所以. （2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是. 10.【2016屆山西右玉一中高三下學(xué)期模擬】已知如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線交于點(diǎn)，直線是圓的切線，切 點(diǎn)為，. （1）若，求的長； （2）在上取一點(diǎn)，若，求的大小. 11. 【2015屆陜西西安西北工大附中高三下學(xué)期5月模擬】如圖，和相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于兩點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)． 證明：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【解析】（1）由與相切于，得，同理， 所以從而，即 （2）由與相切于，得，又，得 從而，即，綜合（1）的結(jié)論， 12.【2015屆陜西省西工大附中高三下學(xué)期模擬考試一】如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交于點(diǎn),為⊙上一點(diǎn),AE＝AC ,交于點(diǎn),且, （Ⅰ）求的長度． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長度 【解析】（Ⅰ）連結(jié),由同弧對(duì)應(yīng)的圓周角與圓心角之間的關(guān)系結(jié)合題中條件弧長等于弧長可得,又,,從而,故∽,∴, 由割線定理知,故． （Ⅱ）若圓F與圓內(nèi)切，設(shè)圓的半徑為，因?yàn)榧矗允菆A的直徑，且過點(diǎn)圓的切線為，則，即 . 13.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】如圖，在△ABC中，，以為直徑的⊙O交于，過點(diǎn)作⊙O的切線交于，交⊙O于點(diǎn)． （Ⅰ）證明：是的中點(diǎn)； （Ⅱ）證明：. 【解析】（Ⅰ）證明：連接，因?yàn)闉椤袿的直徑，所以，又，所以CB切⊙O于點(diǎn)B，且ED切于⊙O于點(diǎn)E，因此 ，， 所以，得，因此，即是的中點(diǎn) （Ⅱ）證明：連接BF，可知BF是△ABE斜邊上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，即，同理可證，所以. 14.【2015屆遼寧省師大附中高三模擬考試】如圖，圓周角的平分線與圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與弦的延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：; （2）若四點(diǎn)共圓，且弧與弧相等，求 【解析】（1）因?yàn)榕c圓相切，，平方，所以，，所以 （2）弧與弧相等，設(shè)，，，. 15.【2015屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期自主命題二】如圖，在中，是的角平分線，的外接圓交于點(diǎn)，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求的長． 【解析】（Ⅰ）連接，因?yàn)槭菆A內(nèi)接四邊形，所以又∽，即有，又因?yàn)?，可得因?yàn)槭堑钠椒志€，所以，從而 （Ⅱ）由條件知，設(shè)，則，根據(jù)割線定理得，即即，解得或（舍去），則． 拓展試題以及解析 1. 如圖，內(nèi)接于⊙，弦AE交BC于點(diǎn)D，已知，，OD=1,. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求中BC邊上的高． 【入選理由】本題主要考查平面幾何的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查考生的邏輯推理能力.高考對(duì)平面幾何的考查主要是通過三角形全等或三角形相似進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，并綜合運(yùn)用圓的切割線定理、相交弦定理等 進(jìn)行證明計(jì)算．以圓為背景 是基本不變的，因而靈活應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)，找準(zhǔn)有關(guān)的對(duì)應(yīng)三角形、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.本題構(gòu)思巧妙，難度不大，故選此題. 2．如圖，過圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，割線、割線分別交圓于與、 與．已知的垂直平分線與圓相切． （1）求證：； （2）若，，求的長． 【解析】（1）證明：連結(jié)，∵與圓相切，∴．又為的垂直平分線，∴，∴，∴． （2）由（1）知且為的中點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，且，∴．∵為圓的切線，∴，∴，∴，∴． 【入選理由】本題考查圓的切割線定理，弦切角定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力. 切割線定理、三角形相似、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查知識(shí)點(diǎn)，本題難度不大，故選此題. 3.如圖，直線AB過圓心O，交圓O于A、B，直線AF交圓O于F（不與B重合），直線與圓O相切于C，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC． 求證：（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【證明】（Ⅰ）連接，是直徑，，．切圓于，．． （Ⅱ）連接，切圓于，．又∽． ． 【入選理由】本題考查圓的弦切角定理、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題由弦切角定理入手，得出三角形相似，從而可證，本題難度不大，故選此題. 4.如圖，是⊙的直徑，是圓上兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求線段的長度． 【入選理由】本題考查平面幾何的證明，具體涉及圓的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)，綜合性強(qiáng)，是高考出題方向，故選此題. 5.如圖，圓內(nèi)接四邊形滿足∥，在的延長線上，且. 若， . （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求的長. 【解析】（Ⅰ）由知是圓的切線. ∴由弦切線角定理得， 又， ∴， ∴； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， ∴∽， ∴， 又，，∴，∵，∴. 【入選理由】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考察學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. 6.如圖，點(diǎn)P是△ABC的外接圓O在C點(diǎn)的切線與直線AB的交點(diǎn)． （Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，證明：BC⊥PC； （Ⅱ）若D是圓O上一點(diǎn)，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的長． 【證明】（Ⅰ）由弦切角定理知，∠ABC=∠ACP，∵∠ACB＝∠APC，∴△ACB∽△APC，∴∠BAC=∠CAP， ∵∠BAC+∠CAP= ，∴∠BAC=∠CAP=90，∴BC是圓O的直徑，又PC是圓O的切線，∴BC⊥PC. （Ⅱ）由切割線定理知，，即，即，解得（負(fù)值舍去），由弦切角定理及同弧所對(duì)的圓周角相等知，∠ACP=∠ABC=∠CDA， ∵∠BPC=∠DAC，∴△CAD∽△APC，∴，∴=. 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、弦切角定理、切割線定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題第一問由弦切角入手，得三角形相似，從而得結(jié)論，第二問由切割線定理入手，結(jié)合弦切角定理及同弧所對(duì)的圓周角相等，得三角形相似，像這種題型考查知識(shí)基礎(chǔ)，綜合性強(qiáng)，是高考出題方向，故選此題. 7.如圖所示，在四邊形中，交于點(diǎn)，. （Ⅰ）求證：、、、四點(diǎn)共圓; （Ⅱ）過作四邊形外接圓的切線交的延長線于，,求證：平分. 【證明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=, =,∴=+++ =+++==,∴、、、四點(diǎn)共圓； （Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=， ∵，∴=,∴=,∴=, ∴=,∴=∠,∴平分. 【入選理由】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、弦切角定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生推理證明和邏輯思維能力.本題考查知識(shí)基礎(chǔ)難度不大，是高考出題方向，故選此題. 8.如圖，四邊形外接于圓，是圓周角的角平分線，過點(diǎn)的切線與延長線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)． （1）求證：； （2）若是圓的直徑，，，求長 【入選理由】本題考查圓周角定理、弦切角定理、三角形相似的判斷與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查邏輯思維能力和推理論證能力.本題是一個(gè)常規(guī)題，考查知識(shí)基礎(chǔ)，難度不大，故選此題.